浅谈形象教学法在高等数学教学中的应用

肖其珍　刘宏亮　欧阳自根

摘 要：本文主要探讨用“心心相印”这个成语的内涵并通过图形来阐述形象教学法在讲解数列收敛定义时的应用。将深奥抽象的内容与直观形象结合，使得课堂氛围更加活跃，课堂授课更具趣味性，从而提高教学的效率。

关键词：形象教学法；数列收敛；心心相印

高等数学是高等院校理工科学生必修的一门基础理论课程，对学生逻辑思维能力的培养和提高起着举足轻重的作为。同时，它的相关内容也成为研究生入学考试数学学科中的必考内容。因此，其教学效果的好坏将直接影响到理工科类专业的本科教学质量以及创新人才的培养。

数列的收敛性作为高等数学中的重点和难点之一。它贯穿于整个高等数学课程的学习。如可以通过学习数列收敛性来理解函数列的收敛性，进而学习泰勒公式和泰勒级数之间的区别和联系等等。但是，对于大学一年级的学生而言，数列收敛定义的“ε-N”表达方式过于抽象，难于真正去理解。下面，我们先给出数列收敛的定义，其表述如下：

定义1：设{an}为一数列，如果存在常数a，对任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-a|<ε都成立，那么就称常数a是数列{an}的极限，或者称数列{an}收敛于a，记limn→∞an=a或an→a（n→∞）。

基于“ε-N”语言这样的特点，许多任课教师都有一个“良策”，即要求学生先把定义的内容背下来，暂且不用理解其中的含义。或许这样的做法有一定的道理，但是作者认为这并不是一个十分恰当的做法。因为在我们长期的教学实践中发现绝大多数学生在没有真正理解概念内涵的情况下是不能够游刃有余地运用好这一知识点的。这一点从学生的平时作业里面和考试的试卷里可以体现出来。“照猫画虎”式的理解是不能掌握到知识点的真正涵义，更不能拓展其外延。这也正像学生所说“看答案就懂，自己做又不会”的“似懂非懂”的局面。那么，对于这一类比较抽象的概念，我们应该怎样去教学才能让学生做到知其形明其义呢？

当代著名教育家瓦·阿·苏霍姆林斯基特别强调在教学过程中“把基础知识保持在学生记忆里”的重要性。他认为学生出现学业落后，成绩不良的现象，是由于没有把那些作为“地基”的基础知识牢固地保持在记忆里的缘故。因此，让学生在理解的基础上记忆所学的知识，从而提高学习效率是教学中不可忽视的问题。下面，我们就上述数列收敛的“ε-N”表达方式谈谈我们的教学心得。

对于上述定义，如果要求学生死记硬背地把它的内容记下来，往往会使学生产生反感和抵触情绪，从而完成不了老师下达的任务（大多数学生不愿意记或记不住）。一个不争的事实是现在大多数大学生的物质生活条件比较优越，从小受到了很好的教育，见多识广，思维活跃。基于上述的事实，我们在讲解定义1之前先提问“如何用数学语言来刻画两个人谈恋爱”这个大学生感兴趣的話题，进而引入大家都非常熟悉的“心心相印”这个成语。这时必然会引发起学生的兴奋点，或者至少让学生觉得“有意思”，从而激起学生的学习兴趣。接着我们利用下面的图形进行“看图说话”。

我们不妨假设an和a分别代表着热恋中的男生和女生[用上图（1）中的心形表示]，n代表时间，单位为天。N代表着到达“心心相印”的一个时间界限（也就是你认为两个人相处N天以后，他们真正的心心相印了，这样的一个时间界限）。于是他们要是真正的“心心相印”了就意味着两颗心基本上融合在一起[图（3）示]。此时应当强调的是“基本融合”而不是“真正重叠”在一起。进而引入“基本融合”的数学表示|an-a|<ε。在此过程中需要用图（2）来强调必须是时间足够大之后（即n≥N）才有意义[图（2）还不能说是“基本融合”]。于是，我们先用文字概括一下刚才的分析过程，也即恋爱中的男女，通过相处N天以后，如果他们两颗心的距离无限制的小，那么我们就称他们心心相印了。这时我们就可以过渡到用数学语言来表述，对任意小的一个正数ε，当时间足够长之后（即n≥N）总有|an-a|<ε成立。这样我们就用数学语言完美地描述了成语“心心相印”。从而我们就迁移到数列收敛的定义1。因此，我们只需要借助刚才的“看图说话”再重复一遍就可以让学生们记住了数列收敛的定义。反过来，我们还可以利用数列收敛的定义解释一下“心心相印”就是一个收敛的过程。在我们的教学实践中，上述的形象教学法起到了非常好的教学效果。

由此，在教学过程中只要我们能把那些抽象的内容与直观形象相结合，用物像、图表等将其展示出来，触发学生的联想和形象思维，帮助他们理解，从而提高学习的效率。同时，这样的形象教学法也使得课堂氛围更加活跃，吸引学生的注意力，也能拉近师生之间的距离。所以，在日常的教学实践中，可适当地运用形象教学法来帮助理解新的抽象的知识点。但是，我们绝对不能忽视学生抽象思维和逻辑思维能力的培养。从直观上升为抽象，再从抽象到直观，才是教学的价值和意义所在。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第七版上册）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]瓦·阿·苏霍姆林斯基.给教师的建议[M].北京：教育科学出版社，1984.

作者简介：

肖其珍，刘宏亮，欧阳自根，湖南省衡阳市，湖南省南华大学数理学院。