极大子群为广义四元数群的有限2-群

郝成功，王建婷

(山西大学 数学科学学院,太原 030006)

极大子群为广义四元数群的有限2-群

郝成功，王建婷

(山西大学 数学科学学院,太原 030006)

从对合的角度研究了具有一个极大子群为广义四元数群的有限2-群的结构,通过考察广义四元数群的对合自同构的共轭类,以及相应半直积中的对合个数,获得了上述2-群的结构的完整分类。作为推论,证明了对合个数是该类2-群的同构型的一个完全不变量。

2-群;极大子群;对合;广义四元数群;自同构群

0 引言

如无特殊说明, 本文所使用的符号和术语大多是标准的, 具体可参考Isaacs的群论教程[1]。本文约定, 用C2n,M2n,D2n,Q2n,SD2n分别表示2n阶循环群,2n阶模2群,2n阶二面体群,2n阶广义四元数群,2n阶半二面体群。

在群论中, 熟知子群对群的结构有着深刻的影响。 文献[2]利用极大子群、极小子群和交换子群等的数量性质和正规性质分别对一般的交错群、对称群、可解群、非可解群和含非交换单子群的有限群进行了刻画。 Berkovich[3]讨论了具有循环Frattini子群的p-群。 文献[4]中, 作者进一步研究非循环子群的共轭类个数对有限群结构的影响。 在文献[5]中,Buckley J证明了极小子群都是正规子群的有限群都是可解群, 此时其导群亦有很多限制。 极大子群是一种特殊的子群, 在文献[6]中探讨了具有特殊极大子群的群的可解性问题。 Janko[7]研究了任意两个不同的极大交换子群的交都是循环群的有限非交换2-群。而文献[8]讲述了当p-群的所有子群都是亚循环群或者是有一个阶≤p的导群时, 原p-群的同构分类情况,p为素数。 且2为素数中唯一的偶数, 2-群在有限群中占据了极其重要的地位, 文献[9-11]给出了2-群的一些特有结论。

本文主要从群G的极大子群出发来研究有限2-群G的分类。 由文献[12]知当2n阶群G具有一个循环的极大子群时,G恰有六个同构型, 即C2n,C2n-1×C2,M2n,D2n,Q2n,SD2n.熟知, 具有唯一对合的2-群只有循环2-群和广义四元数群, 因此刻画具有一个极大子群为广义四元数群的2-群就是一个自然的问题。 此外, 广义四元数群也是一类重要的有限群[13]。 在文献[14]中, Puusemp P利用群G=Q2nC2的自同态半群刻画了群G的群扩张等价类。 下面为本文的主要结论。

定理A 设G为有限2-群, 且G有一个极大子群同构于广义四元数群Q2n+1,n≥3.则G同构于下述五个群之一, 其中P=〈a,b|a2n=1,b2=a2n-1,ab=a-1〉,C2=〈c〉为二阶循环群:

(1)Q2n+2;

(2)Q2n+1×C2;

(3)Q2n+1C2, 群作用为ac=a-1,bc=b;

(4)Q2n+1C2, 群作用为ac=a-1,bc=ba;

(5)Q2n+1C2, 群作用为ac=a1+2n-1,bc=b.

1 相关引理

本节将给出广义四元数群对应自同构群的相关引理。

引理1 设P=〈a,b|a2n=1,b2=a2n-1,ab=a-1〉为广义四元数群,其中n≥3.则Aut(P)≅ΗοL(Z2n).

以下将利用上述引理的同构等同σ∈Aut(P)与(i,j)∈ΗοL(Z2n).下面引理给出了广义四元数群的对合自同构的刻画。

引理2 设(i,j)∈ΗοL(Z2n),n≥3.则(i,j)是对合的充要条件是i2≡1(mod2n)且(1+i)j≡0(mod2n).特别地,i=1,2n-1,±1+2n-1.

