介电常数虚部对Mie粒子保守力非保守力的影响

李凯凯,陈君

(山西大学 理论物理研究所,山西 太原 030006)

介电常数虚部对Mie粒子保守力非保守力的影响

李凯凯,陈君*

(山西大学 理论物理研究所,山西 太原 030006)

通过基于快速傅里叶变换和Mie理论的数值模拟以及基于多极展开理论的解析分析,研究了影响光力的介电常数虚部对介质及金属材料微粒z方向保守力、非保守力的影响。结果表明对于介质材料以及金属材料,解析结果和数值结果可以很好地保持一致。非保守力z分量的最大值总是出现在场强最大的位置,而保守力z分量的最大值则总是出现在场强最大值的两边,并且这两种力均在微粒远离场强最大处时迅速衰减。但是保守力和非保守力的具体变化趋势对于介质和金属材料却有不同。保守力和非保守力随介电常数虚部变化的根本在于材料性质对极化率以及两种力影响的不同。文章对保守力非保守力的研究,有利于对微粒更加精准、自由地操控。

光力;保守力;非保守力;介电常数虚部;Mie粒子

0 引言

光镊[1-7,12]是光学微操控技术发展中最重要的技术之一,它利用强聚焦光束施加的光力稳定地俘获和移动粒子,并把粒子陷在光束的焦点(面)附近。光镊技术依赖于施加在粒子上的光力,而理论和实验学者很早就知道或者概念上明白光力分为保守力(梯度力)和非保守力(散射力和吸收力),即F=Fg+Fk,其中Fg代表梯度力,Fk代表散射力和吸收力。根据斯托克斯定理,梯度力满足×Fg=0,表明Fg做功与路径无关,是保守力,并且可以定义一个标势U,Fg=-U。而散射力和吸收力却满足·Fk=0,表明Fk做功与路径有关,是非保守力。保守力与非保守力有不同的应用价值,Fg可以实现对微粒的俘获和限制[1-6],而Fk则可实现对微粒的正向或反向传输[9-11]。梯度力、散射力和吸收力概念的提出,是光俘获领域的基石,对于指导和理解物理至关重要。例如我们的一项工作通过对散射力的分析证实(由于光束选择的特殊性,使得在研究方向上不存在梯度力),仅依靠散射力就可以实现对微粒的逆光传输[9],即微粒朝向光源运动,而在我们的结论之前,普遍认为散射力只能推动微粒远离光源。

所以对保守力和非保守力独立地研究分析就变得很重要,但是通常我们只能通过选择光束来排除其中一种力的影响。如果保守力和非保守力同时存在,我们就很难进行独立分析。采用理论方法分离保守力和非保守力,并分别对这两类力进行独立分析,对研究光操控有重要的意义,但是这方面的研究却比较滞后。对于Rayleigh粒子(小粒子,ka≪1, 其中k代表波数,a代表粒子的半径)[3]和几何光学粒子(ka≫1)[21],研究者已经成功地把光力分成梯度力、散射力和吸收力,但对于实验中普遍使用的Mie粒子的受力分离却很困难。直到近两年,才有研究者成功在Mie范围内把光力数值以及解析地分成梯度力、散射力和吸收力[16],这在光镊技术中有重要的意义。

通过分别对影响这两种力的因素进行深入研究,可以实现对微粒更加准确、灵活地操控。材料的介电常数是描述电场和物质粒子相互作用、反映介质内部电极化行为的一个很重要的宏观物理量。介电常数性质很丰富,如色散特性、张量特性,会受如频率、温度、湿度、介质构造[22]等多种因素的影响。本文基于新近发表的采用快速傅里叶变换(FFT)将总力分离成保守力和非保守力的研究成果基础上,率先研究了介电常数虚部(εi,与能量在材料中的损耗有关)对施加在介质以及金属材料Mie粒子上的z方向保守力和非保守力的影响。我们还将从保守力和非保守力各自的多极展开解析表达式出发,解析分析保守力和非保守力随材料介电常数虚部变化的物理意义。从而实现利用这两种力的不同性质分别加以运用,以实现对微粒更加精准、自由地操控。

