《幂函数》问题教学法的实践探讨

江苏省江阴市第二中学 苏春蓉

《幂函数》问题教学法的实践探讨

江苏省江阴市第二中学 苏春蓉

思维的形成离不开问题。在《幂函数》的新课教学中，笔者采用问题教学法充分调动学生全方位地学习数学，使学生积极主动地参与到学习中，经过独立的思考与分析，能更好地处理数学问题。

一、本堂课与问题教学法对接的理由

本堂课是《幂函数》的新授课，教学中有一个难点和重点就是要学生能结合几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和简单性质。遵循“学生为主体，教师为主导”的教学准则，通过观察函数解析式及函数图象，借助多媒体全方位审视，由特殊到一般、由直观到抽象，笔者在整个课程教学活动实施的过程中贯穿问题，辅助以启发式、演示法教学，在学习的过程中不断优化自主学习措施，有效地渗透数学思想方法，努力提高学生素质。

二、问题教学法在《幂函数》新课教学中的实践

1.联系实际，生成概念的问题教学

学生在学习系统的高中数学知识的时候，需要结合已有的数学思维或者已经具备的数学知识框架作为基础。为了使学生能快速理解幂函数的概念，笔者举了五个例子：请同学们阅读以下材料并思考问题：

（1）如果小明购买了价格为1元的新米包装盒x个，那么他支付的钱数y=____元。

（2）如果一块正方形的稻田边长为x m，那么稻田的面积y＝_______m2。

（3）如果正方体的新米包装盒的棱长为x cm，那么包装盒的体积y=________cm2。

（4）如果正方形稻田的面积为x m2，那么稻田的边长y＝________m。

（5）如果小明去买新米，x秒内骑车行进1千米，那么他骑车的平均速度y=__千米/秒。

师：这五个问题用函数表示分别是什么？

生：y=x,y=x2,y=x3,y=，y=x-1。

师：这五个函数式的结构特点是什么？

师：表达式具有怎样的结构特征？

（引导学生对于概念进行全面考量，并强化他们对于概念的理解）

生：底数是自变量x，指数a是常量。

师：是否还有其他特征？比如说表达式的系数特点？

生：系数是1。

师：有没有常数项？

生：没有。

由此，学生对幂函数的概念有了比较全面的认知，再从两道题引导学生对于概念进行全面考量，并强化他们对于概念的理解：

（1）下列函数中是幂函数的有_________。

师：幂函数与指数函数的共同点和不同点是什么？

生：都是幂值，一个是底数为x，一个是指数为x。

在概念学习的过程中，学生根据自己对知识内容的理解，不断将新的知识内容补充到知识框架中。在一系列的问题中，引导学生自己探究新知的发生并能用旧知解决。由于这些铺垫，当设计问题研究幂函数的图象和性质时，学生会更愿意参与进来，从而创新能力获得极大的提高。在整个课堂教学活动实施的过程中，课堂气氛一直保持互动活跃的状态。

2.发生问题，探索图象性质的问题教学

教师在转入新课的问题教学前，学生结合自己的知识结构，面对教师的问题串，可以将自己的想法与不懂的地方向教师提出。

为了更高效地画出图象并研究幂函数的性质，不妨先解决如下例题：

例1 写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：

对于判断幂函数奇偶性的一般方法，让学生通过自主探索、自主实践方式来自己发现、自己解决，并以此题为载体，探究幂函数图象的对称性，提出问题：

师：用怎样有效的方法判断幂函数的奇偶性？函数奇偶性的研究要注意什么问题？

生：可通过化为根式来看幂函数的奇偶性，函数的奇偶性要注意定义域是否关于原点对称。

师：研究函数奇偶性对于我们解决图象有什么帮助？

生：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称，如果我们能画出第一象限的图象，就可以由对称性画出其他部分的图象。

接下来，请学生通过找关键点画出了常见的几个幂函数的图象，并总结其性质（包括定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点）：

学生活动结束后，通过实物投影展示学生的探索成果，并提问：

师：这几个函数的图象有什么共同特征？

笔者用电脑把这些图象画在同一个直角坐标系下进行观察。借助信息技术对函数图象作直观演示下的问题教学法，使学生对老师设置的数学问题不再感觉陌生，对数学概念的理解也不再是空洞的想象，化抽象为直观，从直观到抽象的思维方法，也充分调动了学生学习数学的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

师：图象和性质与什么因素有关系？你发现了哪些规律？

生：与a有关。

学生有疑问：指数是怎样影响图象与性质的？幂函数是否具有一般的性质和结论？

师：这五个幂函数的图象位置有何特点？奇偶性有何特点？这五个幂函数的单调性有何特点？哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象？这时可以通过什么途径来判断？

教师指导学生按如下程序进行操作：（1）由学生组成活动小组；（2）每个小组进行一个问题探究；（3）分工活动获取规律结论；（4）及时汇总规律结论；（5）师生合作总结归纳。

经过师生探讨和总结，归纳出如下结论：（1）所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都通过点（1，1）;（2）当a＞0时，则图象都过点（0，0）和（1，1），在第一象限内，函数在区间[0，+∞）上是增函数，0＜a＜1时，图象上凸，慢增；a＞1时，图象下凸，快增；（3）当a＜0时，则图象都过点（1，1），在第一象限内，函数在（0，+∞）上是减函数，在第一象限内，图象都向上无限接近y轴，向右无限接近x轴；（4）其他象限内的图象可以通过函数的定义域和奇偶性得出。（5）图象分布：第一象限都有图象；第四象限都没有图象；第二、三象限可能有，也可能没有图象。

通过这样循序渐进地设置问题的过程，不但让学生从具体实例抽象出了数学概念，而且在运用中逐步理解了概念的本质；不但让学生解开了心中的疑问，而且通过探索让学生自己发现了一个数学规律；不但让学生在探索中学到了知识，而且也发展了他们的数学思维能力，体会到了数学的美学价值。

3.应用新知，总结心得的问题教学

为了巩固学生的认知，笔者再次回到刚才的例1，请学生利用幂函数的性质动手来画出后面三张草图。

师：怎样快速画出一个幂函数的草图？

生：不妨先做出第一象限的图象，再根据奇偶性明确其他象限的图象。

师：第一象限又怎样作出草图？

生：关键对a的判定，明确范围，确定图形。

由于学会了快速画图以及对性质初步熟悉，研究下面的例题就比较容易上手了：

例2 比较下列各组数的大小：

师：怎样快速比较大小？

生：通过确定是哪一类幂函数，关注幂函数的指数，根据函数的单调性进行判断。

最后，请同学说说本节课都学到了什么知识和思想，然后师生共同总结得到共识：要想系统认识幂函数的性质，必须从它的图象着手，重点抓住幂函数在第一象限内的图象特征，然后根据奇偶性做出其他象限内的图象，因而对函数的定义域和奇偶性的分析很重要。

总之，问题教学法是非常重视“过程”的教学方法，它展现了学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的整个探索过程。尤其在信息技术的辅助下，问题教学法更有利于培养学生学习的自主性、独立性、独特性以及克服困难的意志和决心等多项优良品质，让学生从“我要学”出发，建立“我能学”的自信，给学生的学习赋予了新的生命价值。