构造几何模型巧证不等式

周辰

对于那些具有明显几何意义的不等式，可以构造平面几何图形、构造解析几何中的斜率公式、距离公式、定比分点公式、直线和圆、空间立体几何等有关知识来证明不等式可以收到意想不到的效果。

一、构造斜率模型巧证不等式

例1：求证：0≤ ≤

分析：表达式 与斜率公式k= 具有相同的结构，因此可利用斜率公式来证。

证明：把y= = 看作定点A（―4，―3）与圆x2+y2=9上的动点P（3cosx，3sinx）连线的斜率，设动直线的方程为y+3=k（x+4）

由 消去y，得（1+k）2+（8k2―6k）x+16k2―24k=0

由 ≥0，求得0≤k≤ ，故不等式得证。

二、构造“点到直线的距离”模型巧证不等式

例2：若x、y R且满足ay―bx=c· （a、b、c R，且x=a与y=b不同时成立），求证：c2≤x2+y2，c2≤a2+b2

证明：设A（a、b）、B（x、y），O为坐标原点，作OH AB，则在平面直角坐标系mon中，直线AB的方程为（b―y）m―（a―x）n+ay―bx=0，由点O到直线AB的距离知|OH|2= 得（ay―bx）2=|OH|2[（b―y）2+（a―x）2]，与已知条件比较得|OH|2=c2，显然|OH|2≤|OB|2、|OH|2≤|OA|2

∴ c2≤x2+y2，c2≤a2+b2

三、构造线段的定比分点公式巧证不等式

例3：关于x的二次方程x2+ax+b=0有两个实根 、 ，其中a、b R

（1）如果|a|<2，| |<2，求证2|a|<4+b且|b|<4

（2）如果2|a|<4+b且|b|<4，求证：|a|<2，| |<2

证明：由表达定理 + =―a， =b，设―4―b、2a、4+b分别为P1、P、P2在数轴上的坐标。

（1）要证2|a|<4+b，只需证―4―b<2a<4+b，即只需证P为线段P1P2的内分点

∵ = = = =

又∵|a|<2，| |<2 ∴ >0

故P为线段P1P2的内分点，且|b|=| |<4

（2）由2|a|<4+b即―4―b<2a<4+b，可知P为线段P1P2的内分点，则 = >0，由（1）可知 >0，即（4- 2）（4- 2）>0，因此有 2<4， 2<4（若 2>4， 2>4与|b|=| |<4矛盾），即|a|<2，| |<2

四、构造直线与圆的位置关系巧证不等式

例4：已知a、b R且2a+3b=7，求证： + ≤

分析：待求不等式可视为：求 + 的范围，令 + =t联想到（ ， ）是直线x+y=t上的点，又由（ ）2+（ ）2=2a+3b+2=9联想到（ ， ）也是圆x2+y2=9上的点，故设想构造直线与圆相交或相切来证。

证明：设x= ，y= （x≥0，y≥0且不同时为零），则x2+y2=2a+3b+2=9，又设x+y=t

∵点（x、y）为直线x+y=t与圆x2+y2=9的公共点

∴ ≤3，又∵t=x+y>0

∴t≤3 即 + ≤

五、构造“距离之和”最小值问题巧证不等式

例5：若x R，求证： + ≥

证明： +

= +

设点P（x，0），A（0，2），B（3，1）则问题转化为求x轴上的P点到A、B两点的距离之和的最小值。

如图所示，易知|AP|+|BP|=|A′P|+|BP|≥|A′B|

又∵|A′B|= = 故原不等式成立

六、构造几何图形证明不等式

有些数学问题如按常规方法求解，有时会因过程较繁而陷入困境。如能从题目的结构特征来分析问题，巧妙构造合理的几何图形可起到事半功倍的效果。

1.构造平面几何图形

例6 已知x、y R，求证 + + >3

分析：通过观察题设的结构联想到两点间的距离公式，不等式的左边如果看作动点（x、y）到点（-1、0）、（1、0）、（0、 ）之间的距离的和，问题转化为三条线段的长度和大于3，问题就迎刃而解。

证明：如图建立平面直角坐标系，设A（-1、0）、B（1、0）、C（0、 ）平面上的点P（x、y）

∴PA+PC>AC

PB+PA>AB

PB+PC>BC

∴2（PA+PB+PC）>AC+AB+BC=6

∴PA+PB+PC>3

∴ + + >3

七、構造立体几何图形

例7.已知锐角α、β、γ满足 =1，求证：tanα·tanβ·tanγ≥2

分析：由于已知 =1联想到长方体，构造长方体 ，设它的长、宽、高分别为a、b、c，且设相交于同一顶点的三条棱与交于此顶点的对角线所成角分别为α、β、γ

证明：长方体 ，对角线 与 、 、 所成的角分别为α、β、γ，设 =a， =b， =c

∴tanα·tanβ·tanγ= · · ≥

当且反当a=b=c，即α=β=γ时等号或成立，即证毕。

从以上例子可以看出，有些不等式的证明用常规方法证明较难入手，若选择构造几何模型，利用几何意义就可以很轻松地证明出来了。