一道习题的演变

郑宗浩

摘要：美国心理学家布鲁纳认为：“探索是数学的生命线。”初中数学总复习不是平时教学的机械重复，也不是用题海战术来加重学生的负担，它应是平时教学的总结和升华。笔者认为，上复习课时应注重立足课本，把已学过的知识进行梳理，把已做过的习题归类，归纳为几个主要题型。对于有代表性、典型性的例题、习题要引而不发，旧题新作，结合考试大纲和学生实际情况，有目的地将它们进行演变引申，再生为各种新的题型，培养学生在新问题面前能独立解决问题的探索能力和应变能力，开拓学生视野，发展学生多向思维，充分发挥学生的潜能。

关键词：中学数学；解题；思维转换

有这样一道习题：如图1，正方形ABCD中，作AM交BC于M，DN⊥AM交AB于N，求证：AM=DN。

这道题里涉及正方形的性质及全等三角形的知识，如果学生只停留在就题论题上，这道题就失去了真正的内涵，所以老师就要启发学生，将此题变形，拓宽学生思维，形成对知识的深入理解。

利用上述例题，笔者构思了一堂习题课，将以例题变化而来的一系列开放性问题作为线索，一方面培养学生发现知识的兴趣和探索问题的能力，使学生在探究的过程中发现变化的事物中存在的规律，另一方面使学生获得学习自由以及快乐的感悟和体验，对自我价值的认识和承认，并学会与他人合作。首先可进行以下几种简单变题：

将DN平移即有：变题1：如图2，正方形ABCD中，点E、F、M分别在AB、CD、BC上，且EF⊥AM，通过观察、测量，猜想AM与EF之间有怎样的数量关系？并证明你的结论。

再将AM作类似平移，即有：变题2：如图3，正方形 ABCD 中，点E、F、G、H分别在AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，通过观察、测量，猜想GH与EF之间有怎样的数量关系？并证明你的结论。鼓励学生大胆猜测，激发学生的求知欲。

这两道变题只需利用平行的有关知识，作出各自图中所示的辅助线，即可仿原题给出证明。当然还可以给出以下变式：“正方形ABCD中，点G、H分别在AD、BC上，现将正方形折叠，使G、H两点恰好重合，若折痕长为5cm，试求GH的长度，并说明理由。”这样不断变化问题，引发学生多方位思考，能使学生触类旁通，增长知识，培养发散性思维能力。

接着可运用类比的思想进行以下变题：

变题3：如圖4，在正五边形ABCDE中，点M、N分别在CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，求证：BM=CN。

变题4：如图5，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，点M、N分别在CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问：当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？

变题3类比前面的证法，只要证△BCM和△CDN全等就可以了，关键也是去说明对应角相等；变题4当∠BON=360°n时，结论BM=CN仍然成立，证法同变题3。

当然还可以进行提升拓展，鼓励探究：

变题5：如图6，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E、F、G、H分别在AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，问：EF、GH满足怎样的等量关系？

此题与变题2相比，只是已知条件中矩形与正方形之别，其他的条件都相同，如果我们用同样的方法将矩形的边AB、BC平行移动，如图62所构成的两个三角形EFN和GHM虽不全等，但可以证明△EFN和△GHM相似，从而求得GH∶EF=a∶b。引导学生发现变化的事物当中存在的不变的规律，激发学生更大的学习热情。

变题6：如图7，平行四边形ABCD中，AB=a，BC=b，点M、N分别在BC、AB上，AM与DN交于点O。试探究：当∠B与∠MON满足什么关系时，使得AM∶DN=a∶b成立？并证明你的结论。

当∠B+∠MON=180°时，AM∶DN=a∶b成立，证△AOD∽△NAD，得出AO∶NA=AD∶ND，证△AON∽△ABM，得出AO∶AN=AB∶AM，即可得出答案。

教学要能引导学生对数学问题多角度、多方位、多层次地讨论和思考，使学生更深刻地理解数学知识，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，最终提高学生的思维能力和创新能力。

以上只是结合教学实例简单地介绍了“变式训练”的应用，其实在我们教学中处处存在变式，希望老师们多总结、多研究，整理成题，利用“变式训练”提升教学实效性。