高中数学归纳法的思维障碍及应对策略

【摘要】数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要.本文主要从思维维度对高中生学习数学归纳法进行障碍分析，并在分析的基础上，提出相应的应对策略，帮助教师更深入地了解高中生学习数学归纳法认知障碍情况，以便教师在教学过程中能更好地引导学生进行数学归纳法的学习.

【关键词】高中生数学归纳法认知障碍应对策略

1 问题的提出

在数学证明中，数学归纳法是一种常用的数学方法，用途很广，对于某些结论是自然数的函数的命题，往往都可以通过数学归纳法来加以证明.

本人长期担任理科班的教学，在实际教学中我发现学生对数学归纳法地理解不够透彻，不能熟练地将之运用于解题。本人申报了课题《高中生学习数学归纳法的认知障碍及应对策略》，分别从感知、记忆、思维三个维度进行研究，本文主要是从思维这个维度进行分析.

2 思维障碍分析

思维是人脑对客观世界的概括的、间接的反映.思维是认知的高级形式，是智力活动的核心.观察为思维提供有关当前事物、现象和过程的信息；记忆则为思维提供以往感知过的事物的表象；想象提供未能亲身感知到的事物的信息；注意则对思维进行调节和监控，保证思维的持续运转.思维则把感知等提供的大量的感性材料、具体事实等进行由表及里、去伪存真的加工改造，揭示出了事物的本质属性.

2.1 思维缺乏灵活性

思维的灵活性是指思考问题时，能根据问题的条件的变化而变化.数学归纳法学习中思维缺乏灵活性表现在三个方面.一是在用数学归纳法解题时，受思维定势影响，常认为归纳基础就是1.

事实上：（1）数学归纳法公理中“”是使命题成立的最小正整数.例如，命题“多边形的内角和为（n-2）·180°”中，n的取值应当是大于或等于3的正整数，所以，用数学归纳法证明此命题的归纳基础应该是=3；命题“边数为偶数的圆内接凸多边形，相间诸角的和等于其余诸角的和”中，当n<4时，原命题无意义，所以，用数学归纳法证明此命题的归纳基础应该是=4，然后再对一切偶数进行数学归纳法.

（2）对于某些命题，虽然正整数n（n∈N*）的任意取值都能使其有意义，但并非对一切正整数都成立.对此类命题，应该找出使命题成立的最小正整数作为归纳基础.例如，使命题2n>n2成立的最小正整数为=5.因此在运用数学归纳法证明该命题时，应取归纳基础为=5.

可见，在用数学归纳法解题时，灵活的根据题中的条件选择归纳基础是多么重要.

2.2 思维缺乏深刻性

思维的深刻性是指，思维能透过现象看到事物的本质，能更深入的思考问题，不被表面现象所迷惑.思维深刻性差的学生不能从本质上正确的区分数学归纳法与完全归纳法，容易被规律表面上的相似性干扰.

归纳与演绎相对，指人的思维方式与推理方法.原来教材对归纳法的解释是指“从一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法”.如果更改归纳法定义，去掉“有限”，即可将数学归纳法划进完全归纳法的范畴，这是不对的.从认知角度，人能否直接观察无限个特殊事例？人如何观察无限个？在数学上，是通过“有限”去认识“无限”.

那么，数学归纳法究竟是什么？应该说它是一个推理方法，它是归纳推理还是演绎推理？从数学归纳法的本质讲，数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理（5）即归纳公理的直接应用，从推理的角度理解数学归纳法，观察数学归纳法的两个步骤：首先说明第一个命题是正确的，接着建立递推关系：如果一个命题正确，那么它后面的一个命题也正确.由这两个步骤说明命题对所有的自然数都成立.从中可以看出，数学归纳法通过两个步骤，利用递推说明所有的命题即P（n）（n∈N*）都是正确的.它并不是“从有限个（即便改为无限）特殊事例中得到一般规律”，所以，从推理角度思考，不应该将数学归纳法划入归纳法范畴，数学归纳法中有更多的演绎成份.所以，有人也将数学归纳法称为“递推证法”.

