知识的分类与高中数学核心素养的培养

王晓红

[摘 要] 核心素养对学科教学的引领作用是防止经验化，基于学习最基本的特征即知识构建去理解核心素养，可以寻找到坚实根基. 认知心理学将知识分成陈述性知识与程序性知识，在高中数学中以此知识分类的结果来培养学生的核心素养，可以基于数学教学传统而更好地理解核心素养. 通过理论分析可以发现知识分类与数学核心素养及其培养的关系，教学实践表明核心素养也可以促进学生更好地构建数学知识.

[关键词] 高中数学；知识分类；核心素养

当讨论学科核心素养及其培养的时候，最容易出现的问题就是对其进行经验解读. 尽管我们认为任何一个新生事物或概念的理解与推进都离不开经验，但课程改革以及区域层面的教学改革已经告诉我们一个事实：如果对新的概念完全进行经验层面的理解，那其操作是极有可能走样的，譬如对“探究”的理解，有多少课堂只不过是以探究之名而行灌输之实？

数学学科无疑是高中文化教学中重要的基础学科，当从“必备品格”与“关键能力”的视角下看高中数学学科的核心素养时，更需要关注的是必备品格与关键能力如何养成. 这是一线教师的自然意识，同时凭经验又往往难以直接获得问题解决的答案：说其是自然意识，是因为一线教师浸淫于教学实践，已经形成了一种固定的认知，那就是教育理念的落实一定是依赖于具体的学习过程的，就数学学习而言就是依赖于数学知识的生成过程的；说其憑经验难以直接获得，是因为新的理念的理解与已有经验之间总存在着需要衔接的地方，这个衔接点如果不当，那新理念就难以落实. 于是，寻找数学学科核心素养的培养与高中数学知识的生成过程的联系点，就成为核心素养培养的一个基础性研究内容. 笔者梳理了自己的实践经验，研究了对学生的学习具有指导意义的相关认知心理学的内容，感觉从最基本的知识分类角度来研究核心素养的培养，可能是一个恰当的切入点.

[?] 知识的分类及其对数学核心素养的启发

无论以什么样的理论来引导数学教学，可以肯定的一点是，教师所面临的最基本的教学任务还是帮学生建构数学知识，这是无法回避的一个事实. 但在不同的理念之下，同样的建构数学知识的过程对于学生的学习来说，可能是不同的学习过程，这个过程表面看决定于教师的教学方式，实际上取决于教学理念的影响.

认知心理学将知识分为陈述性知识与程序性知识. 陈述性知识就是“个人具有有意识的提取线索，因而能够直接陈述知识”；程序性知识是“没有意识提取线索，需要借助于某种形式间接推论其存在的知识”. 说得通俗一点，陈述性知识是“是什么”的知识，而程序性知识是“怎么办”的知识. 比如说，“抛物线是平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹”，这是陈述性知识；而“要证明平面内某点的轨迹是抛物线，就必须证明该点到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等”，这就是程序性知识. 由此可见，陈述性知识是判断性的，“是”是其中的一个关键字；而程序性知识是存在逻辑关系的，“如果……那么……”是其重要表征方式.

再来看数学核心素养，当前对数学核心素养的认知常常是从数学抽象、数学推理、数学建模、几何直观、数学运算、数学分析等六个方面来理解的. 从概念来看，这六个方面与数学关系密切，同时也有浓郁的“能力”味道，因此以之来解释数学素养是合适的. 但在笔者看来，如果仔细分析这六个因素又可以发现其不足——其忽视了学生这一主体的存在. 我们可以说数学抽象、数学推理、数学建模、几何直观、数学运算、数学分析等代表着学生的数学素养，但却无法从中看出这些素养的培养途径，这显然容易让一线教师只知数学核心素养之“然”，而不知数学核心素养之“所以然”，这种不具有操作性的理解往往是一线教师所不喜欢的（请不要指责一线的数学教师总追求“可操作”的东西）.

而这个时候，如果我们将这六个方面与知识的分类联系起来，那么可以发现其实这六个因素都存在于数学知识生成的过程中；如果我们能够精细地研究陈述性知识是如何构建的，程序性知识又是如何培养的，那这六个方面就可以自然浮现出来，于是数学核心素养的培养也就成为可能. 因为在此分析中我们注意到，实际上认知心理学视界中的知识与传统意义上的知识并不完全相同，我们常说的知识实际上只是指陈述性知识，而我们常说的能力其实对应着程序性知识. 而如果将核心素养的形成视作学习结果的话，又可以发现加涅对学习结果的分类，即言语知识、智慧技能以及认知策略与我们的分析又是吻合的：言语知识就是陈述性知识，智慧技能与认知策略就是程序性知识，而上述核心素养的六个方面，基本上就完全存在于智慧技能与认知策略当中. 由于陈述性知识是无法脱离程序性知识而存在的，因此数学核心素养的培养就与两种知识的形成过程完全重合了.

