浅析高中数学学习过程中学生提出问题的能力

李大红

[摘 要] 在数学教学的实践过程我们发现高中学生在数学提问能力上存在整体水平不高的现状，这主要表现在学生不会数学反思及提问的层次不高两个方面. 导致这种现状的原因可归结为教学方式的偏颇扼杀了学生提问的能力. 改变这种现状可以从反思性教学和变式教学着手开展.

[关键词] 数学提问；现状管窥；影响因素；教学策略

我们认为在高中阶段学生在数学方面提出问题的定义应当是在运用已有数学知识解决好问题后对已解决的问题再次反思，能够得到对数学问题的深层认知或者能够对问题进一步的追问和补充说明. 记得美国数学教育学家波利亚曾在他的著作《怎样解题》中指明：培养学生提出问题的能力应当是数学教学十分关注的一个维度. 因此，对高中数学学习过程中学生提问能力进行系统的分析是非常有必要的.

[?] 高中生数学学习过程中提出问题能力的现状管窥

通过对笔者学校不同能力水平的学生的课堂的观察，笔者将高中生数学提问能力的现状概括为学生数学提问整体水平不高. 这主要体现在不会反思和提问的层次不高两个方面.

首先，不会反思是学生提问水平不高的本质表现. 根据定义我们确定提问水平是建立在对已解决问题的再次反思上，通过反思能够得到对本问题的深层认知或对问题做进一步说明. 不会对已解决问题再次反思，则不会得到一个关于问题属于自己的认知. 举个真实的教学案例，在导数的应用一节中，笔者选取了2017年盐城市第三次模拟考试的一道应用题作为教学素材“一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图1中实线所示. ABCD是等腰梯形，AB=20米，∠CBF=α（F在AB的延长线上，α为锐角）. 圆E与AD，BC都相切，且其半径长为100-80sinα米. EO是垂直于AB的一个立柱，则当sinα的值设计为多少时，立柱EO最矮？”我们知道这是一类以角度为自变量，以三角函数为中介的导数的应用问题，解决这类问题的关键在于以三角函数为中介联系自变量α和函数，以函数的单调性（导函数大于或小于0）确定三角函数的取值范围，再以三角函数的取值来明确函数的单调区间（自变量α的取值范围），从而画出函数的图像. 这类问题的列表不同于以往往的三行（自变量、导函数、函数）列表，而应是四行列表（α、、导函数、函数）. 然而就在两天后的考试中出现了一道类似的问题，全班仅有1个人能够处理，事后笔者与几位学生进行了交流：“你们能用自己的话描述这类问题吗？”结果只有那个做对了学生说，“这类问题中自变量不是sinα而是角度α，数形结合时，应用α的范围来刻画函数的单调区间.” 简单的对话，透露着一个事实：学生只会机械记忆而不会反思学习. 如果他们有一定的反思能力，必定能够像做对的那位学生一样看透问题的本质.

其次，提问的层次不高是提问水平不高的外在表现. 数学教育家波利亚根据学生提问程度的不同将提问水平分为阐释性提问、联系性提问和拓展性提问三个层次. 阐释性提问是指从已有知识中提出与问题相关联的内容，为问题的发展提供解释的提问. 例如在数学归纳法的教学过程中，曾遇到这样的例子“对于数列{an}，已知a1=1，an+1=，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明”.对于这个问题，阐释性提问常见的形态是：“根据问题情境中所给出递推公式，学生会提问a2，a3，a4，a5，…分别是多少.”联系性提问是指从问题情境中寻找与已有知识相似或共通的内容，从而提出关联性问题. 例如在解析几何一章中，椭圆一节中有这样一个性质“椭圆上任意一点（短轴端点除外）与短轴端点连线的斜率之积为定值-”，与这个问题相似之处是椭圆上的任意一点与长轴两端点连线，所以学生能够提出联系性提问表现为“椭圆上的任意一点与长轴两端点连线的斜率之积是否为定值，如果是定值，其值是多少？”所谓拓展性提问是在问题本质认知的基础上发现延展性的内容，例如在研究圆心在原点的圆时，如果学生能够提出“圆上动点到圆心的连线与x轴正半轴夹角θ与圆上点坐标之间有什么关系”，就可能自己发现圆的参数方程这一事实，这就是一种拓展性提问. 然而可惜的是通过对学生们课堂观察，我们发现绝大多数学生的提问都停留在第一个层次.

[?] 高中阶段对学生数学学习中提问能力的影响因素

透过对学生课堂观察结果的事后反思，我们认为造成高中学生数学提问能力不行的主要因素有两类：首先，数学学习的方式的偏颇——由应然的学问方式变成实然的问答方式，扼杀学生的提问能力发展；其次，受应试教育的限制，课堂上能够给予学生思考的时间和空间太少，阻碍了学生数学提问能力的发展.

