“几何画板”破解数学教学难点之利剑

林志辉

【摘要】在小学数学教学过程中总是存在学生难于理解的教学难点，而突破难点是课堂教学的关键节点，更是衡量学生对知识本质是否理解的重要标志.如何在教学中突破难点？是当前教师面临的挑战与思考.笔者根据多年研究几何画板的实践经验，分别以几何画板的强大功能——“画”抽为形、“画”数为形、“画”静为动、“画”客为主，来破解小学数学四个领域中的相关难点.

【关键词】几何画板；破解；教学难点

数学教学难点是指在教学过程中，与学生已有的数学发展水平矛盾较突出的、在数学教材中所体现的教学目标和要求.通俗来讲，教学难点就是大部分学生在学习过程中难于理解和运用的知识点.教学难点往往蕴含着丰富的教学功能，在数学教学中，教学难点的突破，是课堂教学的关鍵节点，它涉及学生对知识本质的理解，对知识的有效把握，通常也是创设课堂教学高潮的重要环节，是数学课堂的魅力所在，更是衡量一节课成功与否的重要标志.如何在数学教学中突破难点？当然认真备课、吃透教材、抓住教材重难点是突破难点的前提，以旧知识为生长点是突破难点的重要策略，而利用好“几何画板”这一利剑更有事半功倍之效.下面就结合笔者对几何画板的实践研究，谈谈小学数学四个领域中的难点突破.

一、剑指图形与几何，“画”抽为形

几何画板使抽象的思维过程变成了生动形象的动态过程，把一些抽象难懂的概念变成具体的可观察、可操作的画面，即化抽象为具体，化抽象为形象.教学中若使用常规工具（如，纸笔、圆规和直尺）画图，画出的图形是静态的，很容易掩盖一些重要的几何规律.而使用几何画板，可以画出有几何约束条件的几何图形.另外，几何画板可以在图形运动中动态地保持几何关系，可以运用它在变化的图形中发现恒定不变的几何规律.几何画板的使用使学生多种感官并用，学生学习积极性、自主性和合作性增强，为形成和培养学生的“动画思维”提供了条件，为难点突破提供了可能.

（一）“画”曲为直

六年级下册“圆柱的认识”的教学难点是如何理解圆柱侧面展开图，“侧面展开时圆柱的底面周长就是展开后长方形的长”，如果能突破此难点，学生自然形成侧面展开的表象，对圆柱的表面积的理解也就水到渠成了.

之前，很多教师是通过让学生卷一卷这样的操作来突破难点.虽然这样操作可以一定程度上把握难点，但对初学立体几何的学生，其大多数不具备丰富的空间想象能力，及较强的平面与空间图形的相互转化能力.平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于把握全局，其空间形式又具有很大的抽象性，因而，难点突破还是停留在较浅层面.

（二）“画”无为有

四年级下册“三角形的三边关系”的教学难点在“两边之和等于第三边能否围成三角形”.之前，很多教师用直观操作来突破，用小棒、纸片、吸管等摆一摆，结果学生还是很纠结，因为这些直观的学具本身有宽度，再加上顶点对齐等问题，总有一部分学生坚持两边之和等于第三边能围成三角形，此刻教师只能说线段没有粗细等专业术语强迫学生接受，使得难点不但没能突破反而扼杀了学生的思维、想象能力.

如果引入几何画板，让学生循序渐进地经历：

1.不能围成（两边之和小于第三边）.

学生想象加验证，不能围成的原因是两条较短边的轨迹显示没有交点（如下图所示）.

2.接着经历围成（两边之和大于第三边）.

3.最后聚焦在纠结处（两边之和等于第三边）.学生在经历猜想、想象，两边在上拱的过程中缺口会越来越大，然后通过显示弧线展示出轨迹之后，验证学生的想象.就这样把学生难以理解的抽象过程用几何画板的图形变动保持原有几何关系的功能，把最纠结的难点“雁过无声”地突破了.

