竖直振动振子振动频率对所产生表面水波流向影响的研究

尹梦迪　林伟华

【摘 要】观察一在水中半浸没的竖直振动水平圆柱周围的水波，圆柱的振动频率对其周围水波流向有明显影响。在低频率时，平面波自振子向周围推进；增加频率，交叉波逐渐取代平面波，在振子周围形成不稳定流场；继续增加频率，振子周围形成拉格朗日相干结构，并满足Lighthill判据，继而发生水波逆向流动现象。实验通过改变振动频率、幅度及振子材质观察水波流动现象，来探究水波逆向流动的因素，并尝试用流形解释这一现象。通过振动驱动水波流向改变，这一非线性动力学现象，可在日后的水运中得到应用，达到节能、高效生产的目的。

【关键词】竖直振动；表面水波流向；拉格朗日相干结构；Lighthill判据；流形

中图分类号： G649.28 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2017）26-0001-004

The Study of the Effect of Oscillation Frequency of Vertical Oscillator on the Flow Direction of Surface Water Wave

YIN Meng-di LIN Wei-hua

（Physics National Experimental Teaching Demonstration Center，School of Physics Science and Technology，Wuhan University，Wuhan 430072，China）

【Abstract】Observing the surface water wave generated by a half-submerged vertically oscillating cylinder，the frequency of oscillation would have great influence on the propagating direction of the flow.When the cylinder is vibrating with a low frequency，the waves are observed escaping from the cylinder as plane waves.As the frequency is increased，cross-waves appear and the field around the object becomes unstable.When the frequency is high enough， Lagrangian Coherent Structures is formed around the cylinder and Lighthill criterion is satisfied，as well as the propagating direction of waves reversed.The influence effectors of the reversed flow are experimentally studied by changing the oscillating frequency and amplitude of the oscillators，as well as the materials.Whats more，the effectors could be explained using manifold.The method of changing the propagating direction of water flow by oscillations，a nonlinear dynamic phenomenon，could be applied in water carriage in the future with more energy conservation and higher efficiency.

【Key words】Vertical oscillation；Flow direction of surface water wave；Lagrangian Coherent Structures；Lighthill criterion；Manifold

0 引言

在很長一段时间里，由于水波现象对水运水利工程生产中的方方面面有着显著影响，人们对水波现象进行了不断的研究，并取得了显著成果。而通过技术手段产生能将远处物体运输到近处的水波更拥有广泛的应用前景，例如帮助人们更好地理解海洋中船舶的运动，从而指导人们进行技术改革，发明出更加节能有效的水运工具。

一个半浸没在水中的圆柱竖直振动时，振子周围会产生水波。在之前的研究已经表明圆柱振幅[1]、容器壁对水流的反射作用以及振子形状对水波和流场具有显著影响[2]，同时发现有限振幅水波的调制不稳定性和交叉波的产生是导致水波流向转变为朝向振子流动的主要因素之一[2]。根据Lighthill判据[3-4]，调制不稳定性是与水波频率密切相关的，从而理论上，连续改变振子振动频率会对水波流动方向产生明显影响。

本文将探讨研究振子振动情况影响其周围产生的水波流向，即产生背离和流向振子的变化。实验中选用清水和圆柱体作为研究对象，对在水中竖直振动的水平圆柱因振动频率、振子材料导致周围的水波流向产生的变化进行观察，并对现象展开讨论，其中着重探讨的是振子振动频率对水波流向的影响。

1 实验现象

实验装置如图1所示，在一透明方形水箱（长l=53cm，宽w=39cm，水深h=13cm）中进行实验，振子取为圆柱体。用铁质细杆将振子与信号转换器连接，信号转换器与信号发生器（型号DF1631F）相连。振动频率和振动幅度都可直接从信号发生器上直接读出，其中振动幅度是通过峰峰值电压（Vp-p）表示，振动频率范围是从0Hz到100Hz，Vp-p的取值有22.1v（最大输出电压）、17.1v、12.1v，信号源输出正弦信号。为使实验现象易于观察，在水面上加入了一些细小的泡沫塑料颗粒，并用高速摄像机进行拍摄颗粒的运动。endprint

