理错教学：为数学理解而教

在学生学习数学的过程中，理解学生差错不仅仅是一门艺术，更是一门学问。于是，我们进行了小学数学“理错教学”的实践研究。近年来，我和团队成员们致力于“理错教学”的实践研究，在“理错”课堂中与学生一起共生共长。

一、理错教学的内涵诠释

《说文解字》中说：“理，治玉也。”也就是把玉从石中加工出来。在数学课堂上，学生的差错就是璞玉。理错就是把学生的错误资源当作一块“璞玉”，老师及时进行剖析、加工、引导，从而让学生的错误资源成为学生成长的媒介。所谓“理错教学”，是指把学生在课堂教学中出现的差错作为一种教学资源，及时理睬学生的差错资源，让学生“理会”差错资源的来龙去脉，通过教师的“理答”，引导学生将差错“理整”，建构自己的知识体系，进而让学生“理解”差错，实现少出错乃至不出错的目的。

二、理错教学的价值诉求

（一）理解教育的纵向拓展

理解教育为全国教学论专业委员会副主任、华东师范大学理解教育研究所所长、博士生导师熊川武教授所开创。他认为，教育应该“理解学生，教在心灵；理解老师，勤学奋进；理解自己，塑造人生；理解他人，和谐共存”。随着理解教育研究的深入，“理解型学习”的概念逐渐被广大研究者和一线教师所认可。理解学生数学学习差错，成为一个很有必要且十分重要的研究话题。从这个意义上来说，理错教学是理解型学习的具体阐释，也是理解教育的实践表达。

（二）化错教学的横向补充

“化错教学”是全国著名特级教师华应龙老师的教学主张。其核心要义就是教师能够艺术地处理随机生成的差错，巧妙地彰显了差错的宝贵价值，促进学生身心化入到创造性学习活动中。他把化错教学分为三个阶段，即“容”“融”“荣”。培养学生直面错误、超越错误的求真人格，从而将教学活动引向心灵深处。理错教学，就是从儿童立场的另一个视角出发，探寻适合学生数学学习的存在方式，达到既提高教学质量又提升育人质量的目的。

（三）有效学习的有机整合

在数学教学中，“错”字当头，能否容纳，取决于数学教师的见识和胸怀。理错教学首先要求教师尊重学生。不管孩子在课堂上出现什么差错，教师都应该尊重他们的想法，给他们自主探究的空间。这就要求教师给学生创造可以出错的时空。这既是对出错过程的深刻反思，也是对差错育人的独特欣赏。因此，加强小学数学理错教学的研究，不仅有助于提高学生有效学习的效度，而且有助于提高小学生的质疑品质与创新意识。

三、理错教学的实践样态

“理错教学”包括“理踩”—“理会”— “理答”—“理整”—“理解”五个阶段。这是理错教学的教学过程，也是理错教学的操作策略。

（一）第一階段：理睬——遇见“错”

数学家华罗庚说：“天下只有哑巴没有说过错话，天下只有白痴没有错过问题，天下没有数学家没算错过题。”在数学课堂上，学生出错是一件正常的事。学生出错，教师要像发现新大陆一样，以积极的态度及时理睬差错资源，善于发现差错资源背后隐藏的独特价值，为后续教学过程做好铺垫。例如，一年级学生在解答这道题：“小朋友们排成一队去操场，从前往后数，小明是第5个，从后往前数，小明是第4个，一共有多少个小朋友？”常常有学生列出“5+4=9（个）”的错误算式，对此教师不必生气。教师要能正确地预见学生的错误结果，并以宽容的心态甚至欣赏的眼光去对待学生。罗杰斯先生说过：“只有心理安全、心理自由，才能创造。”学生心理安全了，教师才能倾听到孩子内心深处最真实的想法。课堂上有差错，实质性的数学学习活动才会真正发生。理睬，让课堂上的差错资源这块“璞玉”，得以发现，得到关注。

（二）第二阶段：理会——懂得“错”

