巧让“错题”生成“精彩”

张合远

【摘要】错题是初中数学教学中的重要资源，教师要重视其教育价值，将错题灵活地运用于数学教学当中，引发思维碰撞，进而激发学生学习兴趣，提升学生反思能力，促进学生合作学习，优化课堂结构，巧让“错题”生成“精彩”。

【关键词】错题资源 有效利用 思维能力

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）48-0112-02

布鲁纳说：“错误是有价值的”。怎样才能发挥学生出错的最大价值，这取决于教师在课堂教学中，如何有效利用学生的错误资源，顺应学生的思维，挖掘错误背后根源，追寻纠错策略。错误是学生学习中的宝贵经历，也是教学过程中的重要资源。面对错题，我们应本着以人为本的教育理念，以研究者的角色，以积极的态度，善加利用，巧妙引导，抓住稍纵即逝的教学机遇，激发学生学习兴趣，培养学生反思意识，提高学生的合作探究及创新能力，拓展学生思维空间，优化课堂结构，从而促进学生情感、态度、价值观的和谐发展，巧让“错题”生成“精彩”。

一、善用错题，激发兴趣，唤醒精彩

英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的”。对待错误，是“一棍子”打死，还是师生一同寻找错因、商讨对策？还是利用错误中的合理因素，把错误作为一种可利用的资源？唯物辩证法认为，事物之间是有联系的，在一定的条件下可以互相转化，坏事可以变成好事。“错误”资源巧妙地“转化”，不仅能让学生尽快走出误区，而且能激活学生的创新思维。

【案例1】计算分式：-

对于本题，有个学生给出了下面的解法：

原式=2（x-2）-2（x+2）=2x-4-2x-4=-8

显然有误，有学生在下面窃窃私语。

师：“错在哪？”

生：“张冠李戴了，把分式运算当成了解方程。”

师：“这位同学把分式运算当成了解方程，显然是错的，但这种想法很有创意，它给我们一个启示，能否考虑利用解方程的方法来解它呢？”

學生经过思考、讨论，最后终于形成了以下解法：

设-=A

去分母得：2（x-2）-2（x+2）=A（x+2）（x-2）

解得：A==-

【评析】本案例中，正是因为笔者对学生错误的悦纳和欣赏，且因势利导，才使学生的好奇心和创造力在“出错”中发出异常的光彩。因此，在现实的数学课堂中，教师要勇于面对学生的非预设生成的错误资源，积极对待，冷静处理，发掘出学生错误中的合理内涵，把学生的这些非预设生成尽可能转化为有助于课堂教学的素材，合理地予以运用，变废为宝，使课堂变得绚丽多彩。

二、巧用错题，引导反思，成就精彩

在学习过程中，不同的学生有着不同的知识背景，不同的情感体验，不同的表达方式和参差不齐的思维水平，因此，出错在所难免。出错是因为学生还不成熟，认识问题往往带有片面性；出错，是因为学习是从问题开始，甚至是从错误开始的；出错，才会有点拨、引导和解惑，才会有反思、创新和超越。教师不仅应该适当地设置一些有一定思维价值、能激发学生惊奇感的问题，让学生在这些错误中进行切身体会，还要引导学生在辨析错误的同时去领悟、去反思，激发学生学习探索的兴趣，并带着如何解决这些问题的强烈愿望去迁移知识、分析思考，从而加深对知识本质的理解。

【案例2】已知，如图1，在△ABC中，∠1=∠2，BD=CD，求证：AB=AC.

生1（不假思索）：证△ABD≌△ACD就能得到。

师：△ABD≌△ACD的条件有吗？

生（异口同声）：∵∠1=∠2，BD=CD，AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SSA）

师：三角形全等的判定中有“SSA”吗？

生2：没有，但是“HL”不就是“SSA”吗？

师：“HL” 和“SSA”分别是什么意思？

生2：“HL”是指满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；“SSA” 是指满足两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。

师：“HL”是指：如图2，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

∵∠C=90°，∠C′=90°，AB= A′B′，BC=B′C′

∴Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′

“SSA” 是指：如图3，在△ABC和 △ A′B′C′中，

∵ AB= A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′

∴△ABC≌ △A′B′C′它们满足的条件一样吗？

生3：一样。因为图2中∠C=90°，∠C′=90°，这不就是∠C=∠C′吗？如此一来，图2中的两个三角形和图3中的两个三角形，它们满足的条件不都是“两边和其中一边的对角对应相等”吗？

