勾股定理的应用方式探讨

花修平��

摘要：勾股定理是数学中的重点定理，其教学内容包括勾股定理的应用、勾股定理的证明、证明方法思想分析等，对于勾股定理的教学，不仅要体现教学方法，还要挖掘其中的创新思维，有意识的培养学生利用勾股定理来解决生活中的问题，达到开发智力的作用。本文从四个方面探讨《勾股定理》复习导学设计方法。

关键词：勾股定理；应用方式；复习导学设计；数学素养

一、 明确《勾股定理》的复习目标

①知识与技能目标：掌握勾股定理的发展过程、勾股定理涵义、论证方法，学会采用勾股定理解决难题。

②过程与方法目标：掌握勾股定理价值、分析其中的数学思想，提高学生的推理能力与抽象思维能力，发展创造性思维。

③情感态度与价值观目标：基于勾股定理的发展历史，开展德育教育，培养学生的学习兴趣、数学素养，养成勇于探索的教学品质。

二、 分析教学难点、准备教学工具

《勾股定理》教学重点是为了帮助学生掌握勾股定理的证明与应用方式，前者为教学活动的难点。在教学工具上，包括幻灯片、四个全等直角三角形图片、三角板。

三、 复习导学设计

1. 再现勾股定理的概念

数学知识的复习并非是单一的重复，而是要注重知识之间的有机联系，加深学生勾股定理概念的理解。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在复习课上，首先要将相关知识组合起来，实现纵横结合、分条划块的目的，引导学生通过交流整理勾股定理知识的复习重点，将其内化为自己的知识体系，将零散的知识组成一个系统的知识体系。

如果单纯的罗列出知识点让学生去记忆的话，这样的效果估计不会太好，所以可以设计例题通过实践活动加强勾股定理的再认识。例如：如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.（1）画出拼成的这个图形的示意图；（2）证明勾股定理.

2. 加强联系分析易错点

笔者在教学过程中发现学生在勾股定理的應用中，存在多个易错点，为了帮助他们解决这一问题，我们需要针对几个典型的易错点进行分析：

在应用勾股定理求第三边时，有很多的同学分不清直角三角形直角边与斜边，无论是否为直角三角形，就采用勾股定理，为了避免出现错误，在解题时，必须要帮助学生找准斜边与直角边，看三角形是不是直角三角形。

例1在Rt△ABC中，三条边分别为a、b、c，∠B=90°，a为6、b为10，求c的边长。

错解：a=6，b=10，根据a2+b2=c2即可求得c的答案，为234

很多学生在遇到这类题时，往往没有仔细审题就直接求解，忽视了∠B=90°的条件，没有分清楚三角形的直角边与斜边，将c当成斜边，引起错误。在应用勾股定理时，必须要分清楚直角边与斜边，不能机械搬用勾股定理。

例2已知，某Rt△ABC两边边长为3、4，那么第三边边长平方为？

错解：根据两边边长为3、4，根据勾股定理计算得出，第三边边长平方=32+42=25.

实际上，这一问题，并没有告知究竟边长为4的边为斜边，还是直角边，因此，在遇到此类问题时，要分类讨论，在4为直角边的情况下，第三边边长平方为25，如果4为斜边，那么第三边平方为7。

3. 复习勾股定理逆定理

勾股定理逆定理是教学的难点，很多学生对于这一定理的理解都存在困惑，不知道怎样用逆定理来解决问题，对于逆定理推导方式的掌握也不够全面，因此，在复习时，我们要将此作为重点。

例3很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，其中，∠C为直角：

①描述古埃及人利用该种方式获得直角三角形的理由（）

A. 勾股定理：在直角三角形中，直角边平方和=斜边平方；

B. 勾股定理逆定理：如果一个三角形边长有a2+b2=c2，那么这个三角形为直角三角形；

②有三个正整数，分别是a、b、c，如果这三个正整数满足a2+b2=c2的关系，那么我们就可以将a、b、c称之为勾股数，请大家开动脑筋，写出一组勾股数；

③根据上面的方式，再配合自己的理解写出勾股数，大家仔细想一想，能不能只使用绳子，在图2设计出另外一种直角三角形的绘制方法呢？

经过了以往知识的学习，学生可以快速得出答案，古埃及人得到直角三角形的方式应用的是勾股定理逆定理，选择B，并且大家都可以根据勾股数的概念写出勾股数，如（6，8，10）；

第三个问题与前两个问题相比，难度较大，在课堂上，为学生留出讨论时间，让大家进行分析，实现思维的碰撞，最后我再进行总结，很快大家都掌握了图形的绘制方式。

4. 利用勾股定理强化学习体系

例4如图3，在直角△ABC中，∠ACB为90°，D为AB中点，AC⊥DE，E为垂足，如果DE=2，CD=25，求：BE的长。解题方式为：∵BC⊥CA、DE⊥CA，∴BC∥DE，由于D为AB中点，∴DE=12BC，BC=4在△CDE中，DE=2，CD=25

∴CE=CD2-DE2=（25）2-22=4

根据勾股定理可以得出，BE=BC2+CE2=42

例5如图4，四边形ABCD和CEFG都是正方形，且点B，G在DE两侧时，若AB=5，CE=2，连接BE和DG.探究：DG和BE有怎样的数量关系？

例4是勾股定理的简单应用，意在巩固知识点，例5是能力拓展，可以用几何画板改变两个正方形的位置从特殊到一般逐步加大难度，还可以将小正方形变成矩形进行变式训练，激起学生的思维火花，提高学生解决问题的能力。

5. 重视勾股定理习题设计

习题的设计是复习巩固的重点环节，初中数学新课程改革标准中明确规定，科学有效的数学学习，不能单一依靠记忆和模仿，而是要着重学生自主探索、动手实践以及合作交流能力的培养。习题的设置也需要满足这一原则，让学生自主发现问题，培养他们终身学习的能力。

6. 丰富勾股定理阅读材料

数学阅读材料图文并茂、内容多元，兼具教育性、知识性、趣味性的特点，对现有知识的拓展与补充，也是对学生开展思想教育的重要内容，适宜的阅读材料对于学生勾股定理知识的消化起着至关重要的作用。弦图证明、毕达哥拉斯证明、无字证明、勾股世界、勾股组数与费马达定律都可以让学生了解勾股定理的相关文化背景。

四、 结语

勾股定理是初中数学学习的重点定理，其应用范围非常广泛，勾股定理复习导学案的设计要兼顾到多种知识，引导学生了解勾股定理的产生文化背景，加强这一知识与生活之间的联系，引导学生应用勾股定理解决生活中的实际问题，达到“学以致用”的目的，体会到数学学习的无穷魅力。

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