热环境下复合材料层合梁自由振动分析

杜 杰，吴 振(沈阳航空航天大学 航空航天工程学部(院)，沈阳 110136)

机械与材料工程

热环境下复合材料层合梁自由振动分析

杜 杰，吴 振
(沈阳航空航天大学 航空航天工程学部(院)，沈阳 110136)

温度升高导致弹性常数下降。基于Reddy理论，研究热环境下材料常数变化对复合材料层合梁振动特性影响。基于哈密顿原理，推导了Reddy层合梁的动力平衡方程，得到了层合梁的固有频率，分析了长细比对固有频率的影响，对比了热环境下Reddy梁及Euler梁的固有频率。数值结果表明随温度升高，弹性常数下降，Reddy梁对应的固有频率相应降低，而Euler梁的固有频率无明显变化。

热环境；材料常数；Reddy理论；层合梁；自由振动

由于复合材料具有高比强度、高比刚度、低密度及良好的抗疲劳特性，复合材料层合结构已普遍应用于航空航天工程中。航空航天工程中的复合材料通常处于变化温度环境，研究其动力特性须考虑到温度对材料弹性常数影响。

基于一阶剪切变形理论，Kahya等[1]使用五节点单元分析了功能梯度梁的屈曲及振动特性。Sahu等基于一阶剪切变形理论[2]分析了湿热对编织纤维层合板振动特性的影响。Thai等[3]指出一阶理论适用于中厚度梁自由振动分析，然而分析厚梁自由振动问题精度较低。Reddy[4-5]发展了三阶理论并建立了各向同性梁的振动方程，此理论不需要使用剪切修正系数且未知变量个数与一阶剪切变形理论的未知变量个数相同。Jin等[6]基于Reddy理论分析了粘弹性夹层梁的阻尼及振动特性。Giunta等[7]分别基于经典理论、一阶理论及高阶理论分析了层合梁的振动特性。Nguyen等[8]基于增强型高阶理论分析了功能梯度夹层板的弯曲、振动及屈曲特性。Ebrahimi等[9]在湿热环境下基于非局部应变梯度理论分析了粘弹性功能梯度纳米梁的振动特性。Singh等[10]基于C0型高阶锯齿理论，使用九节点单元分析了热机载荷作用下复合材料层合/夹层板的屈曲及振动特性。李映辉等[11-12]在湿热环境下分别分析了热变形及弹性常数的变化对复合材料薄壁梁及旋转梁振动特性影响。Verette等[13]分析了温度对碳/环氧材料弹性常数的影响。然而，前期工作基于Reddy理论研究复合材料层合结构动力问题并没有考虑不同温度下弹性常数的改变对振动频率的影响。本文对不同温度下Reddy层合简支梁的自由振动进行分析，结果表明随着温度升高材料的弹性常数下降，Reddy梁固有频率会随之降低。随着频率阶数升高，频率降低会更为明显,然而Euler梁固有频率无明显变化。

1 理论公式

1.1 几何方程

本文模型采用Reddy层合梁理论，其位移场为

u(x,t)=u0(x,t)+φ1u1(x,t)+φ2u3(x,t)

(1)

其中，u1(x,t)=-Ψ(x,t)，u3(x,t)=∂w/∂x，φ1=z-cz3，φ2=-cz3。式中Ψ为梁绕Y轴截面的转角。其中c=4μ/3h2，当μ=1时，该理论即为Reddy梁理论，当μ=0时则退化为仅考虑一阶剪切变形的Timoshenko梁理论，并且当Ψ=-∂w/∂x时，该理论继续退化为Euler-Bernoulli梁理论。

该理论的应变表达式为

(2)

(3)

1.2 本构方程

(4)

Q11=cos4φC11+sin4φC22+2cos2φsin2φ(C12+2C55)

(5)

Q44=cos2φC44+sin2φC55+2cos2φsin2φ(C12+2C55)

(6)

其中，φ为铺设角。

1.3 动力平衡方程和边界条件

本文基于哈密顿原理推导了Reddy简支层合梁的动力平衡方程，该原理可表述为

(7)

其中U为应变能，W为外力做的功，K为动能。其中，W的一阶变分为

(8)

f和q分别为沿梁X轴和Y轴的体力。

U的一阶变分为

(9)

K的一阶变分为

(10)

将式 (8)、(9)、(10)带入式 (7)即得Reddy梁的动力平衡方程

(11)

(12)

(13)

满足边界条件的位移试函数为

(14)

其中u0n、u1n、wn为傅里叶系数，n为频率的阶数。

将式(11)、(12)、(13)带入式(14)中可得

(15)

其中

2 算例

2.1 Reddy梁理论有效性验证

表1 梁无量纲化频率比较

将本文结果与精确解(Exact)[14]，整体-局部高阶理论有限元计算结果(HGLT)[15]及一阶理论计算结果(FSDT)[14]进行比较。表1表明，本文结果与精确解及整体-局部高阶理论有限元计算结果符合良好，然而，一阶理论精度较低。

2.2 考虑温度变化的Reddy梁振动分析

为分析温度升高导致的弹性常数下降对层合梁振动频率的影响，以简支梁为例，分别基于Reddy梁理论及Euler梁理论，分析不同温度下梁的前4阶固有频率，并讨论长细比在温度变化时对梁固有频率的影响。

层合梁弹性常数随温度的变化[11]如表2所示。

其中，G12=G13;G23=0.5G12;v12=0.3;ρ=1 600 kg/m3。

2.2.1 不同温度下层合梁的固有频率

表2 不同温度下的弹性常数

表3 不同温度下梁的前4阶频率

表3表明温度升高时，Reddy梁各阶频率均会下降。图1表明温度升高时，高阶振动比低阶振动的频率下降更快，即弹性常数下降对高阶振动影响更大，然而，基于Euler理论，温度变化对频率的影响并不明显。

