如何“讲”数列不等式中的放缩法

宣培霞

[摘 要] 如何讲好数列不等式问题的解题分析，让解题过程更貼近学生是一个重要的课题. 在教学过程中要让学生在“知道”的基础上，整理“分类”，形成模型；并在具体题目分析中发现解题的线索，使得学生的观察能力达到“入微”，提高解题能力.

[关键词] 数列不等式；放缩法；入微

高考数学复习是在学生已经基本掌握了中学数学的知识体系，在学生已经认知了各种数学思想方法的基础上进行再认识、再发现的教学. 我们最常用的教法是“习题—讲评—习题”，学生大量刷题，教师满堂演讲正确答案，这很容易忽略学生在实际做的过程中如何思考、如何提高学生解题能力方面的尝试. 像2015年高考的数列与不等式压轴题，每个教师都能把答案讲好，学生也能听懂，但每次真的面临时却还是原来的情况——不得其门而入.

通过对这一内容的研究和学生对此题的解题经历，笔者想通过让学生达到以下几个层次来提高学生对这类题的解题能力.

一、“知道”知识体系. 让学生掌握数列大题考查的主要方向是等差数列、等比数列的各种性质及求和问题；结合数列的递推关系的处理；不等式中的放缩思想.

二、“分门别类”. 针对做过的题进行分类，对几个主要的考点及处理方法进行分类，从而为学生的解题方法做好储备. 通常我们以这样的标准进行分类：

一是对给出的数列类型进行分类：可能是以等差、等比数列为背景；可能是以数列递推关系求通项为背景；可能是以数列递推关系研究性质为背景.

二是对提问方式进行分类：可能是研究数列的通项公式；可能是研究数列的单调性；可能是研究数列的项的值的取值范围；可能是研究数列求和方面的问题.

三是对放缩的方向进行分类：可能是放缩为等差数列；可能是放缩为等比数列；也可能是放缩为一个可以用裂项相消法求和的数列.

三、“观察入微”. 具体在解题过程中，则要让学生体会如何通过对题目条件的观察与分析，针对题目中的信息的处理来联系解题方法，通过尝试来完成解题过程. 这就要求教师在解题分析中能够充分读题，让学生从题目中的信息得到解题方法的线索. 因此需要教师与学生一起观察“入微”，顺势而为，寻找答案.

但从目标上来看，并没有什么特别的东西让我们可以证明它成立，但注意到左右表达式中分母是关于n的一次式，联想到等差数列的通项公式即为这种形式，因此将目标再次变形为“n+2<≤2n+2”.即我们需证明数列大于或不大于一个等差数列.因此将递推式再次改写为：==+.

由上面的猜想，我们只需证明：1<≤2?0

从上面的分析中我们可以清晰地看到解题过程中的思维过程，而需要学生和教师用到的知识也是全面的，这样的解题分析才会让学生对这一问题的解决有所体会. 当然，作为教师和学生对于这种类型的题，也要注意在分析过程中的关键点，特别是顺着题意前进. 以下就这一问题的其他类型举例.

因此猜想递推式中的“”应满足：≤≤，而由第（1）小题中的“1≤a2n-1

从上例中可以看出此题主要思想是利用递推关系和放缩法构造一个“等比数列”来完成任务. 通常我们要注意目标中的求和公式是否有等比数列的形状，或者是一个常数的时候则需要我们从递推关系的结构中与等比数列的定义“an+1=qan”相似再加上无穷等比数列的和公式“”来完成猜想.

说到观察“入微”，因势利导. 一方面要求学生对常见的类型有足够的认识，能够根据拿到的问题选择恰当的模型进行放缩；另一方面，一些经典的例子让学生进行揣摩，对题中的要求进行整理和理解如何去达到目标，这也是一个不错的选择. 像下面两例，一个是数列与不等式作为压轴题的最后一年2008年浙江省高考题，另一个例题是竞赛题，而2015年浙江省高考题也是参考几年前的一个竞赛题进行改编的.

后者可以用裂项相消法得到结果.这一方法在2008年以前是一个常用方法，但这几年因为导数属于模块考试，所以不应过多涉及，不过在下一届考生眼里，这又是一个可以选择的模型.