微元法，提升物理解题效率

李兴典

摘要：高中物理的题目逻辑性非常强，因此解题时的技巧非常的关键。物理的传统方法就是分析关系，但是为了提高解题效率，在解题时也可以运用数学的方法，比如微元、积分等。本文通过介绍微元方法在解题中的应用，探讨提升物理解题效率的途径。

关键词：微元法；高中物理；人教版

微元这个概念在物理中是比较常见的，但是在高中物理的课本中，很少运用微元的思想去演绎推理，所以在物理解题中学生也很少用到这种方法。运用微元思想实际上是一个能力的拓展，通过极限、微分、积分等一系列微元法，物理解题将更有效率。

一、 精准取元，抓住瞬间

微元法将某些物理量拆分成微元，这其实运用了极限的思想。当我们需要处理某个时刻或者某个位置的物理状态时，有时候用整个过程不能有效求解，这时候就需要抓住状态的瞬间，精确取元，求导得解。

以一道例题进行说明。在一个足够长的竖直墙面上，设置一个点光源S，距离光源d处有一个平面镜O，镜子中心与光源在同一水平线上。初始状态下镜子平面与墙面平行。当平面镜以角速度w绕中心匀速转动时，光源经平面镜反射的光斑在墙面上会上下移动。经过时间t后，光斑P在墙壁上移动的速度是多少？分析这道题目，我们可以发现，光斑在墙面上的移动情况不是匀速运动，不能用位移与时间的比值直接求得。我们反观速度的表达式，可以了解到瞬时速度，它实际上是时间取无穷小时的情况，用表达式表示为v=st2-t1（当t2和t1非常接近时的情况），即v=limt2→t1st2-t1。因此，解决这道问题时，我们要抓住瞬间，可以通过导数的形式将过程微分取元，确定速度状态。经过时间t，光斑在墙面上的位移为s。当时间为t时，反射光线转过的角度θ1=wt。经分析几何关系知，SO与OP的夹角θ2=2θ1。在三角形SOP中，可得s=dtanθ2=dtan（2wt）。对上式进行求导，可得光斑P的移动速度。对于求解速度，实际上是求解瞬时速度，瞬时速度的物理意义决定了它可以精准地取用微元，利用导数的方法进行求解。

确定研究过程是解决物理问题的一个步骤，但是在一些题目中，仅仅探究物体变化的过程是不能够解决问题的。微元法的优势就在于不依赖于一个确定的研究过程，只靠一个状态，一个已知的关系式就能进行求导，从而得出结果。

二、 建立模型，确定关系

微元法看似很简单，其实选取微元的过程并不是简单的。首先需要建立合适的模型，或者说分析是否需要采取微元法。微元法也代表了求导一类的方法，通过对等式关系的微分、求导进行演变，或许就能确定出解题所需的数量关系。

以教学中一个经典的绳子拉船问题为例进行说明。绳子的物理性质非常特殊，在力学问题中是一个很难处理的物体，在解题中往往进行理想化处理。即便如此，很多学生仍然苦于其中的数量关系难以建立，理解起来比较困难。换一种思路思考，我们可以适当引入几何关系，通过建立模型、微分求导来确定数量关系。引入一个例题，如图所示，在高度为h的河岸上，一人用绕过定滑轮O的轻质细绳匀速拉动水面上的一条小船。假设人拉动船的速度大小为v。当绳子OA与水平面的夹角为θ时，此时小船的速度为多少？首先假设一系列的变量，设小船距离岸边的长度为x，绳子OA的长度为r。根据勾股定理，我们对h、x和r列出等式关系h2+x2=r2。针对上式，对时间求导，2rdrdt=2xdxdt+2hdhdt=2xdxdt+0=2xdxdt。代入已知的数量关系，v=drdt，v船=dxdt，得出v船与v的关系为v船=vrx。再由几何关系cosθ=xr，最终可得v船=vcosθ。如此一来，建立并分析小船过河的模型之后，本身比较难以分析的题目就迎刃而解了。

微元法只是一种解题的工具，并不是万能的解题方法，因此好的工具使用起来还依赖于好的分析方法。高中物理是“模型”中的物理，建立一个适宜的模型，就可以很方便地利用微元方法进行解决。

三、 积分求和，简化计算

微分的目的是为了积分，也就是说仅仅把物理量进行微元化处理是不够的，将处理好的微元进行积分才是最终目的。高中数学正好进行了积分知识的讲解，这些知识在物理习题中应用起来已经足够了。

以一个例题进行说明。假设在一次足球训练当中，某时刻有一个运动中的足球，它的初始速度为20m/s，以加速度为2m/s2的加速度进行匀减速直线运动。求解足球在5s后位移是多少。我们可以运用常规的平均速度法进行求解，由于运动过程为匀变速运动，因此可设足球的平均速度为v，初始速度为v0，5s后的速度为v1，加速度为a。由速度与加速度的关系v=at，则，v平均=v0+v0+at2=20+20+2×52=25m/s，那么位移s=v平均t=25×5=125m。将物体的运动过程进行等效转化，是物理学解决问题的主要手段，也是分析能力的体现。但是在本题中，速度与加速度的关系已知，求解位移，我们运用积分的方法，可以大大简化计算过程。速度是位移關于时间的函数，因此速度在时间上的积分就是位移。从另一个角度讲，微积分用数学公式的形式表达了复杂的变化过程，实现了根源化。本题则是∫5020+2t=20t+t2|50=20×5+5×5=125m/s，与上述解法完全符合。运动学中的计算题变化丰富，在运用积分计算时必须仔细审题，以免盲目套用公式出现错误。

积分是一种高阶的数学知识，但是在物理习题中的积分主要涉及的是一次、二次函数，它们的积分公式都非常简单，也就意味着这样的积分方式可以作为一种快速解题的方法。解决问题的效率是非常关键的，所以简化计算是一种重要的优势。

微元法也不是某种特定的解题技巧，而是一种物理思想。在物理的研究中，微元思想被广泛应用，当然它在高中物理解题中也同样适用。巧妙运用微元法，能够将复杂的题目简单化，可以极大地提高解题的效率。endprint