证明因为(i,j)·(i,j)=(i2,(1+i)j), 第一个结论显然。

引理3 设P为有限群,τ,τ′∈Aut(P)彼此共轭, 则相应的半直积〈τ〉P≅〈τ′〉P.

证明由条件存在σ∈Aut(P)使得τ′=τσ.定义θ: 〈τ〉P→〈τ′〉P为θ(τ,x)=(τ′,xσ).直接验证可知θ为群同构, 因此〈τ〉P≅〈τ′〉P.

由于对合自同构共轭时,它们对应的半直积同构, 下面给出ΗοL(Z2n)中对合共轭的条件。

引理4 设(i,j),(i′,j′)∈ΗοL(Z2n)为对合。则(i,j),(i′,j′)共轭当且仅当存在(s,t)∈ΗοL(Z2n)满足i′=i且j′ ≡js+(1-i)t(mod2n).

反之,设i′=i且j′ ≡js+(1-i)t(mod2n).则is≡si′(mod2n)且js+t≡ti′+j′ (mod2n).此时(s,t)满足(i,j)(s,t)=(s,t)(i′,j′), 即对合(i,j)和(i′,j′)共轭。

推论5 ΗοL(Z2n)中对合按共轭可分为五个等价类,其代表元分别为(1,2n-1),(-1,0),(-1,1),(1+2n-1,0)和(-1+2n-1,0).

引理6 设P=〈a,b|a2n=1,b2=a2n-1,ab=a-1〉为广义四元数群,n≥3. 令τ∈Aut(P)为对合,G=〈τ〉P. 则当τ依次取(1,2n-1), (-1,0), (-1,1), (1+2n-1,0)和(-1+2n-1,0)时,G中对合数分别为2n+3,2n+3,2n+1,2n-1+3和2n-1+3.

证明首先P和〈τ〉中均有唯一对合。 任取y∈G为对合, 则可设y=xτ, 其中x∈P.注意到y为对合当且仅当xτ=x-1。 由于P=〈a〉∪b〈a〉, 故x=am, 1≤m≤2n-1, 或x=bam, 0≤m≤2n-1.下面按τ的选取和x的选择分情况讨论。

1)当τ=(1,2n-1)时。

(1)如果x=am, 1≤m≤2n-1, 则由(am)τ=(am)-1, 可得am=a-m, 即a2m=1, 表明2n|2m, 则只有当m=2n-1时,amτ为对合。

(2)当x=bam时, 则由(bam)τ=(bam)-1可得a2n-1bam=a2n-1bam恒成立。 表明bamτ, 1≤m≤2n, 均为对合。

因此,G共有2n+3个对合。

2)当τ=(-1,0)时。

(1)如果x=am, 1≤m≤2n-1, 则显然有(am)τ=(am)-1, 表明amτ, 1≤m≤2n-1,均为对合。

(2)当x=bam时, 则由(bam)τ=(bam)-1可得amb=a2n-1-mb, 即2n|2m-2n-1. 则只有当m=2n-2或m=2n-2+2n-1时,bamτ为对合。

因此,G共有2n+3个对合。

3)当τ=(-1,1)时。

(1)如果x=am, 1≤m≤2n-1, 则显然有(am)τ=(am)-1, 表明amτ, 1≤m≤2n-1,均为对合。

(2)当x=bam时, 则由(bam)τ=(bam)-1可得a-2n-1+2m-1=1, 即2n|2m-2n-1-1. 该矛盾表明bamτ均不是对合。

因此,G共有2n+1个对合。

4)当τ=(1+2n-1,0)时。

(1)如果x=am, 1≤m≤2n-1, 则由(am)τ=(am)-1, 可得am(2+2n-1)=1, 即2n|m(2+2n-1), 则只有当m=2n-1时,amτ为对合。

