微积分中的不等式证明方法

厉文伟

摘要：不等式的证明是数学领域一块非常有魅力的内容，通过对不等式的证明的一些常见方法的研讨，让人感受到数学之美，在解决不等式的问题研究中锻炼自己的解题能力、数学思维能力，体验解决问题的乐趣与成就感。

关键词：微积分；不等式；证明；方法；能力

在初等数学或是高等数学中， 不等式都是十分重要的内容，并且是一种被广泛使用的技巧性工具，而不等式的证明又是不等式知识的重要组成部分，中学里证明不等式的方法有很多，比较法、分析法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法、判别式法、换元法等等 ，。相对于等式的可确定性，不等式更像是确定一个界限，制定一个条件来规范和划定一个范围，所以不等式的证明是非常有趣和富有挑战的。 下面要介绍的不等式的一些证明方法，是利用高等数学中微积分的知识，通过学习这些证明方法，可以帮助我们培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力，完善不等式证明方法。

1利用函数单调性证明不等式

定義：函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f（x） 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）

利用 公式证明函数不等式步骤：

（1）构造一个函数 ，选一个展开点 ，然后写出 在 处的带有拉格朗日余项的 公式

（2）通常把端点、分点、零点、极值点、最值点、拐点等选作展开中心。此外，区间中的任意点也是分析函数性质不可或缺的点

（3）根据所给的最高阶导数的大小，函数的界或三角形不等式对 进行放缩。

不等式的证明还可以利用定积分性质中的估值定理、积分中值定理、柯西-许瓦兹不等式等来解决。endprint