1 基本原理

作用在微粒上时间平均的电磁力可以通过对麦克斯韦应力张量在微粒表面的积分[7,9,13-14]来得到:

〈F〉=Sn·〈T〉dσ,

(1)

其中n和dσ分别表示垂直于表面向外的单位矢量以及微粒表面s上的面元,时间平均的麦克斯韦应力张量

(2)

其中ε0(μ0)是背景媒介中的介电常数(磁导率),Re表示实部,上标*表示复共轭。(2)式中的电磁场是总场,即入射场Ei(Hi)和散射场Es(Hs)的和

E=Es+Ei,H=Hs+Hi.

(3)

(1) 式中的积分是在微粒表面进行,但是当背景媒介是无损耗的,也就是说具有实数的ε0和μ0时,电磁动量守恒,积分可以在任意包含微粒的表面进行,通常选择在无穷远处Rs→∞进行积分,

〈F〉=S∞n·〈T〉dσ.

(4)

光俘获通常需要经过高数值孔径物镜强聚焦后的光束来实现。我们采用了准确的矢量徳拜积分来描述入射光束:首先使用几何光学处理入射光束通过高数值孔径物镜的情况,然后利用角谱表示[7,9,13-14]描述焦点附近的场。聚焦过程采用几何光学描述是合理的,因为物镜有宏观尺寸,远大于波长,用这种方法产生的误差很小。而采用扩展的Mie理论[7,9,13-14]则可以对公式(3)中的散射场做准确的计算。

将2016年1月-2017年10月90例老年腹腔镜全麻手术患者随机数字表法分组。观察组ASAI级21例,II级24例。男23例,女22例;年龄61-79岁,平均(67.67±2.13)岁。对照组ASAI级22例,II级23例。男24例,女21例;年龄61-78岁,平均(67.76±2.24)岁。

对光力(4)中保守力Fg(梯度力)和非保守力Fk(散射力和吸收力)的分离则采用了文献[16]中的方法,使用了快速傅里叶变换(FFT):

(5)

FFT的优势是可以极大地增加计算速度,而公式(2)对于处理快速衰减的场以及周期场是非常有效的。根据FFT的特点,具体计算时要考虑FFT计算范围、计算步数对程序准确度的影响。通常讲,计算步数越多,计算范围越大,计算结果越准确,但代价是计算时间会急剧增长,所以根据本文选择的入射波长、背景以及微粒性质等参数,本文选择的计算范围是[-9 μm,9 μm],计算步数256,可以保证收敛性(边缘力比中心力小至少3个量级),即数值计算的准确性。

在对Mie粒子所受保守力非保守力解析分离(基于多极展开理论[9])方面,我们采用了文献[16]中的表达式:

(6)

p=αEi=(i6πε0a1/k3)Ei,

m=βBi=(i6πb1/k3μ0)Bi,

Qe=γ(Ei+)=(i20πε0a2/k5)(Ei+),

Qm=η(Bi+)=(i20πb2/k5μ0)(Bi+),

Ωe=ζsym(Ei)=(i35πε0a3/2k7)sym(Ei) ,

(7)

(8)

依赖于公式(5)及Mie理论的数值程序可以对任意大小的微粒受力(总光力、保守力及非保守力)做出准确计算,发现光学现象,而基于公式(6)的解析表达式则有助于分析发生这种现象的原因以及背后的物理。本文的结果就是在结合数值计算与解析分析的基础上进行。

2 数值结果与解析分析

在本文中,微粒所在背景为水(nm=1.33),入射光为沿z方向传播的x方向线偏振高斯光束,波长λ=1.064/1.33(μm)=0.8(μm),功率0.1瓦。微粒半径a=0.1 μm,介电常数εp=εr+I×εi,εr是微粒介电常数εp的实部,与材料对能量的存储能力有关,而εi是微粒介电常数εp的虚部,与能量在材料中的损耗有关。本文采用的介质微粒的εr=2.53,金属微粒的εr=-5,εi的取值范围为[0,20]。