心理学家盖耶指出：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”课堂是允许孩子出错的地方。有益的数学学习，是一个不断尝试错误的学习过程。“一花一世界，一叶一菩提。”同一道题，不同的学生，有着不同的思维。教师要引导学生充分暴露错误的思维过程，让学生们在比较、辨析、思辨中发现错误。例如，教学“平行四边形的面积计算”一课，课始教师创设教学情景后，组织学生猜想平行四边形的面积的计算公式。不少学生猜想“平行四边形面积是两条相邻的边的乘积”，这是因为长方形和正方形的面积计算都是用相邻两条边相乘得到的。学生的这种错误思维是受到头脑中思维定势（长方形和正方形的面积计算公式）影响的。当教师弄清楚学生出现差错背后的原因后，就能有的放矢地引导学生认识差错，从而将教学活动引向深入。理会，让学生充分暴露数学思维过程，使教师明白学生的困惑，进而有效地帮助学生。

（三）第三阶段：理答——纠正“错”

波普尔说：“那些不愿冒着被证伪的危险去发表自己观点的人，不能参加科学游戏。”暴露数学思维过程，有些学生能够主动发现差错的根源，但有些学生无法明白。这时，教师的理答尤为必要。学生讲解思维过程后，教师要及时进行反应和处理。有效的理答直接关系到学生对差错资源的深化。在课堂教学中，面对不同类型的学生，教师进行智慧的理答就不仅仅是简单的表扬和激励，还包括思维的帮助，智慧的启迪，善意的提醒，严格的要求和良好习惯的培养。例如，教学“256-199”时，有的学生计算结果是55，思考过程是这样的：256-200-1=56-1=55。学生在讲解的过程中并没有发现计算过程出错。怎么办？教师可以分两个层次来处理：一是从检验的角度，让学生想办法来验算。学生容易想到：199+55，这时学生意识到，个位数字相加后末尾数字是4不是6，正确结果应该是254不是256，原来的计算结果是错误的。二是从算理的角度，引导学生联系生活实际来了解算理，比如创设到超市购物的情景，小明带了256元，买东西用去199元，付给营业员200元，营业员找回1元，现有257元。这样的引导，情境合情合理，算理通俗易懂。肯尼基·胡德说：“教学的艺术在于如何恰当地提出问题和巧妙地引导学生作答。”数学是一门具有理性美的学科。数学课堂上，教师话不在多，在于精。教师“理”在难点处，“问”在关键处，学生的思维才能直抵差错根源的核心地带。

（四）第四阶段：理整——建构“错”

（五）第五阶段：理解——提升“错”

佛家有三重境界：“山是山，水是水；山不是山，水不是水；山还是山，水还是水。”同样，对学生的出错而言，也应该有三重境界：“差错是差错，差错不是差错，差错还是差错。”我们认为，第一重境界对应“一道题”，第二重境界对应“一组题”，而第三重境界对应“一类题”。通常在每个单元结束，我们让学生根据出错原因将差错资源进行分类整理，比如“知识缺陷”“方法不当”“思维不足”等，这样可以帮助学生站在单元知识系统的角度来理解知识。每册教材结束，尝试让学生从数学思维的角度来梳理差错资源，并鼓励学生分类汇编，或复印、或抄写，剪贴成习题库，甚至还可以创编数学试卷。“知其然，又知其所以然。”遇到类似习题时，学生就能主动领会知识要点，自觉建构思维结构，从而真正理解，以达到不出错的目的。

差错，犹如沙滩上美丽的贝壳。课堂上，不怕出错，允许出错，不是鼓励出错，也不会提倡出错。少出错甚至不出错仍然是我们追求的目的。面对差错，教师要善于发现它的美丽价值，按照“理踩”“理会”“理答”“理整”“理解”的操作要点，让数学学习充满生长的智慧，从而实现从差错中掌握知识、习得方法、提升思维乃至拥有智慧的目的。

（作者单位：江苏省南通经济技术开发区教师发展中心）

（责任编辑：杨强）