师：不错，的确如此。

生4：（沉不住气）：那么“HL”就是“SSA”， “SSA”可以判定两个三角形全等。

师：下面大家来思考这问题，如图4，在△ABC中，AB=AC，∠B=∠C，在BC上取一点D（中点除外），那你们说△ABD和△ACD是不是也满足“SSA”的条件？

生5：AB=AC，AD=AD，∠B=∠C，的确满足“SSA”的条件。

师：那你说它们全等吗？

生（齐）：一看就知道不全等。

师：其实当两个三角形满足“两边和其中一边的对角对应相等”条件时，是不能判定这两个三角形全等的，除非只有当此“对角”大于另一组等量的边的对角时，它们才全等。而直角三角形恰能满足此条件，所以判定三角形全等只有“HL”而没有“SSA”。

……

【评析】通过对错解的辨析与反思，强化刺激学生思维，产生思维碰撞，达到“去伪存真”的目的。这一过程也充分调动了学生的参与热情，全面激发了学生的个体潜能，帮助学生突破思维障碍，使他们由“误”到“悟”。

三、错就错，合作交流，呈现精彩

数学教学应最大限度地满足每一个学生的需要，最大限度地开启每一个学生的智慧潜能。对于似是而非，学生不易察觉的错误，如果教师只告诉正确的做法，难以触及问题的实质，容易抑制学生主动性和创造性的发展。如果对这些错误巧妙地加以利用，将错就错，多给学生思维的时间和空间，这不仅能使不同层次的学生发现错误，提高学习的积极性，而且可以扬长补短，促进学生合作交流意识的发展。

【案例3】一道关于特殊三角形的测试题：将一张长方形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片如图5，将这两张纸片摆放成如图6的形式，使点B，D重合，B，C，E在同一直线上，已知AB=4，BC=3，现固定△ABC位置，将△DEF沿射线BC方向平移，在整个平移过程中，要使△ACE成为等腰三角形，△DEF平移的距离为 。

生1：距离为1。

生2：距离为2。

生3：距离为

生4：距离为1，2或。

师：大家同意哪位同学的观点？

生5：好像还有种情形。

师：那么就请同学们分组讨论，探究△DEF平移的距离为多少？

【评析】大部分学生学习习惯较差，分析问题能力比较薄弱，他们虽然注意到了问题中“要使△ACE成为等腰三角形”这个条件，但没有意识到需要完整的分类讨论，而只对AC=AE或AC=CE或AE=CE这三种情形中的一种或两种情形给出解答。给出三个答案的学生，有分类讨论的意识，但忽视了“将△DEF沿射线BC方向平移”的条件，认为点E只能在线段BC上，或当AE=CE时点E在线段AE的中垂线上，却无法求平移的距离。

本案例中，教师先让学生独立思考后再进行交流，无论是发言者还是倾听者，都会有较大的收获。在合作探究中学生不但复习了特殊三角形的相关知识，并充分感受了分类的数学思想方法，同时使学生的思辨能力和合作探究能力得到培养与发展。当然，在交流过程中，难免会出现一些争论，教师就是希望通过这样的争论让学生明白，哪种做法是正确的，哪种做法是错误的，错误的原因在哪儿。这样的合作和交流所起的效果远远超过了师生之间、生生之间单向的信息交流。这也正是新课程倡导的合作交流的魅力所在。

四、因势利导，培养创新，点亮精彩

在数学教学中企图让学生完全避免错题是不可能的，学生犯错的过程就是一种尝试和创新的过程。教师应该将错题作为培养学生创新思维的契机，引领学生从错题中找出与正确方法之间的联系，因势利导，发挥学生分析、解決问题的创造性潜能，让学生成为教学活动的主体，激发学生的创新思维。