Fig.1 z component of conservative and non-conservative forces versus z are shown for dielectric sphere (εr=2.53) with different εi. Numerical results for conservative and non-conservative forces are represented by Fgz-num.(denoted by solid blue lines) and Fkz-num. (denoted by solid red lines), and analytical results for them are shown by Fgz-ana. (denoted by blue crosses) and Fkz-ana. (denoted by red crosses).Fgz-num.(蓝色实线)表示采用数值方法得到的z方向保守力,Fkz-num.(红色实线)表示采用数值方法得到的z方向非保守力,Fgz-ana.(蓝色叉线)表示采用解析方法得到的z方向保守力,Fkz-ana.(红色叉线)表示采用解析方法得到的z方向非保守力。图1 对应不同介电常数虚部εi,介质材料微粒(εr=2.53)所受z方向保守力、非保守力在z轴上的分布曲线

对应不同介电常数虚部εi,介质微粒(εr=2.53)所受z分量保守力及非保守力在z轴上的分布曲线如图1所示。实线代表数值结果,采用了FFT方法即公式(5),通过Fortran程序计算得到。作为对比,叉线代表解析结果,采用的是多极展开方法(保留至电四极矩),即公式(6)。结果显示,解析结果和数值结果可以很好地保持一致。另外,非保守力z分量Fkz的最大值总是出现在z=0的位置,而保守力z分量Fgz的最大值则总是出现在z=0的两边。这是因为对于入射光高斯光束,光强最大处在z=0位置,当微粒放在此处时,由于在此处感受到的光强最大,所以对光的散射也是在此处最强,故而非保守力在z=0处最大。但是因为z=0处场强梯度为0,最小,所以正比于场强梯度的保守力(本文所考虑微粒半径a=0.1μm较小,偶极力贡献主要作用,故可用公式(6)中Fg第一项来分析)在此处反而最小为0,最大值出现在z=0两边场强梯度大的位置,而具体位置则还与微粒大小、材料等性质有关。当微粒远离z=0时,由于高斯光束场强迅速衰减,所以微粒对光的散射减弱,所以非保守力Fkz也迅速衰减,而由于保守力是短程力,所以Fgz也迅速衰减,甚至在εi增大时,Fgz比Fkz衰减得更快(εi的增大更有利于非保守力,因为散射增强)。

作为对比,本文也计算了相同情况下的金属球(εr=-5)情况,如图2所示。对于金属情况,数值计算和解析结果也可以很好地保持一致。与介质球受力类似,非保守力Fkz的最大值总是出现在z=0的位置,而保守力Fgz的最大值则总是出现在z=0的两边,并且Fkz和Fgz均在微粒远离场强最大处时迅速衰减,且Fgz比Fkz衰减得更快(因金属比介质反射更强烈)。

对比图1-2中介质球和金属球所受非保守力就会发现,对于本文所研究的微粒及入射光参数情况下,不论εi如何变化,非保守力均大于等于0。这是因为本文所采用的微粒(a=0.1 μm)尺寸较小,且在入射光没有偏振,微粒不带手性等情况下,散射力方向主要由能流方向决定,而入射光沿z轴正向传播,能流正向,所以非保守力Fkz>0。也可以通过对公式(6)中Fk的前三项分析得到。图3-4中的三条符号线分别对应介质球和金属球Fkz解析表达式的前三项。因为微粒较小,所以第一项Fkz1起主要作用,而这一项恒为正,所以Fkz恒为正。

Fig.2 Lines represent the same as those of Fig.1,except that the particle is made of metal (εr=-5).图2 四类线型表示含义与图1分别相同,差异仅为微粒材料为金属材料 (εr=-5)。

