实函数与复函数的几个比较教学点分析

马守国++文晓霞

摘 要：根据实函数与复函数之间的关系，能总结出复变函数学习过程中的一些学习要点。化“复”为“实”，不仅加强了学生对实函数相关性质的理解，还理清了两者之间的关系，弱化了复变函数理论的抽象性，取得更好的教学效果。

关键词：实函数；复函数；解析；积分；级数

中图分类号：G712；G642 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2017）34-0077-01

复变函数是一门古老而富有生命力的学科。它不仅是实变函数微积分的理论推广，而且作为一种强有力的工具， 已经被广泛地应用于振动力学、空气动力学、流体力学、弹性力学、理论物理以及自动控制理论等众多领域，有很多复杂的计算就是以复变函数为工具来解决的。

一、理清实函数和复函数的关系

在复变函数教学中发现：不少学生在学习复变函数的过程中，对于实函数和复函数的关系始终难以理清，而这两个函数之间的关系不仅是掌握好复变函数必须解决的问题，也是学好复变函数的一种有效的方法。教师可以利用两者之间的关系将学生在高等数学实数域内的一些理论，通过“演变”推广到复数域中，化“复”为“实”，用已知的方法和理论解决未知的问题。如此一来，不仅是对实函数理论的夯实，还有利于学生易于接受相应的复函数理论，弱化其抽象性。同时，能锻炼学生的逻辑思维，拓展学生的数学视野。通过学习不难发现，复数域内的很多理论与实数域内的理论之间有着极其密切的关系，可以通俗地总结为“一”与“二”的关系：一个复数对应两个实数（实部和虚部），一个复函数对应两个二元实函数，一个复积分对应两个实曲线积分，一个复数列的收敛问题等价于两个实数列的收敛问题，一个复数项级数的收敛等价于两个实数项级数的收敛，等等。

二、复函数学习中值得注意的问题

在复函数学习中，应注意以下几个问题。

（1）实函数的可导与复函数解析的联系与区别。高等数学中关于实函数的导数、微分、积分占据了该课程的很大篇幅，学生的掌握也相对牢固。而复变函数中初等函数的指数函数、对数函数、幂函数、三角函數等在自身的解析域内其导函数与实函数正好是一致的，因此，可以利用这一点来记忆复变函数领域内初等函数的导数结果。但值得注意的是，解析的概念是实函数所没有的，这一点又必须与可导加以区别，尤其是点和区域两种情况下可导与解析的关系必须弄清楚。

（2）两个数域内初等函数的关系问题。由于复函数是实函数的拓广，因此在函数定义上也相应地进行了拓广，不仅保持了实变初等函数基本的性质，也包含了部分不同的特殊性质。例如，在高等数学教学中，ex可以看作是以e 为底的指数函数，同样可以看作是e 的 x 次幂。但在复变函数中，就不能这样去理解，ez仅仅表示的是复变指数函数的一个符号，当z=x为实数时，复指数函数就是实数域内的指数函数了。同样，可以理解其反函数——对数函数lnz及其主值lnz，lnz为多值函数，这是指数函数ez周期性的体现。当然，复函数还有许多实函数所不具有的性质，如指数函数的周期性，对数函数lnz的多值性，三角函数sinz，cosz的有界性等，在学习的过程中必须加以重视。

（3）利用实积分求解复积分问题的方法。复积分既可以转化为关于曲线参数的定积分，也可以转化为曲线积分，在转化过程中必须加强学生关于积分曲线参数方程的确定，这仍然是实数域内的问题转化为复数域内的问题。

（4）利用实级数的结论解决复级数的收敛与展开。对于复级数的收敛半径与泰勒级数的展开，两个数域级数的收敛域几乎是相同的，只是实数域内的级数收敛域是关于中心的对称区间，而复数域内的级数收敛域是关于中心的开圆，这是实数与复数本身的特性所造成的。这部分内容学生的疑惑大多产生在函数在圆环域上的洛朗展开式上。在学习过程中，以下两个问题需要引起注意：一是圆环域的中心决定洛朗级数上的“长相”。圆环域的中心z0就是洛朗级数的中心，这个中心决定之后所展开的洛朗级数形式，很多同学没弄清楚这一点，往往就没有了解题的方向。二是洛朗级数展开过程会受到所处圆环域的条件限制。同一个函数在不同的圆环域内因为条件不同，展开的洛朗级数不同，因此，在展开时需要格外注意圆环域的条件问题。一般都是利用一些已知的结果进行间接展开，这种方法比较简单。

（5）留数法求特定模式实积分。留数概念虽然是基于复函数给出的，但是应用变量代换或者满足一定条件又可以用来解决一些特定形式的实定积分或广义积分，这无疑又使得实函数与复函数之间的关系更加紧密。

三、结束语

复变函数与积分变换是学生学习后继相关专业课的必备工具，学好这门功课对学生的发展尤为重要。教师要注意从以上几个方面，把有关实函数的连续、微分、积分、级数等理论延续拓广到复变函数中，从而取得更好的教学效果，提高学生的逻辑思维能力。

参考文献：

[1]唐笑敏，刘太顺，胡璋剑.高师院校复变函数课程教学改革的探索[J].大学数学，2011（01）.

[2]檀大耀.简谈复变函数教学以上中类比的使用[J].钦州学院学报，2010（03）.endprint