尺子上行走的蚂蚁

文/林 革

尺子上行走的蚂蚁

文/林 革

这是一道与蚂蚁有关的令数学家兴奋的妙题.

有100只蚂蚁分布在一把l米长的尺子上，尺子不仅离开地面有相当距离，而且尺子很窄，不能让两只蚂蚁并排前进或交叉通过.已知这些蚂蚁都在尺子上或向左或向右沿直线爬行，始终保持每分钟1米的爬行速度.比较奇特的是，任何两只蚂蚁只要碰头，就会立刻掉头向相反的方向爬行.当然，这些个性固执的蚂蚁结局相同——爬到尺子的尽头时一只只相继掉落.现在的问题是：最多经过多长时间，所有100只蚂蚁都会从尺子的尽头落下去？

可以确信的是，绝大多数人在解答之前，都预想蚂蚁的现实场景：一般情形下，总会有许多相向而行的蚂蚁，有的向左有的向右，碰头就转向，这样一来，尺子上的情形就变得非常复杂.即使只有3只蚂蚁，要计算出它们走多久才掉下去，似乎就不容易了，更不用说是100只.

只有一种极端情形例外，那就是所有蚂蚁都朝一个方向前进，因为它们的速度完全相同，皆为1米／分，就不会产生你追我赶的局面，那么这些蚂蚁朝同一方向依次掉落的情况并不难解决.只要考虑落在最后的那只蚂蚁，那怕它处在尺子的最末端，走到尺子的最前端也不过1米，那么最多经过1分钟，100只蚂蚁都会从尺子的尽头掉落.由此引发的理想情形是：如果蚂蚁不都朝着一个方向前进，但只要它们碰面后不掉头，各自继续前行，那么这些蚂蚁就会从尺子的两端纷纷掉落，最长的时间仍可用位于最左端或最右端的一只蚂蚁来考虑，结果仍是最多1分钟.

相信你会皱着眉头感叹：哪有这样的好事啊!题目已经交待得很清楚，蚂蚁或左或右，而且尺子很窄，不能让两只蚂蚁并排前进或交叉通过.也难怪，当一位非常聪明善于思考的天体物理学家面对这个问题时，本能的反应就是需要立刻进行一次超复杂的模拟，使自己能够在数百万种不同的场景中找到其中的规律.真的需要这么做吗？回答是否定的，因为这位智者过高估计了这道蚂蚁问题的难度.

事实上，我们只要把两只蚂蚁迎面相撞进行合理的想象或转化，问题就会变得极其简单.想一想，当两只相向而行的蚂蚁A、B碰面时立刻掉头，并且速度始终保持不变，那么，你只要一眨眼再观察时，一切都没有发生改变，向左的蚂蚁依然向左，向右的蚂蚁仍旧向右，相遇似乎并没有对它们产生任何影响.当然，这是错觉，因为真实的情况是你现在看到的蚂蚁A已经变成了蚂蚁B，只是外观和速度的一致性决定了蚂蚁连续行进的错觉，但这种错觉导致了一个显而易见的合理事实：尺子上两只蚂蚁相遇掉头与两只蚂蚁交叉通过的情形完全等同.

因此，尺子上的100只蚂蚁，无论哪一只与另一只碰头，都会进行瞬间替换.不妨假设替换的时间忽略不计，所以就整体而言，每只蚂蚁都在沿着自己原先的路线前进，自然流畅不受任何阻碍，个个都直奔尺子的边缘掉落.

如此一来，蚂蚁问题就自然转化为上面提到的理想模式，解答也变得清晰直观.一只蚂蚁需要走过的最长距离，显然不会超过尺子的长度1米.因为蚂蚁的行进速度是1米／分，而且每只蚂蚁都一条道走到黑，那么最多经过1分钟，100只蚂蚁都会从尺子的尽头掉落下去.

可以肯定，解答如此简捷是许多人没有想到的，可答案就是这么简单.当然这种简单是建立在不拘泥于细节的全局审视的前提下，并充分反映出数学中的整体思维与转化思维的应用.这正是“蚂蚁问题”的内涵意义.

王二喜