实验发现，只要振动幅度和频率达到足够条件，水波的方向就会发生逆转。图2中显示的是在Vp-p=22.1v（振子振幅为0.75cm）下塑料圆柱（长d=22.218cm，半径r=1.830cm）周围的水波随振动频率变化的情况[1]。

当频率（f）低于7Hz时，圆柱周围是有椭圆波前的平面波，如图2（a）、（b）所示；当频率在7Hz以上时，波前开始抖动，不再是规则的椭圆形状，如图2（c）、（d）所示；当频率到16Hz时，靠近振子处有明显的交叉波产生[图2（e）、（f）所示]；当频率达23Hz时局部区域出现朝向振子行进的水波，继续增加频率，逆流水波区域逐渐增大；当频率达31Hz时全流场出现朝向振子流动的水波[图2（g）、（h）所示]；继续增加频率，观察到逆流区域逐渐减小，增加到38Hz时，整个流场中水波再次背离圆柱流动，上调频率，流场中再次出现局部朝向振子行进的水波，但整个流场中水波行进速度十分缓慢，当频率上调至47Hz时，水流近似静止。

当Vp-p=17v时，在实验选取的频率范围内（0～100Hz）流场中不出现整体逆流的现象，但有小规模逆流现象，在18Hz时出现小规模逆流，随频率增加逆流区域逐渐增大，到25Hz时逆流区域达到最大，范围在从振子出发到在距离振子12cm处；36Hz以上，水流近似静止。

但Vp-p=12v时，20Hz时出现小规模逆流；26Hz时在距离振子小于等于8cm的区域内出现朝向振子流动的水流，逆流区域最大；30Hz以上，水流近似静止。

实验中将硬质塑料棒换为同等条件但质地较软的橡胶棒，水流随频率的变化规律基本相似，但每次发生变化的频率会有不同，在Vp-p仍为22.1v的情况下，当频率低于4.3Hz时，圆柱周围是有椭圆波前的平面波[参考图2（a）、 （b）]；当频率在4.3Hz以上时，波前开始抖动，不再是规则的椭圆形状[参考图2（c）、2（d）]；频率到7.9Hz时，靠近振子处有明显的交叉波产生[参考图2（e）、（f）]；17.3Hz时局部区域出现朝向振子行进的水波，继续增加频率，逆流水波区域逐渐增大；25.3Hz时全流场出现朝向振子流动的水波[参考图2（g）、（h）]；增加频率，观察到逆流区域逐渐减小，流速减慢，增加到28Hz时，整个流场中水波再次背离圆柱流动，上调至频率30Hz，流场中再次出现朝向振子行进的水波，但整个流场中水波行进速度十分缓慢，当频率上调至38Hz时，水流再次向外流动，50Hz以上，水流近似静止。

而在Vp-p分别为17v、12v时，流场均出现一次逆流现象，频率分别对应26Hz和31.4Hz。

图2Vp-p=22.1v（振子振幅為0.75cm）下塑料圆柱（长d=22.218cm，半径r=1.830cm）周围的水波随振动频率变化 （a） f <7Hz椭圆形波前平面波；（c） f≥7Hz波前开始不稳定；（e）f≥16Hz出现交叉波；（g）31Hz≤f≤38Hz逆流时振子前的波场状况；（b）、（d）、（f）、（h） 根据流场情况简化的水流曲线，分别与（a） 、（c）、（e）、（g）对应。（a）、（c）、（e）、（g）中的长方形边框表示振子