2.3 缺乏丰富的感性材料

事实告诉我们，学生学习数学归纳法的主要困难有两点：其一是对方法本身不理解，第一步的意义和第二步的本质分别是什么？其二是由归纳假设P（k）成立推导P（k+1）成立时，变形过程有困难.思维的正常运转离不开感知、记忆、想象提供的丰富感性材料，特别是在抽象的数学归纳法学习中，更离不开直观的感性材料，是建立和理解数学归纳法公理的基础.

3 应对策略分析

3.1 追根溯源，提高学生思维的深刻性

由于数学归纳法原理的抽象性，学生在学习过程中，对于知识发生、发展的过程不会主动地进行深入的理解和思考，一般的学生对数学归纳法原理的理解仅仅停留在表象的概括层面上，不太可能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握原理的本质.

问题是数学的心脏，数学问题是数学思维的动力，并为思维指出了方向；数学思维的过程也就是不断地提出问题和解决问题的过程.课堂教学是实施素质教育的主渠道，而把素质教育落实到课堂教学中，恰恰是以问题解决作为中介的.因此，在数学归纳法学习中，教师要不断向学生提出不同层次的数学问题，追根溯源，为更深入的数学思维活动提供动力和规划方向，从而来提高学生思维的深刻性.

知识的掌握并不等同与大量感性材料的简单叠加，它是通过对大量的感性材料进行由表及里、去粗取精的思维加工，概括总结出来的.因此在学生获得了足够的感性材料后，教师要指导学生运用已有的数学知识和数学方法，对感性认识进行分析、归纳，抽象概括出感性认识中反映数学归纳法本质属性，实现由感性到理性的飞跃.另外，学生是学习的主人，任何人都不能代替学生学习，只有学生自己通过认真仔细的思考，学生亲身经历由感性到理性的过程，才能真正学会知识.如果教师只是一味的代替学生思考，不给学生独立思考的空间，就会剥夺了学生思维的积极性和主动性，阻碍学生思维能力的发展.

3.2 打破定势，培养学生思维的灵活性

所谓思维定势，指的是思维的方向性、目的性、程序性，它是人们按照一种固定的思路去考虑问题的思维形态.它有两个基本的特征：一是将新问题归结为旧问题的倾向性；二是扩大已有经验的应用范围.它既有积极的一面，也有消极的一面.要使学生解题正确、迅速、合理，势必要使学生掌握解题的通法、解题的思路，通过练习而形成解题模式的心理表象，其外显形式则达到了熟练的水平.但与此同时，思维定势也就产生了.

学过数学归纳法以后，遇到与正整数有关的问题，有的学生总是自觉或不自觉地想用数学归纳法去证明.其实，有些问题用数学归纳法证明，会显得思路呆板，过程繁琐，以至无法求解.而根据问题的结构特点，寻求另一些思路，往往可出奇制胜.

学习数学归纳法的目的在于应用，使用数学归纳法分析和解决问题，了解数学归纳法的使用条件和适用范围的意义，从而根据条件灵活的选择数学归纳法解决问题，培养学生思维的灵活性.教师应给学生提供解题的示范，帮助学生分析解题过程，教给学生解决问题的方法、步骤.教师还要精心挑选典型习题，让学生作适当训练.

3.3 提供感性材料

在实际教学中，为了帮助学生消除困惑，很好得掌握数学归纳法，常见的教学方法往往是举多米诺骨牌的游戏.由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推倒第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下……如此傳递下去，所有的骨牌都会倒下.教师提出问题：要使n块多米诺骨牌全体依次倒下，需满足什么条件？最后通过讨论得出结论：（1）第一块要倒下；（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下.教师把这两个条件迁移到具体的数学问题中，引出数学归纳法证题的步骤，最后让学生套用这个模式解题.