Fig.3 z component of the first three terms in Fk in Eq. (6) versus z are shown for dielectric sphere (εr=2.53) with different εi. The first three terms of the analytical expression of non-conservative forces are denoted by the black, red, blue symbol lines, respectively.图3 对应不同介电常数虚部εi,介质材料微粒(εr=2.53)所受z方向非保守力的多极展开解析表达式的前三项在z轴上的分布曲线。黑、红、蓝三色符号线分别对应公式(6)中Fk的前三项。

Fig.4 Lines represent the same as those of Fig. 3,except that the particle is made of metal (εr=-5).图4 三类线型表示的非保守力含义与图3分别相同,差异仅为微粒材料为金属材料(εr=-5)。

Fig.5 z component of the first four terms in Fg in Eq. (6) versus z are shown for dielectric sphere (εr=2.53) with different εi. The first four terms of the analytical expression of conservative forces are denoted by the black, red, blue, green symbol lines, respectively.黑、红、蓝、绿四色符号线分别对应公式(6)中Fg的前四项。图5 对应不同介电常数虚部εi,介质材料微粒(εr=2.53)所受z方向保守力的多极展开解析表达式的前四项在z轴上的分布曲线

Fig.6 Lines represent the same as those of Fig. 5,except that the particle is made of metal (εr=-5).图6 四类线型表示的保守力含义与图5分别相同,差异仅为微粒材料为金属材料(εr=-5)。

Fig.7 First three orders of the real and imaginary parts of the polarizabilities versus εi are shown in (a)-(d) for dielectric sphere (εr=2.53) and (e)-(h) for metallic sphere (εr=-5).The real and imaginary parts of the electric-dipole polarizability are denoted by the red and blue lines, respectively, and the green and black lines represent the real parts of the magnetic-dipole and electric-quadrupole polarizabilities, individually.(a)-(d)及(e)-(h)分别对应介质(εr=2.53)及金属(εr=-5)球。红色实线表示电偶极化率实部,蓝色实线表示电偶极化率虚部,绿色实线表示磁偶极化率实部,黑色实线表示电四极化率实部。图7 低阶极化率的实部或虚部随εi的变化曲线

Fig.8 Maximum values of z-component conservative (z<0) and non-conservative forces (z=0) on z-axis versus εi are shown in (a)-(b) for dielectric particle (εr=2.53) and in (c)-(d) for metallic sphere (εr=-5).图8 (a)-(b)介质球(εr=2.53)所受保守力(z<0处)及非保守力(z=0处)z分量在z轴上的最大值随εi的变化曲线。(c)-(d)金属球(εr=-5)所受保守力(z<0处)及非保守力(z=0处)z分量在z轴上的最大值随εi的变化曲线

以上计算是在固定波长,固定介电常数实部,只改变介电常数虚部情况下进行的,只是为了简化问题来研究介电常数虚部对保守力和非保守力的影响,证明文中所述现象的存在。事实上,总能采用不同材料来对应现象所需要的虚部,甚至材料制造过程、环境因素等也会造成吸收性质的不同,介电常数虚部也会有体现。介电常数实部也会对保守力和非保守产生影响,如果同时考虑力随不同材料介电常数实部和虚部的变化情况,会增加理解问题的复杂程度。图9显示,即使在一定范围改变介质和金属微粒的介电常数实部,保守力和非保守力随介电常数虚部的变化趋势也可保持定性相同(与图7极化率相类比)。这从某种程度上也可说明文中计算取值的合理性。

Fig.9 First three orders of the real and imaginary parts of the polarizabilities versus εi are shown in (a)-(d) for dielectric sphere (εr=3.24) and (e)-(h) for metallic sphere (εr=-6). The real and imaginary parts of the electric-dipole polarizability are denoted by the red and blue lines, respectively, and the green and black lines represent the real parts of the magnetic-dipole and electric-quadrupole polarizabilities,individually.(a)-(d)及(e)-(h)分别对应介质(εr=3.24)及金属(εr=-6)球。红色实线表示电偶极化率实部,蓝色实线表示电偶极化率虚部,绿色实线表示磁偶极化率实部,黑色实线表示电四极化率实部图9 低阶极化率的实部或虚部随εi的变化曲线