(2)当x=bam时, 则由(bam)τ=(bam)-1可得a(m-1)2n-1=1. 即2n|(m-1)2n-1, 则当m取奇数时,x=bamτ为对合。

因此,G共有2n-1+3个对合。

5)当τ=(-1+2n-1,0)时。

(1)如果x=am, 1≤m≤2n-1, 则由(am)τ=(am)-1, 可得am2n-1=1, 即2n|m2n-1,则当m取偶数时,x=amτ为对合。

(2)当x=bam时, 则由(bam)τ=(bam)-1可得am=1, 则2n|m. 即只有当m=0时,x=bamτ为对合。

因此,G共有2n-1+3个对合。

2 定理证明

定理A的证明如果G有唯一对合, 则显然G≅Q2n+2. 因此不妨设G中对合不唯一。 设P≅Q2n+1为G的极大子群, 则存在对合c∈G-P, 此时G=〈c〉P. 如果c在P上的共轭作用平凡, 则G≅〈c〉×P. 下设c在P上的共轭作用非平凡, 则c诱导P的一个对合自同构τ.

设P=〈a,b|a2n=1,b2=a2n-1,ab=a-1〉. 由引理1, 知可设τ=(i,j),使得σ(a)=ai,σ(b)=baj.再由引理3和推论5, 不妨设τ=(1,2n-1),(-1,0),(-1,1),(1+2n-1,0)或(-1+2n-1,0).因为同构的群总有相同的对合数, 故由引理6,知当τ=(-1,1),其决定的半直积〈τ〉P与其余τ所确定的半直积必不同构,而且其所确定的半直积为所证结论(4)。

现在令τ1=(1,2n-1),τ2=(-1,0),τ3=(1+2n-1,0),τ4=(-1+2n-1,0), 再令相应的半直积为Gi=〈τi〉P, 其中i=1,2,3,4. 断言G1≅G2,G3≅G4. 在Gi中令τ′=τ1ba2n-2, 则aτ′=a-1,bτ′=b且ο(τ′)=2. 显然G1=〈τ1〉P=〈τ′〉P, 视τ′为P的自同构时有τ′=τ2, 据此可推出G1≅G2. 同理, 令τ′=τ3ba, 则aτ′=a-1+2n-1,bτ′=ba2,显然τ′也是P的一个对合自同构, 所以G3=〈τ3〉P=〈τ′〉P. 但τ′=(-1+2n-1,2)与τ4在Aut(P)中共轭, 故G3≅G4.

由于G1≅G2, 则由群运算定义可知当τ1=(1,2n-1)和τ2=(-1,0)时, 对应所证结论(3), 则G≅Q2n+1C2, 群作用为ac=a-1,bc=b. 同理, 由于G3≅G4, 则可知当τ3=(1+2n-1,0),τ4=(-1+2n-1,0)时, 对应所证结论(5), 则G≅Q2n+1C2, 群作用为ac=a1+2n-1,bc=b.

注记定理A结论中的五个群彼此不同构, 除(1) 外可依次写出其余四个群G=〈a,b,c〉的生成关系。 当τ=(i,j)为P的对合自同构时, 则相应半直积〈τ〉P的同构分类恰为定理A中的(3)-(5), 出现的三个群即为代表元。 因此, 可将P的全部对合自同构所构造的半直积之同构分类如下:

(1)〈τ〉P, 其中τ∈{(1,2n-1),(-1,2k)|k∈Z2n-1};

(2)〈τ〉P, 其中τ∈{(-1,2k-1)|k∈Z2n-1};

(3)〈τ〉P, 其中τ∈{(1+2n-1,0),(1+2n-1,2n-1),(-1+2n-1,2k)|k∈Z2n-1}.

表明同构的半直积所对应的对合自同构不一定共轭。 即引理3并不是充要条件, 而是给出自同构所对应半直积同构的一个充分条件。

由定理1可知, 当有限2-群G和H均有一个极大子群同构于广义四元数群Q2n+1时, 从对合的角度可给出G和H同构的充要条件, 即

推论7 设有限2-群G和H均有一个极大子群同构于广义四元数群Q2n+1,其中n≥3.则G≅H当且仅当G和H具有相同个数的对合。

[1] Isaacs I M.Finite Group Theory[M].American Mathematical Soc,Providence,RI,2008.DOI:10. 1090/gsm/092.