实验观察流场随振动频率变化，其现象可分为4个过程：

（1）频率较低时，水波有椭圆形波前，背离振子流动，是平面波[图2（a）、（b）]；

（2）增加频率，水波波前不再是规则椭圆形，出现抖动，方向仍然是背离振子[图2（c）、（d）]；

（3）频率继续增加，振子两端出现如图2（e）、（f）所示的水流，振子周围流场紊乱，湍流出现，出现交叉波，此时再增加频率，水波向外流动速度会逐渐减缓，接着流场类似静止；

（4）继续增加频率，水波开始缓慢向内流动，随着频率增加，向内流动加剧。此时可明显发现再振子的两侧形成四个涡旋，靠近振子处有随机拉格朗日运输区域的产生，并且振子两端的水流流向为背离振子。在此区域中，流场为不稳定流场[图2（g） 图2（h）]。

值得注意的是，每当临近水流方向改变的阈值时，按原向流动的水流总是会减速，到流场近似静止的情况后继续增加频率，水流方向会反向，并逐渐增加到一极大值，之后再逐渐减缓。出现水波背离圆柱流动时，振子前的流场均是不稳定的。

改变振子材料时，发现弹性振子相比于刚性振子，对流场产生的扰动更大，出现现象时的频率比同条件的硬质棒更低，而现象发生频率也更密集。

2 理论分析

2.1 不稳定流场的成因

观察实验中产生水波朝向振子流动的流场，不难发现，此时振子前有不稳定交叉波区域，此区域将振子前液体排开；而流场中大型漩涡的产生，对流向振子的水波有驱动作用。其中最原始的因素是流场中调制不稳定性（modulation instability）[2]的产生。以下首先需探究产生不稳定水波的因素及其影响。

在流场的非线性分析领域，Lighthill判据[3-4]为判断是否形成不稳定水波的一个重要依据。Lighthill判据可写为：

L = （1）

其中ω = （2）

ω≈[gk+ 1+ ] （3）

式中T为液体表面张力系数（本文取7.182×10-2N/m）；|a|2为波动强度（a取振子振幅）；k为波数；ρ为液体密度；ωk由式（2）给出；ω为非线性波动的频率，由（3）式给出。当满足Lj<0时，不稳定流场产生[3-4]。

根据流体力学边界条件[5-8]，振子周围的流场振动受到振子振动的影响，当振子振幅、振动频率改变时，其周围流场的振幅、振动频率也会相应改变。当Lj=0时，式中ω即为阈值。则固定振幅时，随着振子振动频率改变，流体振动频率也逐渐靠近、到达、远离不稳定阈值，式（1）的值也不断穿越0值线，于是造成水波流向的阵发性改变。endprint

x图3（a）Vp-p=22.1v d=22.185cm r=1.830cm半浸没塑料圆柱振子在频率改变时流场中某点的速度变化情况图，其临界频率为31Hz。（b）Vp-p=22.1v d=31.220cm r=1.565cm半浸没橡胶圆柱振子在频率改变时流场中某点的速度变化情况图，其临界频率为19.2Hz。图中横坐标代表频率（Hz），纵坐标代表某点速度（m/s），红线为速率的零值线。

图3中显示了不同流场中在阈值频率附近改变振动频率时流场中某点运动速度的变化情况，记录时选择流向振子为速度正向。可见，当频率靠近阈值时，流场的流速（绝对值）呈减小[3]趋势，而远离时，流速又呈增加趋势。当振子材料不同时，其速度改变的频率阈值也不同。此外，图3（b）中拟合曲线在频率大于19Hz之后有一段呈现速度绝对值减小的情况， 一是由于在该流场中，图3（b）中所对应的点在19.5Hz～20.4Hz的频段处于一个小型漩涡上；二是由于不排除跟踪该点时操作误差的影响。但从整体趋势可得知，该点的速率变化规律仍然是符合理论的。

