高中生数学学习过程的思考

承彦人

[摘 要] 有效的高中数学教学，一定是基于对学生学习过程的研究的. 函数是高中数学的重要知识，一定程度上代表着学生数学学习的规律所在. 研究学生在函数学习过程中的规律，可以让教师更好地看清学生的学习过程，可以让学生的学习更为有效，当然也可以促进教师自身的专业成长. 在经验积累的过程中借鉴相关的教育理论，可以使教师对学生的学习过程把握得更为清晰与准确.

[关键词] 高中数学；数学学习；学习过程

无论是此前的有效教学的讨论，还是现在核心素养及其培养的讨论，实际上指向都是一样的，那就是对学生的指向，但矛盾的是，真正的教学过程中，教师往往又是不太关注学生的学习过程，而是更关注自己的教学过程. 但教学与学习毕竟主体不同，过程也不同，因此从真正有效的角度来看，还是研究学生的学习过程对教师的教学来说更有意义，而事实上这也是“以学定教”的真实含义. 而将教学研究的视角转移到学生的学的过程中时，可以发现学生的学真的是一个非常复杂的过程，有时即使积累了经验，也难以从理论上寻找到很好的解释，这就使得对高中學生数学学习过程的研究出现了一些挑战，而面对这些挑战并提出自己的一些朴素观点，是可以促进教师自身的专业成长的. 本文试以高中函数概念的教学为例，谈谈一些笔者的浅显观点.

[?] 学生真的学懂了函数吗

笔者曾经做过试验，在函数知识教完一段时间之后去问学生“何为函数”，而学生的回答则比较一致：他们都是通过举例，如相对熟悉的一次、二次函数，与高中学的指数函数、对数函数等. 为什么都是用举例的方式来证明自己对函数的理解呢？

至少从课程、教师的角度来看，对函数的理解不是通过例子来进行的，甚至是在函数概念构建的起始课上，教师也常常是从数学模型等角度引入的，是用集合和对应法则来定义函数的，尽管这与真正的数学意义上的函数理解还有一定距离（教科书的定义方式与学生的学习层次与能力相关），但学生所理解的函数还是脱离了这一基本面，还是从具体的函数例子角度建立理解的. 从某种程度上来讲，这也是学习的必然结果，事实上成人的每一个知识的学习其实最牢固的“抛锚”基础就是例子，因此学生通过例子来阐述自己对函数的理解是必然的. 但这种必然其实又是一种低水平的必然，说明学生并没有真正把握住函数的基本要义，再加上日常的训练都是以具体的习题来作为训练的，不同的习题对应着不同的具体的函数例子，因此对函数的理解水平就定格于这样的水平，也就是自然而然的结果.

当然，我们又不能认为学生这样就是不懂函数，因为在函数知识的运用与解题中，学生所形成的关于函数的认识也许是默会的，其也能在学生的生活中发挥作用，这也算是懂函数的；但可以认为，这样的懂是一种类似于默会的懂，至少从数学知识构建的角度来看，还不是真正的懂. 因为对函数的描述，至少也应当是从一个统一定义的角度进行的，不同的函数的例子应当是这个定义的衍生，建立这种从基本定义向具体事例的发散的函数理解，才是真正的函数理解.

[?] 学生怎样才能学懂函数

真的从这个角度来让学生懂函数，并不是一件轻而易举的事情. 函数其实是高中数学知识体系中最为难懂的概念之一，也是诸多数学知识的发生联系的重要“结点”. 目前对学生学习函数的心理机制据说研究还不够深入，已有的理念也多是管中窥豹，但这样的努力已经足以让普通数学教师有所收益了.

我国著名数学教育家章建跃先生在引用Schoenfeld等人的研究成果时，提到了知识获取的四种水平：在模式水平上知识的宏观结构；知识要素的具体界定、特例分析以及对某些限制条件等——对知识的细节处理；与支持知识的上层结构有关系——对知识联系性的处理；在超出熟悉情境和个体建构在水平3上看到的概念要素的时候——知识综合的、创造性的应用.

