高阶非齐次线性微分方程解的增长级

周 鉴， 龙见仁

(贵州师范大学 数学科学学院， 贵州 贵阳 550001)

高阶非齐次线性微分方程解的增长级

周 鉴， 龙见仁

(贵州师范大学 数学科学学院， 贵州 贵阳 550001)

运用微分方程复振荡的理论， 研究一类具有整函数系数的高阶非齐次复线性微分方程解的增长级， 其中方程的系数均为整函数且非齐次项不恒为零. 当方程的系数增长级满足一定的条件时， 方程任一非零解具有无穷增长级.

线性微分方程； 增长级； 整函数； 零点收敛指数

考虑给定k≥2阶线性微分方程

式中：Ai(i=0,1,…,k-1),F均为整函数且F不恒为零.

方程(1)对应的齐次方程为

定理1 设k≥2为自然数，A0,A1,…,Ak-1,F均为有穷级整函数且F不恒为零, 存在As(0≤s≤k-1) 使得对于正实数α>0,β>0, 有ρ(Ai)<β(i≠s)及ρ(F)<β且

i) 或者max{ρ(A),i=1,…,s-1}>ρ(A0)>ρ(F).

ii) 或者ρ(Ai)<ρ(F), (i=0,1,…,s-1).

如果对于任意给定的ε>0, 存在有穷实数序列{φm}, {θm}满足条件

φ1<θ1<φ2<θ2<…<φn<θn<φn+1=

且

使得当z→∞,φm≤argz≤θm(m=1,…,n)有

则

1) 方程(1)的任意不恒为零解f满足

2) 对于任意的有穷级整函数φ有

定理2 设k≥2为自然数,A0,A1,…,Ak-1,F均为有穷级整函数且F不恒为零, 存在As(0≤s≤k-1) 使得对于正实数α>0,β>0, 有ρ(Ai)<β(i≠s)及ρ(F)≥β， 且max{ρ(Ai),i=1,…,s-1}>ρ(A0).

如果对于任意给定的ε>0, 存在有穷实数序列{φm}, {θm}满足条件(3),(4) 使得式(5)成立， 则

1) 方程(1)的任意解f满足式(6), 至多一个有穷级解f0.

3) 如果f为方程(1)中的无穷级解，φ有穷级整函数但非方程(1)的解则

∞.

4) 如果f0为(1)中的有穷级解， 则对于方程(1)中的任一无穷级解f及任意常数c≠1有

∞.

1 预备知识

引理1[10]设f(z)为一个有穷ρ级超越亚纯函数， 对于给定的正数ε存在一个线性零测度集E1⊂[0,2π), 使得如果ψ1∈[0,2π)E1, 则存在一个常数R1(ψ1)>1使得对所有满足条件: argz=ψ1且|z|≥R1(ψ1)的复数z及所有的实数对(k,j)这里k>j≥0， 有不等式

引理2[11]设f(z)是整函数， |f(k)(z)|在某条射线argz=θ上无界， 则存在无穷序列zn=rneiθ(n=1,2,…)趋于无穷， 使得rn→∞时有f(k)(zn)→∞且

|zn|k-j

引理4 设k≥2为自然数,A0,A1,…,Ak-1, 均为整函数, 对于给定实数α>0,β>0,θ1<θ2, 存在As(0≤s≤k-1)， 当z→∞,z∈S={z∶θ1≤argz≤θ2}有

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如果f为方程(2)非零解且ρ(f)=ρ<∞, 则对于任意ε>0, 存在M>0, 成立不等式|f(z)|≤M|z|s. 其中z∈Sε={z∶θ1+ε≤argz≤θ2-ε}, |z|≥R0>0.

证明由ρ(f)=ρ<∞, 由引理1知， 存在一个线性零测度集E1⊂0,2π), 使得如果ψ0∈[0,2π)E1, 则存在常数R0=R0(ψ0)>1使得对所有满足条件: argz=ψ0且|z|≥R0(ψ0)的复数z及i=s+1,…,k有

下证|f(s)(z)|在任意射线argz=ψ∈[θ1,θ2]E1上有界.