2.2 影响水流方向的因素

通过对不稳定流场的成因的分析可知，流场不稳定是出现水流方向改变的前提，但单纯从不稳定流场出发，并不能解释为何流场内会同时出现不同流向的水流，也不足以充分研究影响液体流向的因素。而些更深层次的问题需要借助流形来探究。本小节中将首先从流形出发，对问题进行解释。在流场中用实质面MS（material surface）表示流场中某条实质线ML（material line）在一定时间t中位移、形变所产生的曲面[9]。当流体轨迹都以指数离开MS时，称该MS是不稳定的，此时满足条件：

[ （t，t+Δt）]·J（ ）n（ ，t）≥e （4）

式中J（ ）为场的雅可比矩阵， [ （t，t+Δt）]为行进时间间隔Δt后该点的单位矢量，n（ ，t）为初始点的单位矢量， 为初始位置条件，t为时间。

当MS在反演时间中满足上述条件时，则称为稳定实质面。根据参考文献[9]，在此定义下，MS的稳定性与动力学流形的不稳定性相照应，即稳定的实质面（stable material surface） 对应的是不稳定流形（unstable manifold）。而由上述定义可推知，实质面是实质线在相空间中的扩展，定义初值条件 、t0下，在时间间隔[t0，t-1]内的稳定时间（stability time）T（ ，t0）为[9]：

T（ ，t0）= dτ（5）

积分区域为流场中的最大开放空间，受到实质面之间的距离限制；t-1为反演时间。沿着实质线，T（ ，t0）将达到区域最值。当其达到区域最大值时，实质线周围液体将朝向该实质线流动。结合实验现象，不难解释，当振子前稳定实质面上的稳定时间达到区域最大值时（此时动力学为不稳定），液体朝振子汇聚，从而形成流向振子的水流；而在其余区域，沿着实质线上分布的稳定时间达到最小值时，会形成背离振子流动的水流。此外，不同水流方向的界线也可以由此推知，应分布在T（，t0）最大、最小值的交界处。

从参考文献[2-5]可知水波逆向流动时振子周围会形成LCSs（Lagrangian Coherent Structures），而流场可以根据FTLE（Finite-time Lyapunov exponent）进行研究判断[2-10]，结合两者，可以找到不稳定流场中水波向外流和向内流的界线——最大李亚普诺夫指数所构成的脊线。

2.3 振子材料对阈值的影响

由于振子的振动，振子周围的液体不断被振子推开，在振子离开时又由于重力等因素回到原来位置，于是流场中产生扰动。对于有限振幅，当振子振动频率很高时，振子在离开图4（c）、（d）位置之后迅速回到原位置，流体团所能由回复所得到的扰动减少，从而导致在高频率时流场趋于静止的现象。

弹性材料与硬质材料不同，在振动时伴随着相对较大的形变改变，在振子形变、恢复的过程中，振子偏离振动中心处的区域有明显的振动延迟，从而使振子对流场的扰动增加，流场的不稳定性增强。图4（a）、（b）给出了振子相应的运动状况图。当振子离开（进入）水面时，如图4（a）、（b）所示，弹性振子两端相比中心有一定的相位延迟，从而导致了水流受到扰动的不均一性，使得弹性振子周围的流场变化与非弹性振子明显不同。

图4 （a）、（b）向上振动和向下振动的橡胶棒； （c）、（d）硬质棒振动情况，振子下的流场振动均一。

3 总结

实验研究了振子振动因素对振子前水波流向的影响，通过改变振动频率、振动幅度、振子材质来研究振子前水波流向的关系，观察流场，发现随着频率增加、幅度增大和材质弹性增强均会对水波流向产生影响，从而得出结论：流场不稳定是导致水波流向改变的主要因素，水流方向是由不稳定流场中实质面上的实质线值的分布确定，流动边界可以通过计算FTLE场确定。

本文研究得出参变量变化主要影响了流场稳定性，当超过流场稳定的阈值条件之后，振子前流场不稳定，结合流形，可通过位于实质面上的实质线确定水流方向， 又振子前水波会产生LCSs， 对水波流动会起到引导的作用，再计算流场的FTLE场，则可明确不同流向水波之间的分界线。

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