3 结论

由于Mie粒子的尺度是实验中常用粒子的尺度,具有实际的研究价值,而作用在其上的保守力和非保守力性质、作用均不同,所以采用理论方法在Mie范围将保守力和非保守力从总光力中分离,从而分类研究,就在光镊技术中具有重要的意义[16]。我们基于文献[16]的最新研究成果,率先研究了描述光场与微粒相互作用的重要物理量——介电常数虚部对施加在介质及金属Mie粒子上的保守力和非保守力的影响。从而实现对保守力和非保守力更加自由地应用,以达到对微粒更精准地操控。本文的计算结果表明数值模拟和解析分析可以很好地保持一致。Fkz的最大值总是出现在z=0的位置,而Fgz的最大值则总是出现在z=0的两边,并且Fkz和Fgz均在微粒远离场强最大处时迅速衰减。在本文所研究参数情况下,介质球和金属球所受非保守力均大于等于0,但它们所受保守力变化趋势却不相同,主要体现在金属球的Fgz随着εi的增大出现了正负区域变化的现象。介质球和金属球受到的Fgz和Fkz在z轴上的最大值随εi的变化趋势也不同。究其根本,这些不同来源于介质材料和金属材料性质的不同,εi的变化会导致极化率实部和虚部对于介质和金属不同的变化趋势,从而导致了施加在两种材料粒子上的保守力和非保守力的不同。本文计算的微粒半径较小,不能完全反映较大Mie粒子受力与介电常数虚部的变化关系,对于较大微粒的受力情况,需要充分考虑多极相互作用的影响。从图3-6中也可看出,如果微粒足够大,公式(6)中多极展开的高阶项会起作用,甚至超过第一项的影响,从而产生更加丰富的物理现象。

[1] Ashkin A.Acceleration and Trapping of Particles by Radiation Pressure[J].PhysRevLett,1970,24:156-159.DOI:10.1103/PhysRevLett.24.156.

[2] Ashkin A.Applications of Laser Radiation Pressure[J].Science,1980,210:1081-1088.DOI:10.1126/science.210.4474.1081.

[3] Ashkin A,Dziedzic J M,Bjorkholm J E,etal.Observation of A Single-beam Gradient Force Optical Trap for Dielectric Particles[J].OptLett,1986,11:288-290.DOI:10.1364/OL.11.000288.

[4] Grier D G.A Revolution in Optical Manipulation[J].Nature,2003,424:810-816.DOI:10.1038/nature01935.

[5] Ashkin A.Optical Trapping and Manipulation of Neutral Particles Using Lasers[M].Singapore:World Scientific,2006.

[6] McGloin D,Reid J P.Forty Years of Optical Manipulation[J].OptPhotonicsNews,2010,21:20-26.DOI: 10.1364/OPN.21.3.000020.

[7] Ng J,Lin Z F,Chan C T.Theory of Optical Trapping by An Optical Vortex Beam[J].PhysRevLett,2010,104:103601.DOI:10.1103/PhysRevLett.104.103601.

[8] Liu M,Zentgraf T,Liu Y M,etal.Light-driven Nanoscale Plasmonic Motors[J].NatureNanotech,2010,5:570-573.DOI:10.1038/NNANO.2010.128.

[9] Chen J,Ng J,Lin Z F,etal.Optical Pulling Force[J].NaturePhoton,2011,5:531-534.DOI:10.1038/NPHOTON.2011.153.

[10] Ruffner D B,Grier D G.Optical Conveyors: A Class of Active Tractor Beams[J].PhysRevLett,2012,109:163903.DOI:10.1103/PhysRevLett.109.163903.

[11] Dogariu A,Sukhov S,Saenz J.Optically Induced ‘Negative Forces’[J].NaturePhoton,2013,7:24-27.DOI:10.1038/NPHOTON.2013.315.