【案例4】九年级上册期末复习课中一个题目：在△ABC中，∠B= 25°，AD是BC边上的高线，并且AD2 = BD·DC，求∠BAC的度数。

学生一看到题目马上动手画起如图7所示的图形，并作解答。

∵AD是BC边上的高线

∴∠ADB =∠ADC=90°

∵AD2=BD·BC

∴=

∴△ABD ∽ △CAD

∴∠CAD=∠ABC=25°

∴∠ACB=90°-25°=65°

师：这个答案正确吗？

生2： 还有可能是115°。

教师让这位学生板演一下图形，师生共同归纳了AD的位置，有二种情况：即当∠C是锐角时，高AD在三角形内部；当∠C是钝角时，高AD在三角形外部（如图8），所以此题的解为65°或115°。正当全班无比兴奋时，教师又提出了下列问题：设点H是等腰三角形ABC三条高线的交点（如图9），在底边BC保持不变时，顶点A到底边BC的距离发生变化时，乘积 S△ABC·S△HBC是否发生变化？（提示把乘积S△ABC·S△HBC用含BC的代数式来表示）。

学生得到信息后，首先进行画图分析：S△ABC·S△HBC=BC·ADBC·HD=AD·HD·BC2，乘积S△ABC·S△HBC是否发生变化关键在AD· HD是否发生变化。观察图形易证Rt△BDH∽Rt△ADC，得AD· HD=BD· DC，由题意易知BD=DC=BC，则乘积S△ABC·S△HBC=BC2。所以当底边BC保持不变时，乘积S△ABC·S△HBC不发生变化。这时有些学生就有疑虑是否也要分类。我们知道，三角形三条高线的交点位置有在三角形内，三角形外，三角形顶点上三种情况.因此本题解答时必须对∠A进行分类，有∠A是锐角、钝角、直角三种情况。同学们再对∠A是钝角、直角时用同样方法进行探究，得出结论同∠A是锐角时一样。所以当底边BC保持不变时，乘积S△ABC·S△HBC不发生变化。

【评析】数学学习的过程是一个再创造的过程，本案例中，对于错误的出现，教师留给了学生充分“讲理”的机会，顺应了学生的思维，挖掘出错题背后的创新因素，细心呵护学生创新的萌芽，适时、适度地给予点拨和鼓励，使其茁壮成长，为课堂教学增添生命的活力。

五、捕捉错题，优化课堂，绽放精彩

优化课堂教学结构是减轻学生负担，提高课堂效率的主渠道。而错题作为数学学习的必然产物，教师要善于捕捉错题中的“闪光点”，及时调整教学流程，利用错题资源重组教学，使教学处于动态的平衡之中，从而实现教学过程的优化。让学生在全方位剖析错题的过程中，培养其问题意识和独立思考能力，提高数学探究能力，绽放数学课堂的精彩。

【案例5】九年级复习课中一个题目：在平面直角坐标系中，一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫作一次函数的坐标三角形。若某个一次函数的图像与x，y轴分别于点A，B，则△ABC为此函数的坐标三角形。

（1）求函数y=-x+3的坐标三角形的三边长。

（2）求函数y=- x+b（b为常数）的坐标三角形的周长为16，求此三角形面积。

对于第（2）题，学生是这样解答的：因为y=- x+b的图像与y轴的交点为（0，b），与x轴的交点为（b，0），所以坐标三角形的斜边长为b，所以由b+b+b=16，得b=4，所以S△=b·b=。

【评析】 第（2）小题解法中的错误经常出现在有关坐标与线段长度转换的问题中，是比较普遍和典型的。由于解题的答案是正确的，出现这种错误很具迷惑性，因此教师把解答过程展示给学生，让他们自己辨析和判断，很多学生不能很快发现以上解答的错误原因。此时若教师不直接告知学生，而是让他们经过画图讨论和交流，学生加深了对坐标系中怎样“用点的坐标表示线段长度”这个知识点的认识（有的学生发自内心地说：原来是这样，下次我会注意的）。这种把学生错误解答作为资源，纠正他们对知识的错误认知，在教学中起到的效果大于教师正面的讲解和引导，从而优化了课堂结构，促进了生态课堂的形成。

错题是学生学习、教师教学过程中动态生成的“利教、研学”资源，善待并巧用“错题”，可以激发学生学习兴趣，增加学生学习信心，促进学生合作学习，培养学生创新思维，提升学生反思能力，从而优化课堂结构。总之，教师有效利用初中数学教学中的错题资源可以使数学课堂绽放别样的“精彩”。

参考文献：

[1]李宗梅.让创新之花盛开在数学课堂——谈在初中数学教学中如何培养学生的创新思维[J].数学学习与研究：教研版2010，（20）.

[2]涂荣豹.试论反思性数学学习[J].数学教育学报，2002，（4）.