例析数列求和的方法与技巧

杨耀昇

摘要：数列在整个高中数学中处于知识和方法的汇合点，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧，当然数列求和一直是一个老话题，似乎不必重提，但总觉得还是有重新研究的必要，下面仅从几个案例来谈谈数列求和的基本方法和技巧。

关键词：数列；求和；技巧

一、 几种常见数列的和

1+2+3……+n=n（n+1）2

1+3+5+……+（2n-1）=n2

12+22+32+……+n2=n（n+1）（2n+1）6

13+23+33+……+n3=n（n+1）22

二、 数列求和的基本方法

1. 错位相减求和法

这种求和法则适合于由一个等差数列和一个等比数列相乘而形成的新数列。

例1已知数列{n2n}（n∈N，且n≥1）试求该数列的前n项的和。

分析：设an=n2n=n·12n其中{n}为等差数列，12n为等比数列，公比为12，利用错位相减法求和。

解析：Sn=1×12+2×122+3×123+……+n×12n

两端同乘12，得12Sn=1·122+2·123+3·124+4·125+…+n·12n+1

两式相减得12Sn=12+122+123+124+……12n-n2n+1

于是Sn=2-12n-1-n2n。

说明：一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，一般采用错位相减法。

2. 裂项相消求和法

这种求和方法适合于通项可化为两项（或数项）差的形式，然互错位相消。

例2求数列1n+1+n的前n项和。

解：∵1n+1+n=n+1-n（分母有理化，n+1-n=1）

∴12+1+13+2+…+1n+1+n

=（2-1）+（3-2）+…+（n+1-n）

=n+1-1

说明：如果数列的通项公式可转化为f（n+1）-f（n）的形式，常采用裂项求和的方法。

常出现的数列形式如：1n（n+k）=1k（1n-1n+k），1n+k+n=1k（n+k-n）等。

3. 分组转化求和法

这种求和法则是把一个数列可分解为几个特殊数列的和（或差）的形式，然后分别求解。

例3已知集合A={a|a=2n+9n-4，n∈N+且a<2000}，求A中元素的个数，以及这些元素的和。

解：由210=1024，211=2048

知210+9×10-4<2000

211+9×10-4>2000

∴A中有10个元素，记这些元素的和为S10，其中{2n}为以首项为2，公比为2的等比数列，{9n-4}为以5为首项，公差为9的等差数列（或者说{9n}9为首项，公差为9的等差数列）。

S10=2+22+23+…+210+9+18+…+90-4×10

=2（210-1）+99×5-40=2501

说明：本题中A是一个集合，集合中的元素是不可重复的，也是没有顺序，但在求和时与10个元素的顺序无关，所以可借用数列的方法对不同特点的数列归类求和。

4. 倒序相加求和法

这种数列的求和特点，在于数列中与首末两项等距的两项之和均等于首末两项之和或者倒序后错位相加满足上述要求。

例4求和Sn=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn

解：根据组合数性质Cmn=Cn-mn，将Sn倒序写为Sn=nCnn+（n-1）Cn-1n+…+C1n

已知Sn=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn

以上两式相加得：

2Sn=n（C0n+C1n+C2n+…+Cn-1n+Cnn）=n·2n

∴Sn=n·2n-1

說明：如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。

5. 拆项转化求和法

这种求和法则适合于数列的通项可拆成两个或几个特殊数列的通项式，然后分别解之。

例5求数列112，314，518，…，（2n-1+12n）的前n项和。

解：Sn=112+314+518+…+（2n-1+12n）

=（1+3+5+…+2n-1）+（12+14+18+…12n）

=（1+2n-1）n2+121-（12）n1-12=n2+1-12n

说明：此数列可以看作由一个等差数列和一个等比数列对应项相加得到的一个新数列。因此，可将此数列的求和转化为一个等差数列和一个等比数列的求和问题。

6. 分解重组求和法

这种求和法则适合于拆项后，得到的两个数列不一定是常见的等差或等比数列还需要进行分类讨论。

例6求和：（x+1y）+（x2+1y2）+…+（xn+1yn）（x≠1，y≠1）。

解：（x+1y）+（x2+1y2）+…+（xn+1yn）

=（x+x2+…+xn）+（1y+1y2+…+1yn）

=x（1-xn）1-x+1y（1-1yn）1-1y（∵x≠1，y≠1）

=x（1-xn）1-x+yn-1yn+1-yn

说明：严格地说，数列x，x2，…，xn不一定为等比数列，如x=0。只不过x+x2+…+xn=x（1-xn）1-x，当x=0时也成立而已。特别地当题目本身没有事先交代x，y的取值范围时，对x，y是否取1要做讨论。