[?] 利用知识生成过程培养学生的核心素养

基于以上分析，一线教师的数学核心素养理解与具体实施就没有太多的认知上的障碍了：只要给学生一个有效的知识建构过程，能够让学生在掌握好陈述性知识的同时，领会更多的程序性知识，那核心素养就会自然形成了. 下面就以“抛物线”的教学为例，谈谈笔者的一些理解.

苏教版抛物线的知识放在圆锥曲线这一章中，教材设计是这样的：通过生活中一些与抛物线相关的实例如探照灯的内壁、太阳灶的轴截面、卫星天线的接收器和发射器等的介绍，引出抛物线的标准方程与几何性质的问题，进而展开探究. 从知识生成的角度来看，抛物线这一知识的教学中可以做出这样的两点判断：

其一，陈述性知识包括：抛物线的定义、抛物线的标准方程以及从标准方程、图形、焦点坐标、准线方程、开口方向等角度对平面直角坐标系上抛物线的几何性质的理解.

其二，程序性知识包括：基于课堂引入时所举的实例建立的对抛物线的理解（数学抽象与数学建模）；基于抛物线定义得出抛物线的标准方程（数学推理）；基于抛物线的标准方程得出抛物线的几何性质（几何直观）；运用抛物线标准方程与几何性质解决数学问题（数学运算与数据分析）等.endprint

在具体的教学过程中，陈述性知识与程序性知识的形成过程可以这样设计：利用现代教学手段，在向學生呈现探照灯的内壁、太阳灶的轴截面、卫星天线的接收器的时候，从中抽象出抛物线这一模型，让学生感受到生活实物中数学的存在. 在给出抛物线的定义之后，先让学生通过自主探究的方式推理抛物线的方程. 事实表明，在学生自主推理的过程中，只要教师适当点拨，学生是可以想到过抛物线的定点F去作定直线l的垂线，以建立直角坐标系的. 而坐标系一旦建立，其后的一个关键就是设出定点F到定直线l的距离，进而根据定义中的距离相等列出等式，然后进行开方化解，最终得到抛物线的标准方程为y2=2px（p>0）. 在这个过程中，学生主要运用到的方法就是数学推理（主要是演绎推理），而其后根据已经得到的标准方程去推导另外三种形式，也就是简单的数学推理的应用了. 需要指出的是，在抛物线几何性质的探究中，也有丰富的推理过程，只要学生真正弄懂了y2=2px的四个性质，其后的三种就可以迅速推理出，这意味着学生的思维中不需要树立形象的表象就可以完成抛物线几何性质的知识体系的建立——这是一个以程序性知识推动陈述性知识形成的过程.

在这一学习过程中，如果注意分析学生的学习心理，就可以发现学生的思维主要是围绕抛物线的定义、标准方程、几何性质等若干个陈述性知识的形成过程来进行的，而这正是数学教学的基础. 此过程中又必然会用到程序性的知识，因此这些程序性的知识有的因为再次运用而变得娴熟，有的因为在具体情境下被激活，因而学生拓展了对这些程序性知识的应用环境的认识，真正的核心素养的培养，也就在此过程当中.

[?] 用核心素养来反哺数学知识的生成过程

跟不少同行接触到核心素养这一概念时的第一感觉不同，我们并不认为这“又”（相对于此前的一些教育教学理念而言）是一个新的“华而不实”的理念，而是一个确实可以概括已有的教学努力，同时又可以指向社会发展与学生成长需要的新的教学理念.

即使从最现实的角度来看，将我们对高中数学教学已有的认知，尤其是对学生学习品质的培养纳入到核心素养体系当中来，可以让我们更好地理解自己所教的数学课程，从而更好地促进学生建构知识，这就是数学核心素养对学生数学学习的“反哺”意义.

反哺是一个隐喻，反哺的意思就是提升学生的学习品质，进而以这种学习品质来促进自身对数学学习的理解与对数学知识的建构——这是一个以陈述性知识作为外在体现，以程序性知识作为内在支撑，通过后者促进前者的有效建构，通过前者促进后者日益完善的过程. 如果把数学核心素养理解为一种综合性的素质的话，那其对学生建构数学知识一定是有益的，这一点毋庸置疑！endprint