图1 不同阶数下频率下降的程度

2.2.2 长细比在温度升高时对梁固有频率的影响

表4表明Reddy梁频率随长细比增加而增加,随温度升高而降低。图2表明基于Reddy理论，当长细比较小时，温度升高引起的弹性常数下降对频率影响较大；随着长细比增加，弹性常数的下降对频率影响逐渐减弱，然而，基于Euler理论，温度变化对频率的影响并不明显。

表4 不同长细比的梁在不同温度下的固有频率

图2 长细比对频率下降程度的影响

3 结论

本文通过哈密顿原理，建立了Reddy梁的动力平衡方程，得出了不同温度下Reddy梁的固有频率并与Euler梁的固有频率进行了比较。随着温度升高，材料弹性常数下降。数值结果表明：

(1)弹性常数下降会导致Reddy梁固有频率降低，同时，随着模态阶数增加，其影响会更为明显。然而，温度升高导致的弹性常数下降对Euler梁固有频率无明显影响。

(2)长细比越大，Reddy梁与Euler梁的固有频率就越接近，即温度引起的材料弹性常数改变对Reddy梁固有频率的影响在长细比较小时会更为明显，当长细比接近40时，弹性常数的改变对固有频率影响并不明显。

[1] KAHYA V,TURAN M.Finite element model for vibration and buckling of functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory[J].Composites Part B Engineering,2017,109(10):108-115.

[2] PANDA H S,SAHU S K,PARHI P K.Hygrothermal effects on free vibration of delaminated woven fiber composite plates-Numerical and experimental results[J].Composite Structures,2013,96(1):502-513.

[3] THAI C H,TRAN L V,TRAN D T,et al.Analysis of laminated composite plates using higher-order shear deformation plate theory and node-based smoothed discrete shear gap method[J].Applied Mathematical Modelling,2012,36(11):5657-5677.

[4] REDDY J N.A Simple Higher-order theory for laminated composite Plates[J].Appl Mech,1984(51):745-752.

[5] REDDY J N，HEYLIGER P R.A higher order beam finite element for bending and vibration problems[J].Journal of Sound and Vibration,1988,126(2):309-326.

[6] JIN G，YANG C，LIU Z.Vibration and damping analysis of sandwich viscoelastic-core beam using Reddy'shigher-order theory[J].Composite Structures,2016,140(1):390-409.

[7] GIUNTA G,BISCANI F,BELOUETTAR S,et al.Free vibration analysis of composite beams via refined theories[J].Composites Part B Engineering,2013,44(1):540-552.

[8] NGUYEN K T,TAI H T,VO T P.A refined higher-order shear deformation theory for bending,vibration and buckling analysis of functionally graded sandwich plates[J].Steel and Composite Structures,2015,18(1):91-120.

[9] EBRAHIMI F，BARATI MR.Hygrothermal effects on vibration characteristics of viscoelastic FG nanobeams based on nonlocal strain gradient theory[J].Composite Structures,2017,159(9):433-444.

[10]SINGH S K,CHAKRABARTI A.Static,vibration and buckling analysis of skew composite and sandwich plates under thermo mechanical loading.International Journal of Applied Mechanics and Engineering,2013,18(3):887-898.

[11]马艳龙,李映辉.湿热环境下复合材料薄壁梁振动特性研究[J].振动与冲击,2016,35(15):154-160.

[12]蒋宝坤,李映辉.湿热环境对旋转复合材料梁摆振特性的影响[J].复合材料学报,2015,32(2):579-585.

[13]VERETTE R M.Temperature/Humidity Effects on the Strength of Graphite/Epoxy Laminates[J].Journal of Aircraft,2015,14(1):90-94.

[14]KAPURIA S，DUMIR P C,JAIN N K.Assessment of zigzag theory for static loading,buckling,free and forced response of composite and sandwich beams[J].Composite Structures,2004,64(3-4):317-327.

[15]WU Z,CHEN W J.Free vibration of laminated composite and sandwich plates using global-local higher-order theory[J].Journal of Sound and Vibration,2006,298(1-2):333-349.

Freevibrationanalysisoflaminatedcompositebeamunderthermalenvironment

DU Jie,WU Zhen
(Faculty of Aerospace Engineering,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

The increase of temperature causes the decrease of material constants.Based on the Reddy's theory,the influences of material constants under thermal environment on vibration characteristics of a laminated composite beam were investigated.The equations of motion were deduced using Hamilton′s principle to obtain natural frequency of the beam and to analyze the effects of length-thickness ratios.The natural frequency of Reddy beam was compared with that of Euler beam under the thermal environment.Numerical results show that elastic constant decrease and natural frequencies obtained from the Reddy′s model also obviously decrease with the increase of temperature,while the natural frequencies calculated from Euler's theory slightly decrease.

thermal environment;material constants;Reddy′s theory;laminated composite beam;free vibration

2017-09-26

国家自然科学基金(项目编号：11402152)

杜 杰(1990-)，男，山西晋中人，硕士研究生，主要研究方向：层合梁热振动，E-mail：1165923722@qq.com;吴 振(1977-)，男，黑龙江佳木斯人，教授，博士，主要研究方向：复合材料力学研究，E-mail：wuzhenhk@163.com。

2095-1248(2017)06-0055-05

O326

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2017.06.009

吴萍 英文审校：赵欢)