回归概念 关注本质 注重应用

摘 要：平面向量是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一。高考对这部分的考查常以选择、填空的形式出现，也常与解析几何交汇，题型较稳定，经常以中档题出现。考查的重点一方面是平面向量的基本概念及基本运算能力；另一方面是平面向量的坐标运算和平面向量的数量积的概念、性质及运算律。下面例谈“平面向量”专题复习的一些策略。

关键词：回归概念；关注本质；注重应用

策略一：加强概念复习，关注本质理解

本专题中概念较多，如何让学生迅速把握住本质，达成理解，要成为本专题复习的首要任务。既要重温概念的来龙去脉，理清知识网络，通过比较，对向量的概念进行辨析，又要通过分析学生存在的问题，帮助学生辨析概念。

【例1】 在边长为1的正三角形ABC中，AB·BC+BC·CA+CA·AB= 。

分析：本题主要考查数量积的定义及两向量夹角的概念，学生易错解如下：AB·BC+BC·CA+CA·AB=|AB||BC|cos60°+|BC||CA|cos60°+|CA||AB|cos60°=12+12+12=32。这是由于对两向量夹角的定义理解不透造成的。

点拨：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合。向量AB与BC，BC与CA，CA与AB的夹角通过平移后发现都不是60°，而是120°。故其值为-32。

策略二：加强运算理解，关注算法本质

向量的本质有“双重身份”，即“代数形式”和“几何形式”，因此对向量的运算也要从代数和几何两个方面进行理解和掌握，在复习中应引导学生理解向量运算的运算律及方法，关注算法的本质。

【例2】 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的 心。

分析：本题主要考查向量的平行四边形法则和三角形法则，学生产生的错因是对OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，λ∈[0，+∞）理解不够透彻，不清楚AB|AB|+AC|AC|的几何意义是与∠BAC的角平分线有关。

点拨：AB|AB|的几何意义是与AB共线同向的单位向量，掌握向量运算的几何意义及向量共线定理。

解析：由OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，可得AP=λAB|AB|+AC|AC|，而AB|AB|+AC|AC|的几何意义是∠BAC的角平分线，且角平分线的交点是三角形的内心，P的轨迹一定通过△ABC的内心。

策略三：重视方法训练，关注基底选择

本专题复习的重点之一是用向量处理问题的两种方法：“向量法”和“坐标法”。也即面对一个实际问题，要学会选择基底或者建立平面直角坐标系。这两种方法本质上是一致的，其依据都是“平面向量基本定理”，后者是前者的特例。学生往往对于后者较为熟悉，在给定的坐标系中会处理问题，但不善于自己选择基底。教学中可在正交基底的基础上，引导学生选择其他的基底解决问题，强化平面向量基本定理的复习和运用。

【例3】 △AOB中，∠AOB为直角，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC相交于点M，设OA=a，OB=b，试用a，b表示向量OM。

分析：本题主要考查平面向量基本定理的运用，可从建系的角度入手，使平面向量问题坐标化，也可从选择一组向量为基底的角度入手，利用平面向量基本定理求解。

点拨：方法1：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，

设A（u，0），B（0，v），则Cu4，0，D0，v2，设M（x，y），则根据M在直线BC上，也在直线AD上，根据斜率公式，可得：y-vx=v0-u4，y-v2x=v20-u，解之得：（x，y）=17u，37v，所以OM=17a+37b。

方法2：由A，M，D三点共线可知，存在实数λ1使得OM=OA+AM=a+λ1AD=a+λ1-a+12b=（1-λ1）a+λ12b；

由B，M，C三点共线可知，存在实数λ2使得OM=OB+BM=b+λ2BC=b+λ2-b+14a=λ24a+（1-λ2）b；

由平面向量基本定理知：1-λ1=λ24λ12=1-λ2，解之得，λ1=67，λ2=47∴OM=17a+37b。

策略四：强化问题意识，注重向量运用

本专题学生存在的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识，不能自觉地把向量当成工具用到解决问题中。学生的运用意识不是一朝一夕形成的，教师要在教学中积极引导学生自觉地思考、转化、构图和变式，让学生不断积累运用向量解决问题的思维和经验，要加强教学过程中对学生思维、意识和能力的培养，关注解题过程的思维达成度。

【例4】 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4accos2A+C2=a2+c2-b2。

（1）求B；

（2）若c=3，且AC边的中线BM=132，求a的值。

分析：对于第（2）问，题中未出现平面向量，如果按照常规思路，只会想到正、余弦定理及方程思想，则运算量较大，导致解题速度慢或出差。但如果学生有主动运用平面向量的意识，会大大减少运算量，从而轻松解决问题，体现了不同层次学生的思维能力。

点拨：第（2）问能轻松解决的关键在于有主动运用平面向量的意识。

∵BM为AC边的中点，∴BM=12（BA+BC），

两边同时平方，得BM2=14（BA2+BC2+2BA·BC）即，134=1432+a2+2×3×a×12，

整理，得a2+3a-4=0，解得a=1或a=-4（舍去）。∴a=1。

平面向量專题，“麻雀虽小，五脏俱全”，不仅高考每年都考，还是解决三角函数、解析几何、立体几何、不等式等问题的重要工具，也是培养学生数学结合思想、数学建模能力的重要途径，因此在高三复习中值得关注和加强。

作者简介：

饶智荣，福建省龙岩市，福建省连城县第一中学。