二、剑指数与代数，“画”数为形

数形结合思想是一个非常重要的数学思想.数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”几何画板为数形结合创造了一条便捷的通道，它不仅对几何模型的绘制提供信息，可以解决学生难以绘制图形的困难，而且提供了图形“变换”的动感，丰富多彩的“动画”模型，给学生一种耳目一新的视觉感受，使学生从画面中去寻求到问题解决的方法和依据，并从画面中去认清问题的本质.在引入几何画板之后，可以测量各种数值以及进行各种函数运算.在图形的变化过程中，数量变化特征也可以直观地展现在学生眼前，“以形助数”“用数解形”在传统教学中无法办到的，几何画板的强大功能很好地为突破难点服务.

通过数形结合能直观地表示出来学生想要的分数，学生对分数的认识逐步从直观中“剥离”，进而走向抽象.其实，数形结合不是最终目的，重要的是通过数形结合给学生搭建认知突破的台阶，在学生形成分数正确表象的基础上，适时通过迁移、抽象，有效实现对分数意义的深度建构，更本质地理解分数的内涵.

学生对分数的意义有所感悟，但还不能主动将其与分数的大小比较联系起来.教学分子是1的分数大小的比较，应该充分立足于学生对分数意义的认识.借助几何画板的直观图形和随机生成性，运用“数形结合”的方法，引导学生观察同样大小的两个圆形涂色部分的大小，在直观比较的基础上，逐渐掌握方法、形成技能并建立“模型”，从而将分数的意义和大小比较有效“连接”和“融合”起来，从而有效地突破教学难点.

三、剑指统计与概率，“画”静为动

“动态”是几何画板的最大特点，也是其魅力之所在.这在数学上的意义非同寻常，它满足了数学教学之需，弥补了传统教学方式的不足.黑板上的图形是永远静止不动的，它掩盖了数学实质.在传统数学教学中，用圆规、三角板绘制的几何图形是静态的.要认识它的关系需要教师的语言描述和学生的理解和想象能力.几何画板画出的图形与在黑板上画出的图形不同，它具有动态特征.教师可以在“动”中教，学生可以在“动”中学.有些教学内容在传统教学中显得枯燥和乏味，引入几何画板后许多内容变静为动，学生在“动”中求知，从而激发了学生的学习兴趣与学习积极性.

三年级下册“平均数”的教学难点是平均数是一个“虚拟”的数，他表示的是一组数据的总体水平.之前，在教学中很多教师把重点放在平均数的求法上，甚至总结出一个学生似懂非懂的总数量除以总份数的公式，让学生来套用，而在平均数意义的理解上却是蜻蜓点水，甚至与平均分混为一谈.学生概念模糊，所掌握的知识只能停留在机械地模仿与记忆之中.

四、剑指综合与实践，“画”客为主

利用几何画板的动态性和形象性，可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境.学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增强对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明.课堂教学时，学生很可能在学习过程中闪现出“奇思妙想”的思维火花，这就要求教师在讲课时要能及时调整教学内容和节奏，抓住这闪光点，发挥出它的威力与作用.几何画板就具有这样的灵活性，可随时操作，为学生创造很好的条件.教师引导学生自己动手操作，既能激发学生的学习兴趣和热情，又能达到研究性学习的目的.

小学数学综合与实践课的开设目的在于提高学生的数学素质，具体地说，主要是发展学生的数学思维能力，并能用所学知识技能解决在学习、工作和生活中遇到的数学问题.从实践内容选择来说，要尊重学生的需要、兴趣和爱好，让学生通过实践活动获得数学经验和即时信息，帮助学生应用、验证、巩固数学知识与数学能力，从而促进全面素质的提高.

运用几何画板的构造、度量、绘制及计算功能.图形变换功能，几何定理展示功能，动态对象跟踪功能等去发现、去表现、去探索、去总结函数、代数、几何的规律与知识点，从而促进学生对数学知识的更好理解与掌握.当然，几何画板也不是万能的，毕竟它只是一种辅助工具，只要适合的内容出现，我们数学教师就要敢于“亮剑”，亮出几何画板这柄锋利的宝剑来破解教学中的难点.

【参考文献】

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[2]江玉军.兼谈几何画板与中学数学新课程的深层次整合[M].广州：中山大学出版社，2009.

[3]张淑俊.《几何画板》在数学教学中的妙用[J].基础教育论坛，2011（4）：47-48.