反设|f(s)(z)|在某条射线argz=ψ1∈[θ1,θ2]E1上无界, 由引理2知， 存在无穷序列zn=rneiψ1(n=1,2,…)趋于无穷， 使得rn→∞时有f(s)(zn)→∞且

|zn|s-i≤

由方程(2)有

结合式(11)～(13)有

式中：M0,M1为某个正实数. 这与式(10)相矛盾.

进一步由引理3易知， 存在M2>0, 使得任意的z∈Sε={z∶θ1+ε≤argz≤θ2-ε}有

由f(z)的s阶Taylor展开式

故

|f(z)|≤|f(0)|+|f′(0)||z|+…+

式中：M为某个正实数且z∈Sε, |z|≥R0>0.

引理5 设k≥2为自然数,A0,A1,…,Ak-1,α,β,ε,θ1,θ2,Sε， 如引理4所给，F为整函数且ρ(F)<β, 则对于方程(1)的任意有穷级解f有|f(z)|≤M|z|s. 其中z∈Sε, |z|≥R0>0,M为某个正实数.

证明由ρ(f)=ρ<∞及引理4的证明可知式(12)仍然成立.

下证|f(s)(z)|在任意射线argz=ψ∈[θ1,θ2]E1上有界.

反设|f(s)(z)|在某条射线argz=ψ1∈[θ1,θ2]E1上无界, 由引理4证明可知式(13)成立.

由于|f(s)(zn)|→∞, (n→∞), 不妨设|f(s)(zn)|≥1, 注意到ρ(F)<β， 故

结合式(1), 式(11)～(13), 式(18)可得

M0exp{o(1)|zn|β}|zn|M1,

其中，M0,M1为某个正实数. 这与式(10)相矛盾.

同引理4的证明， 可得

f(z)|≤M|z|s,

其中,M为某个正实数且z∈Sε, |z|≥R0>0.

引理6 设k≥2为自然数,A0,A1,…,Ak-1为有穷级整函数, 存在As(0≤s≤k-1)使得对于α>0,β>0有

如果对于任意给定的ε>0, 存在有穷实数序列{φm}, {θm}满足条件(3)和(4) 使得当z→∞,z∈Dm={z∶φm≤argz≤θm, (m=1,…,n)}有

则方程(2)的任意解f均为无穷级.

则当|z|=r>r0+1时， 有

故在角域θm-ε≤argz≤φm+1+ε, (m=1,…,n)中， 当|z|=r>r0+1时， 有

如果多项式f的次数degf≥s， 则

ρ(f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f)=

ρ(As)≥β>0.

这与方程(2)相矛盾.

如果多项式f的次数degf≤s-1， 则

ρ(As-1f(s-1)+…+A0f)>ρ(A0)≥0，

这也与方程(2)相矛盾.

故方程(2)的任意解f均为无穷级.

引理7 设k≥2为自然数,A0,A1,…,Ak-1,α,β,ε,{φm},{θm},Dm， 如引理6所给，F为整函数且ρ(F)<β, 且成立

i) 或者ρ(Ai)<ρ(F), (i=01,,…,s-1)，

ii) 或者max{ρ(Ai),i=1,…,s-1}>ρ(A0)>ρ(F)，

则方程(1)的任意解f均为无穷级.

同理， 在角域θm-ε≤argz≤φm+1+ε, (m=1,…,n)可得|f(z)|≤M|z|s.

由此可知， |f(z)|≤M|z|s全平面成立， 因此f(z)为多项式.

如果多项式f的次数degf≥s， 则

ρ(f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f)=

ρ(As)≥β>ρ(F),

这与方程(1)相矛盾.

如果多项式f的次数degf≤s-1， 则

i) 当ρ(Ai)<ρ(F), (i=0,1,…,s-1)时，

ρ(f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f)=

max{ρ(Ai)∶i=0,1,…,s-1}<ρ(F).