[2] 史江涛.特殊子群对有限群结构的影响[D].苏州:苏州大学,2009.DOI:10.7666/d.y1574756.

[3] Berkovich Y.On Subgroups of Finite p-Groups[J].JournalofAlgebra,2000,224(2):198-240.DOI:10.1006/jabr.1999.8004.

[4] 郭凯艳.某些特殊子群的个数对有限群结构的影响[D].重庆：西南大学,2012.DOI:10.7666/d.y2149584.

[5] Buckley J.Finite Groups Whose Minimal Subgroups Are Normal[J].MathematischeZeitschrift,1970,116(1):15-17.DOI: 10.1007/bf01110184.

[6] 王兆浩.受极大子群影响的群的若干基本性质[D].重庆：西南大学,2007.DOI:10.7666/d.y107 4211.

[7] Janko Z.On Maximal Abelian Subgroups in Finite 2-Groups[J].MathematischeZeitschrift,2008,258(3):629-635.DOI:10.1007/s00209-007-0189-1.

[8] Zhang L,Xia Y,Zhang Q.Finite p-Groups All of Whose Maximal Subgroups Either Are Metacyclic or Have a Derived Subgroup of Order≤p[J].ChineseAnnalsofMathematic,SeriesB,2015,36(1):11-30.DOI:10.1007/s11401-014-0880-6.

[9] Jaikin-Zapirain A,Tent J.Finite 2-Groups with Odd Number of Conjugacy Classes[Z/OL].arXiv:1611.09077[math.GR],2016.

[10] Ustyuzhaninov A D.Finite 2-Groups with Three Involutions[J].SiberianMathematicalJournal,1972,13(1): 130-140.DOI:10.1007/bf00967647.

[11] Kaur D,Kulshrestha A.Strongly Real Special 2-Groups[J].CommunicationsinAlgebra,2015,43(3):1176-1193.DOI:10.1080/00927872.2013.865042.

[12] Gorenstein D.Finite Groups[M].American Mathematical Soc,2007.

[13] Hayami T,Sanada K.Cohomology Ring of the Generalized Quaternion Group with Coefficients in an Order[J].CommunicationsinAlgebra,2002,30(8):3611-3628.DOI:10.1081/agb-120005809.

[14] Puusemp P.Semidirect Products of Generalized Quaternion Groups by a Cyclic Group[M]∥Generalized Lie Theory in Mathematics,Physics and Beyond.Springer Berlin Heidelberg,2009:141-149.DOI:10.1007/978-3-540-85332-9-13.

[15] 朱德高,左国新.广义四元数群的自同构群及其全形[J].数学物理学报:A辑,2005,25(1):79-83.DOI:10.3321/j.issn:1003-3998.2005.01.012.

Finite2-GroupswithaMaximalSubgroupIsomorphictoaGeneralizedQuaternionGroup

HAO Chenggong，WANG Jianting

(SchoolofMathematicalSciences,ShanxiUniversity,Taiyuan030006,China)

From the aspect of involutions, finite 2-groups with a maximal subgroup isomorphic to a generalized quaternion group are studied. By investigating the conjugacy classes of involution automorphisms and the number of involutions in the corresponding semi-direct products, a complete classification of such 2-groups is obtained. As a corollary, the number of involutions in such a 2-group is shown to be a completely invariant under isomorphisms.

2-group;maximal subgroup;involution;generalized quaternion group;auto-morphism group

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.04.005

2016-07-27；

2016-12-12

山西省自然科学基金(2012011001-1)

郝成功(1958- ),男,副教授,研究领域为有限群表示论。E-mail:haocg@sxu.edu.cn

O152.1

A

0253-2395(2017)04-0732-04