单位球面中Clifford环面的刚性定理*

2017-12-29胡传峰

中北大学学报(自然科学版) 2017年3期

关键词：文理学院球面等式

胡传峰，姬秀

(长江大学文理学院，湖北荆州 434000)

单位球面中Clifford环面的刚性定理*

胡传峰，姬秀

(长江大学文理学院，湖北荆州 434000)

主曲率；数量曲率； Clifford环

0 引言

1 预备知识

设Mn是单位球面Sn+1(1)中的紧致极小超曲面，在Sn+1中选取标准正交标架场e1,…,en+1，使得限制于Mn时，e1,…,en与Mn相切. 令w1,…,wn+1是上述标架的对偶标架，并约定各类指标范围为

1≤A，B，C…≤n+1， 1≤i,j,k…≤n.

在Sn+1(1)上，结构方程为

KABCD=δACδBD-δADδBC.

限制于Mn时，

wn+1=0，wn+1i=hijwj，hij=hji,

由式(2)得

用hijk及hijkl分别表示hij的一阶，二阶共变导数，则有

进而有如下Codazzi方程和Ricci恒等式

定义hij的Laplace为

2 主要定理及证明

证明为方便起见，用g表示gj.

充分性：设βij=0,i=1,…,n，则由已知条件可得gj=n.

证毕.

证明选取适当的标架，使得hij=λiδij，且设λn<0<λ1≤λ2≤…≤λn-1，定义

则有

由S为常数可得

由式(11)，式(13)和式(14)及等式

可得

SΔF=

将等式

代入式(15)得

SΔF=

即第三项也非正. 接下来，证明第四项也非正.

定义βij=hiij，则λi，βij满足定理1的条件. 若固定j∈{1,…,n-1}，则由定理1得到|hnnj|≠max{|hiij|,i=1,…,n} 或者hnnj=0. 用gj∈In-1={1,…,n-1} 表示使得等式|hgjgjj|=max{|hiij|,i=1,…,n} 成立的指标. 考虑In-1的子集A={j∈In-1；gj=j}，B={j∈In-1；gj≠j，n}，C={j∈In-1；gj=n}. 不失一般性可令A={1,…，r}，B={r+1,…,t}，C={t+1,…,n-1}. 这里我们约定若A为空集，则r=0；若B为空集，则t=r；若C为空集，则t=n-1. 比如若B为空集，则A={1,…，r}，C={r+1,…,n-1}.

下面我们用更简单的方式记

(n-S).

因此有

由Mn紧致可得

[1] Lawson B H. Local rigidity theorems for minimal hypersurfaces[J]. Annals of Mathematics， 1969， 89(1)： 187-197.

[2] Li A M， Li J M. An intrinsic rigidity theorem for minimal submanifolds in a sphere[J]. Archiv der Mathematik， 1992， 58(6)： 582-594.

[3] Peng C K， Terng C L. Minimal hypersurfaces of spheres with constant scalar curvature[J]. Annals of Mathematics Studies， 1983， 103： 177-198.

[4] Suh Y J， Yang H Y. The scalar curvature of minimal hypersurfaces in a unit sphere[J]. Communications in Contemporary Mathematics， 2007， 9(2)： 183-200.

[5] Zhu P. The scalar curvature of minimal hypersurfaces in a unit sphere[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2015， 430(2)： 742-754.

[6] Wu B Y. On hypersurfaces with two distinct principal curvatures in a unit sphere[J]. Differential Geometry and Its Applications， 2009， 27(5)： 623-634.

[7] Xu H W， Xu Z Y. A new characterization of the Clifford torus via scalar curvature pinching[J]. Journal of Functional Analysis， 2014， 267(10)： 3931-3962.

[8] Wang Q L， Xia C Y. Rigidity theorems for closed hypersurfaces in a unit sphere[J]. Journal of Geometry and Physics， 2005， 55(3)： 227-240.

[9] Yang B G， Liu X M. R-minimal hypersurfaces in space forms[J]. Journal of Geometry and Physics， 2009， 59(6)： 685-692.

[10] Wang M J， He J X. Scalar curvature of minimal hypersurfaces in a sphere[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2012， 391(1)： 291-297.

[11] Li T Z. Compact Willmore hypersurfaces with two distinct principal curvatures inSn+1[J]. Differential Geometry and Its Applications， 2014， 32： 35-45.

[12] Ding Q， Xin Y L. On Chern’s problem for rigidity of minimal hypersurfaces in the spheres[J]. Advances in Mathematics， 2011， 227(1)： 131-145.

[13] Zhang Q. The pinching constant of minimal hypersurfaces in the unit spheres[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 2010， 138(5)： 1833-1841.

[14] Zhang Y T. Rigidity theorems of Clifford torus[J]. Acta Mathematica Scientia， 2010， 30(3)： 890-896.

[15] Wei G X. Rigidity theorem of hypersurfaces with constant scalar curvature in a unit sphere[J]. Acta Mathematica Sinica， English Series， 2007， 23(6)： 1075-1082.

RigidityTheoremofCliffordTorusinaUnitSphere

HU Chuan-feng, JI Xiu

(College of Arts and Science， Yangtze University, Jingzhou 434000, China)