从学生函数学习的角度来看这四种水平，是可以寻找到比较典型的痕迹的：在函数起初学习的时候，学生是将函数的概念建立在集合这一概念基础之上的，事实上对应法则在此之前遇到很少，也只有在函数概念建立的时候，才对其有所强调，这就是在有认知水平上的知识建构；其后，一个具体函数的学习，可以让学生从各个角度、不同要素处构建对函数的理解，这就是对知识细节的处理（实际上学生对函数理解的事例化，就是从此时开始的）；再然后，就是让学生在各个具体函数的学习中形成一种对函数的整体认知，尤其是对函数定义的理解的深入——这是传统教学中容易忽视的，因为正常的教学都是向“前”看的，很少有“回头”反思基本定义的，但这个过程很重要，这是一个通过具体函数事例“反哺”函数基本定义的过程，是让学生在通过具体事例深化了对函数定义的理解之后形成基本理解的过程，是学生真正懂得函数的深化之举；而其后的第四步综合性、创造性地运用，则实际上是一个函数理论联系实际的过程，传统教学中已经重视，不赘述.

从这个研究成果角度来看，函数概念的理解应当是建立在概念基础之上的，也就是说不同函数例子应当是函数这个基本概念的衍生，理解函数应当从函数定义出发，从集合与对应法则出发，从不同函数事例中提取出不同集合与对应法则，才是理解函数的根本.

[?] 教师如何促进学生学习

可以肯定的是，学生在函数学习的过程中，自己是不可能生成让自己理解函数的情境的，教师应当发挥主导作用. 那基于学懂函数概念的需要，教师如何促进学生的学习呢？笔者的经验有三：

第一，重视函数概念的最初构建. 事实上，高中阶段对函数概念的教学采用过多种定义方式，今天的基于集合与对应法则的函数定义，是描述形式较为简洁，理解起来较为简单的一种方式. 可能很少有人意识到，其实函数的定义原本就是对各种具体函数进行了分析综合，进行了抽象概括后的产物，将这种基于集合与对应法则的函数定义当成整个函数体系知识学习的始祖，是数学课程专家思维的结晶，本来就应当是函数知识体系构建的基点. 但正是因为其太过基础了，以至于在实际教学中常常忽视了它，再加上与之相关的试题较少也比较简单，因此实际教学中又进一步忽视了，如此递进式忽视，学生会引起重视那才是怪事. 而为了让学生理解函数，笔者以为这里需要矫枉过正，需要真正从源头处重视函数的教学.endprint

第二，重视具体函数对函数概念的反哺. 在建立了函数概念之后，必然要进行多种函数的学习，这些函数作为在更为具体的情境中集合与对应法则的具体运用，会有特殊的理解，这种理解对于学生而言，实际上是思维的延伸. 但教师要注意的是，在学生思维延伸的过程中需要重视“回头看”，要能够让学生认识到这些具体函数与最源头处的那个函数的定义有着什么样的联系，只有这种联系被学生建立起来时，学生才能意识到函数的一般性定义与具体情境下的定义的关系. 这实际上是一个上位概念与下位概念的关系，这种从属关系的建立，是学生理解函数的关键.

第三，重视综合情境中函数概念的创新应用. 数学知识的应用是当前高中数学教学中最为重视的内容了，由于高考导向日趋科学，新的情境尤其是生活情境，常常出现在试题中，這就给学生将函数知识向生活延伸提供了可能. 这种延伸对于学生理解函数来说依然是重要的，尤其是学生在生活情境中发现集合的存在，发现对应法则的存在，发现基于两者的函数关系的存在，这往往可以给学生理解函数提供有效的锚点，这是符合学生认知规律的，是得到多种不同学习心理理论支撑的.

函数教学在高中数学教学中跨度很大，延续的时间也很长，在这个时间段里让学生依据上述思路，织起一个关于函数的网（而不是一条线），可以很好地促进学生对函数的理解.

[?] 在关注学习中研究教学

关注学生的学习过程对于教师来说是重要的，尤其是高中数学，忽视了学生在数学学习过程中逻辑的运用，忽视了学生在运用逻辑推理知识的时候用到哪些知识、忘记了哪些知识，都无法真正看懂学生是怎样学习的. 函数作为高中数学最核心的内容之一，如果教师能够以之为突破口，最大程度上弄懂学生在学习中的过程，就可以起到突破已有教学思路，抵达新的教学水平的作用.

当然，这个目标的实现可能还有些遥远，但可以肯定的是，在数学教学中通过对学生学习细节的关注，是可以寻找到学生数学学习的一些基本规律的. 如果在此过程中还能够寻找到一些教学理论来引导自身的实践，那更是一件好事. 事实上，认知发展心理学中的相关理论，对于解释学生的学习过程还是有一定的积极作用的.

总的来说，在关注学生学习的过程中研究教学，确实是一条把握学生学习过程，实现自身专业成长的途径，沿着这条途径，是可以窥得高中数学教学的真谛的.endprint