[12] Chaumet P C,Rahmani A.Optical Tweezers:Dressed for Success[J].NatureNanotech,2014,9:252-253.DOI:10.1038/nnano.2014.67.

[13] Chen J,Ng J,Ding K,etal.Negative Optical Torque[J].SciRep,2014,4:6386.DOI:10.1038/srep06386.

[14] Ding K,Ng J,Zhou L,etal.Realization of Optical Pulling Forces Using Chirality[J].PhysRevA,2014,89:063825.DOI:10.1103/PhysRevA.89.063825.

[15] Bliokh K Y,Rodriguez-Fortuno F J,Nori F,etal.Spin-orbit Interactions of Light[J].NaturePhoton,2015,9:796-808.DOI:10.1038/NPHOTON.2010.201.

[16] Du J J,Yuen C H,Ding K,etal.The Engineering of Optical Conservative Force[Z/OL].2015,arXiv:1505.07276v1.

[17] Chen J,Wang N,Cui L Y,etal.Optical Twist Induced by Plasmonic Resonance[J].SciRep,2016,6:27927.DOI:10.1038/srep27927.

[18] Chemla Y R.High-Resolution,Hybrid Optical Trapping Methods,and Their Application to Nucleic Acid Processing Proteins[J].Biopolymers,2016,105:704-714.DOI:10.1002/bip.22880.

[19] Sergides M,Truong V G,Chormaic S N.Highly Tunable Plasmonic Nanoring Arrays for Nanoparticle Manipulation and Detection[J].Nanotechnology,2016,27:365301.DOI:10.1088/0957-4484/27/36/365301.

[20] Kilchherr F,Wachauf C,Pelz B,etal.Single-molecule Dissection of Stacking Forces in DNA[J].Science,2016,353:1116.DOI: 10.1126/science.aaf5508.

[21] Ashkin A.Forces of a Single-beam Gradient Laser Trap on A Dielectric Sphere in the Ray Optics Regime[J].BiophyscalJournal,1992,61:569-582.WOS:A1992HC77800025.

[22] Sun W J,Wang S B,Ng J,etal.Analytic Derivation of Electrostrictive Tensors and Their Application to Optical Force Density Calculations[J].PhysRevB,2015,91:235439.DOI:10.1103/PhysRevB.91.235439.

[23] Bohren F,Huffman R.Absorption and Scattering of Light by Small Particles[M].NewYork:Wiley,1983.

InfluenceoftheImaginaryPartofPermittivitytotheConservativeandNon-conservativeForcesExertedonMieParticles

LI Kaikai,CHEN Jun*

(InstituteofTheoreticalPhysics,ShanxiUniversity,Taiyuan030006,China)

Based on fast Fourier transform, Mie theory and multipole expansion, this paper numerically and analytically investigate the influence of the imaginary part of permittivity, which is an important quantity for optical force, to the z-component conservative and non-conservative forces exerted on dielectric or metallic Mie particles.The analytical results can match numerical simulations very well for both dielectric and metallic material particles. The maximum values of the z-component non-conservative forces always lie on the position of the maximum electro-magnetic fields, while those of the conservative forces always lie on both sides of the maximum fields, and the two forces both diminish quickly when the particle runs away from the maximum fields. The specific change trends of the conservative and non-conservative force for dielectric and metallic particles are different.The analysis shows the different variation of the conservative and non-conservative force with the imaginary part of permittivity root in the different influence of the various properties of materials to the polarizabilities and the two different kinds of forces. The investigation of conservative and non-conservative forces favors more accurate and freely manipulation on micro-particles.

optical force;conservative force;non-conservative force;imaginary part of permittivity;Mie particle

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.04.017

2016-11-15；

2016-12-25

国家自然科学基金(11404201；11674204)；山西省科技厅基金(2014011008-1)

李凯凯(1989-), 女,山西文水人,硕士研究生，研究方向:光学微操控。

*通信作者：陈君(CHEN Jun),E-mail: chenjun@sxu.edu.cn.

O442

A

0253-2395(2017)04-0771-10