首先，数学课堂上应然的学问方式为实然的问答方式所替代严重影响了学生提问能力的发展. 学问方式则是按照学生认知发展的进程进行的教学，是指学生通过学习发现不懂的问题，然后就不懂的问题向教师进行提问，这是学生学习逻辑的体现. 通过学习发现未知与已知之间的矛盾，然后将矛盾提出来，并得到答复. 如此循环自然能够提升学生的发现问题的能力. 而问答的方式是指教師将教材知识事先整理好，按照知识逻辑结构依次按一问一答的方式呈现出来，这是教师逻辑的体现.如此循环，学生自己的逻辑思维必然得不到发展，而只能跟着教师的逻辑亦步亦趋，提问能力自然好不到哪里. 举个例子，在复数的几何意义这一节中，我们常看到这样的教学片段.

教师：如果将复数的实部和虚部写成有序实数对的形式（a，b），就可以将其看成什么呢？

学生：点.

教师：所以复数就与平面坐标系上的点建立了一一对应关系，对吗？

学生：对.

教师：当我们将点与原点构建成向量，是否与向量也一一对应呢？

学生：是.

管中窥豹可见一斑，在这样的教学过程下长学生完全按照教师安排好的知识顺序，应对教师的提问，没有自己发现未知与已知矛盾的过程，自然不能很好地发展自己的发现问题、提出问题的能力.endprint

其次，课堂上能够给予学生发现问题、提出问题的时间与空间太少亦是影响学生提问能力发展的重要因素. 受应试教育的影响，教师往往需要在两年甚至一年半的时间内要将三年内的所有数学课程（理科10册，文科8册）全部教完.如此短的时间内要教完如此大量的内容常会用两种途径，增加学时或以教为主. 以教为主必然会挤压学生在课堂思考与发现问题的时间. 举个例子，在基本不等式的教学过程我们常会遇到这样一个例子“若a，b均为非负实数，且a+b=1，求+的最小值”. 熟悉的都知道这是一道1的代换类型的问题，然而教学并不是如此简单.想要让学生真正领悟1的代换的问题，就必须让学生从原始形态的1的代换“若a，b均为非负实数，且a+b=1，求+”学起，并经历不同形式的变换.然而真实的教学过程并不是这样的，通常教师会告诉学生们“分母相加等于3（a+b）=3，所以+=（a+2b+2a+b）

[?] 关于提升高中阶段数学提问能力的教学策略简述

针对目前学生数学提问水平一般，提问层次不高的现状，结合对其原因的分析，我们就提升学生数学提问能力的教学提出两点策略：其一，提供反思性教学；其二，提供变式教学.

首先，针对学生数学学习不会反思的现状，需要为学生提供反思性教学. 所谓反思性教学是指学生要能够对教师课堂上数学教学过程及呈现的解题方案进行回顾并以自己的角度内化. 例如上述導数案例，也许解题的方案可以用“①对函数求导；②令导函数等于0，求根；③四行列表，表明函数单调区间；④画图”这几个步骤来归纳，这是教师可以给予的，但能否转化为学生内在的东西，问题的实质在于学生能够用自己的言来归结“这是一类以角度为自变量，以三角函数为中介的导数的应用问题”. 而这一过程需要给学生提供反思学习的机会. 所以，教会学生反思是提升数学提问能力的首要任务，因为通过对已有结果的再认知，可以帮助学生发现并提出新的内容. 通过长期的反思性学习，将反思培养成学生学习生活中的一种习惯时，学生发现新内容，提出新问题的能力自然就会水到渠成.

其次，针对学生提问水平不高的现状，需要为学生提供变式教学. 学生的提问水平不高是因为学生在数学学习过程中只看了单一的数学问题，而未能挖掘这种问题内在本质的、共通性的内容. 因此才会出现问题稍微一变形，学生就不知所措的现象. 针对这种现象，可以为学生提供更多种的变式教学，即变换问题情境中外在形式，保留本质核心的内容，让学生在多种不同的形式中来感悟问题的共同性内容. 例如上述1的代换中可以从“若a，b均为非负实数，且a+b=1，求+”这种原始形态的1的代换讲起，然后通过不断改变待求表达式，比如说“求+，求+”等.透过变式教学来激发学生对变式的敏感性，超越单一看待问题的习惯，达到举一反三的效果. 当学生通过持久的变式训练，超越单一看待问题的习惯时，必然能够以较高的水平来看待问题，从而提高提问的水准.endprint