例谈函数单调性及在高考中的应用

汤小燕　肖宇

摘 要：本文对近三年全国部分省市21套高考数学试题中的函数单调性问题的考查形式及解法进行分析，列举了函数单调性在高考中的常考题型，归纳了5种判断函数单调性的方法。

关键词：函数单调性；高考；解题

一、 引言

函数单调性是函数的基本性质之一，应用较为广泛，它分为单调递增和单调递减两种。利用函数的单调性可以更好地解决相关的数学问题，本文研究了近三年来高考函数单调性的试题及考点，希望能帮助学生更好地解决高考中有关函数单调性的问题。以近三年高考试卷来看，函数单调性也是高考的重点，分值在12～32分。

函数单调性是每年高考的必考点，每年都在解答题中出现，有时也会在选择、填空题中出现，其中函数单调性的判断，函数单调性的应用是最常考查的内容。在这21套试题中有15套都含有运用函数单调性求参数的值或取值范围的题型；有16套题都涉及函数的单调性、单调区间；有12套题考查了利用函数的单调性求极值、最值、零点等问题。考查试题的难易程度多变，高中低档都有出现，这就需要我们对函数单调性灵活的掌握，这样才能在遇到这种题时快速地根据不同的已知条件采用不同的方法解题。

本文对函数单调性的判别方法进行分类、归纳，整理出5种判别方法，并将此类方法应用到了2015～2017年全国部分地区的高考题中。

二、 函数单调性的判别方法

判别函数的单调性是高考的热点问题之一，常常在解答题的第一问中出现，难度中等，是学生很容易得分的题目。求解函数单调性方法多样，在这里简述了5种判断函数单调性的方法，方便大家计算。

（一） 定义法

利用定义法解题的步骤：①取值（在定义域中任取x1，x2）；②作差[f（x1）-f（x2）或f（x2）-f（x1）]；③变形（方法有因式分解，配方法，有理化……）；④定号[确定f（x1）-f（x2）或f（x2）-f（x1）的符号]；⑤判断（增减性）。

（二） 图像法

图像法：即直接作出函数的图像，通过函数的图像直观地判断函数的单调性，上升为增，下降为减。特别是对于一些简单的基本初等函数，往往直接画出它们的图像根据图像就可以知道其单调性。

（三） 加减法

这种方法只适用于选择和填空题，口诀是：增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减（在这里为方便记忆增函数用“增”表示，减函数用“减”表示），如2017北京卷（理）。

在选择、填空题中，若遇到这种题，可以先判断是否属于加减法中的四种类型，若不属于则需要按照常规方法去计算。

（四） 复合函数单调性法则同增异减进行判断

如果函数y=f（u）在区间N上具有单调性（是增函数或减函数），函数u=g（x）在区间M上具有单调性，并且对于任意的x∈M，均有u=g（x）∈N那么：

当y=f（u）在区间N上的单调性与u=g（x）在区间M上的单调性相同（即同增或同减）/相反（即一个是增函数，另一个是减函数）时，函数y=f[g（x）]在区间M上是增/减函数。

解题步骤：（1）确定函数定义域；（2）将复合函数拆分，例y=f（u），u=g（x）；（3）判断拆分后函数的单调性；（4）根据同增异减进行判断。

（五） 导数法

这是近几年高考的热点，在区间[a，b]上，若f′（x）>0，则f（x）在区间[a，b]上递增；若f′（x）<0，则f（x）在区间[a，b]上递减。所以可以归纳为“大增小减”。

三、 函数单调性在高考中的应用

函数单调性是高考的必考点，考法多种多样，既可以单独作为一个考点，也常与其他知识一起考查，下面根据考情表的分析，简单梳理了函数单调性在高考中的常考题型。

（一） 利用函数的单调性比较大小

这类题难度不大，多在选择题中出现，只要学生掌握基本初等函数的单调性就可完成。如2015·湖南卷（理）。

（二） 通过函数的单调性求参数的取值范围

这也是高考常考的一种类型，多在解答题中出现，考查难度多变。解决这种题时可采用分类讨论法和分离参数法：“分离参数—构造函数g（x）—求函数g（x）的最值—求得参数的值或取值范围”。如2017·上海卷（理）。

（三） 讨论函数的单调性判断函数的单调区间

这类题在这三年中考的比较多，一般通过求导来解决这类问题，有时也根据函数的定义来解决，通常出现在第一小问，难度中等。如2017·全国新课标Ⅱ卷（理）。

（四） 利用单调性求函数的极值、最值、零点

求函数的极值、最值是高考常考的一类题，运用函数单调性来解决问题。口诀为：先增后减，最大值；先减后增，最小值。如2016·北京卷（理）。

（五） 利用函数的单调性证明或解不等式

遇到这类题时，通常先确定函数f（x）的单调区间，然后将不等式转化为f（A）

四、 总结

高考对函数单调性的考查，往往考查函数单调性两方面的内容，（一） 函数单调性的判断，证明函数的单调性；（二） 函数单调性的综合应用，与多個知识点交汇考查，利用函数的单调性使问题解决更加快速、简洁。所以在学习中要熟练地掌握函数单调性的定义，单调性的判别方法，特别是导数法。

参考文献：

[1]王后雄.教材完全解读[M].北京：中国青年出版社，2016.

[2]薛金星.高中数学基础知识手册[M].北京：教育科学出版社，2016.

[3]天利全国高考命题研究中心，北京天利考试信息网.天利38套 2013～2017年最新五年高考真题汇编详解数学（理科 2018年高考必备）[M].拉萨：西藏人民出版社，2017.

作者简介：

汤小燕，肖宇，贵州省遵义市，遵义师范学院。