这与方程(1)相矛盾.

ii) 当max{ρ(Ai),i=1,…,s-1)>ρ(A0)>ρ(F)时，

ρ(As-1f(s-1)+…+A0f)=max{ρ(Ai)∶

i=0,1,…,s-1)}≥ρ(A0)>ρ(F)，

这也与方程(1)相矛盾.

故方程(1)的任意解f均为无穷级.

引理8[13]设A0,A1,…,An-1,F≠0为有穷级亚纯函数,f为方程

2 定理的证明

定理1的证明

2) 令g=f-φ， 由于f为方程(1)的解， 且ρ(φ)<∞， 故

ρ(g)=ρ(f-φ)=max{ρ(f),ρ(φ)}=

ρ(f)=∞.

而f=g+φ， 将其代入方程(1)中有

g(k)+Ak-1g(k-1)+…+A0g=

由于ρ(φ)<∞， 故φ不可能为方程(1)的解, 因此，

记G=F-(φ(k)+Ak-1φ(k-1)+…+A0φ)≠0， 则对于方程

∞.

定理2的证明

1) 不妨设f0为方程(1)的一个有穷级解， 即ρ(f0)<∞.

如果方程(1) 还有另外一个有穷级解f1， 满足ρ(f1)<∞且f0≠f1.

由增长级的定义可知

另外，f0-f1显然应满足方程(2).

由引理6可知

ρ(f0-f1)=∞， 这与ρ(f0-f1)<∞相矛盾.

故方程(1)至多有一个有穷级解.

再由引理8知， 方程(2)的任一无穷级解f应满足

2) 设f0为方程(1)中的有穷级解，ρ(f0)<∞, 则由方程(1)可知, 当z0为f0的d阶零点且d>k， 则z0必为F的d-k阶零点， 因此

又由值分布理论的对数导数引理知识可知

由方程(1)可得

故

由式(33), (34)和(36)有

记α=max{ρ(As),ρ(F)}, 则对于任意ε>0及充分大的r， 有

T(r,F)

由式(37)和(38)有

故

ρ(f0)≤max{ρ(F),ρ(As)}.

另一方面由方程(1)可见

ρ(f0)≥max{ρ(F),ρ(As)}.

故

3) 设f为方程(1)中的无穷级解，φ为有穷级整函数但非方程(1)的解.

令g=f-φ， 则ρ(g)=ρ(f-φ)=max{ρ(f),ρ(φ)}=ρ(f)=∞.

而f=g+φ， 将其代入方程(1)中有

g(k)+Ak-1g(k-1)+…+A0g=

F-(φ(k)+Ak-1φ(k-1)+…+A0φ).

又φ非方程(1)的解， 因此

F-(φ(k)+Ak-1φ(k-1)+…+A0φ)≠0.

4) 设f0为方程(1)中的有穷级解， 则对于方程(1)中的任一无穷级解f及任意常数c≠1， 令g=f-cf0， 则g满足方程

g(k)+Ak-1g(k-1)+…+A0g=(1-c)F.

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GrowthofSolutionsofNon-HomogeneousHigherOrderLinearDifferentialEquations

ZHOU Jian， LONG Jian-ren

(School of Mathematics science, Guizhou Normal University, Guiyang 550001, China)

This paper concerned with the growth of solutions of the non-homogeneous higher order linear differential equations with entire function coefficients by using complex oscillation theory of linear differential equations, where the coefficients are entire functions and the non-homogeneous term unequal to zero. It is shown when the coefficients order meets certain conditions then every non-zero solution of the equation is of infinite order.

linear differential equations; growth; entire function; convergence exponent of zero

1673-3193(2017)05-0544-05

2016-09-30

国家自然科学基金资助项目(11501142)； 贵州省科学技术基金(黔科合J字LKS[2009]04号)

周 鉴(1976-)， 男， 副教授， 博士生， 主要从事复分析的研究.

O174.52

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.05.007