大跨梁在竖向地震作用下二次共振分析

何沛祥,王忠旺

(合肥工业大学 土木与水利工程学院,安徽 合肥 230009)

大跨梁在竖向地震作用下二次共振分析

何沛祥,王忠旺

(合肥工业大学 土木与水利工程学院,安徽 合肥 230009)

在竖向地震作用下,由于梁的竖向剪弯刚度有限,梁的竖向振动与柱的竖向振动并不协调一致,不宜将结构简化为传统的一维串联质点模型。为此,文章建立了一种简化的“梁柱” 模型对梁的二次共振进行分析。分析结果表明,梁在竖向地震作用下的二次共振效应主要和地面输入频率与柱(或主体结构)的竖向自振频率比有关,且在比值较小时受梁柱质量比影响较小,在比值较大时受梁柱质量比影响较大。并利用MIDAS GEN软件验证了该模型是合理的。

大跨梁;竖向地震;二次共振;梁柱模型;自振频率

0 引 言

在竖向地震作用下,结构会发生破坏,文献[1]研究了不同场地对竖向反应谱最大值的影响。然而大跨结构在竖向地震作用下,大跨梁还会出现二次共振[2-3]现象,即大跨梁的振动效应可能会被放大,从而容易出现破坏。这种现象类似于水平地震中的鞭梢效应[4-6]。文献[2]通过PMSAP软件的数值分析,提出在竖向地震作用下,当大跨结构自身的竖向振动周期与其底部主体结构的竖向振动周期接近或一致时,两者之间将发生二次共振振动,地震效应会显著增大。这类似于文献[4]研究鞭梢效应时指出当结构顶部突出构筑物的某一自振周期与主体结构的某一自振周期相同且该周期又与地面运动的卓越周期相接近时,最易发生鞭梢效应。而文献[7]则指出结构鞭梢效应发生的原因,主要是由于突出物自振频率与地面运动干扰频率相等或相近。故本文研究在竖向地震作用下大跨结构的这种“二次共振”机理,通过一种简化模型对此做探讨,并与MIDAS GEN软件模拟的数值结果进行对比,以验证该简化模型的合理性。

1 简化模型的分析

1.1 模型简化

在竖向地震作用下,由于梁的竖向剪弯刚度有限,其自身的振动与柱的振动并不协调一致,故不宜简化为传统的一维串联质点模型。本文将建筑结构简化的梁柱模型，如图1所示。在竖向地震作用下,该模型的计算可以看成是将两柱的竖向刚度进行并联,再与梁的竖向剪弯刚度进行串联得到。故可以进一步简化为弹簧振动模型来具体研究结构中梁在竖向地震作用下的地震反应，如图2所示。图1、图2中m1为梁代表质量;m2′、m2″为柱的代表质量;m2为柱的总代表质量;k1为梁的抗弯刚度;k2′、k2″为柱的轴向压缩刚度;k2为柱的总轴向压缩刚度;C1为梁的阻尼系数;C2′、C2″为柱的阻尼系数;C2为柱的总阻尼系数;xg=H0sin(ωt)为地面输入位移;x1(t)、x2(t)为梁柱输出位移。

图1 梁柱模型

图2 弹簧模型

由图2的弹簧模型建立运动方程[8]如下：

(1)

并令x1(t)、x2(t)与xg的关系如下：

(2)

解得:

(3)

其中

1.2 模型分析

(3)式中H1为梁的地震反应增量因子。本文研究梁在竖向地震作用下的响应,也即讨论在不同参数作用下H1的大小。为方便讨论,取阻尼比ξ1=ξ2=0.05，分别取β值(即地面输入频率与柱的自振频率比)为0.1、0.5、1.0进行讨论。

(1)β=0.1,且分别取梁柱的代表质量比μ=0.1、0.5、1.0时,观察梁的地震响应H1随λ(地面输入频率与梁频率之比)的变化而变化的趋势。结果如图3所示。

由图3可看出，当λ=1时梁发生二次共振效应。且3条曲线几乎重合,此时梁的二次共振几乎不受梁柱质量比变化的影响。

图3 β=0.1时增量因子H1与λ的关系

(2)β=0.5,且分别取梁柱的代表质量比μ=0.1、0.5、1.0时,观察梁的地震响应H1随λ的变化而变化的趋势，结果如图4所示。由图4可看出,当λ在1.0附近时梁发生二次共振效应,且3条曲线的峰值出现了偏离,此时梁的二次共振效应受到梁柱质量比变化的影响。

(3)β=1,分别取梁柱的代表质量比μ=0.1、0.5、1.0时,观察梁的地震响应H1随λ的变化而变化的趋势,结果如图5所示。由图5可看出，当λ=1且梁柱质量比μ=0.1时梁发生二次共振效应，3条曲线明显分离,说明梁的二次共振效应受到梁柱质量比变化的影响很大,且在梁柱质量比较大时,梁不发生二次共振效应。

图4 β=0.5时增量因子H1与λ的关系

图5 β=1.0时增量因子H1与λ的关系

2 算例分析

2.1 单层单跨结构算例分析

单层单跨模型如图6所示,用MIDASG GEN建立一个12 m×12 m的单层单跨框架结构,柱截面为1 500 mm×1 500 mm,通过加节点质量(本例中每个柱顶节点加了1 300 kN/g质量)使得柱的竖向自振周期T2=0.054 1 s。通过保证梁单元的截面面积不变(1.6 m2)而改变梁单元的截面尺寸，使得梁的竖向自振周期得到改变从而得到不同的λ值,并提取梁最大弯矩来反映不同模型下梁的二次共振效应。楼面的恒载取7 kN/m2,梁柱的质量比μ保持不变。输入地震加速度为谐振函数xg=sin(ωt),取β=ω/ω2=T2/T=0.5,T=0.108 2 s,ξ1=ξ2=0.05,μ=m1/m2=(7×12×12+1.6×25×4×12)/(1 300×4+25×1.5×1.5×4×4)=0.5。MIDAS计算的梁在地震作用下的响应与简化模型计算的响应结果，如图7所示,图7中相对值是指以λ值最小的模型为基准,其他模型与该模型比较后得到的结果。

由图7可知，当地面输入频率与梁自振频率比为1时,梁出现二次共振效应。且由图7可知2个曲线符合度较高,说明此简化模型较为合理。

图6 单层单跨模型

图7 梁弯矩响应相对值与简化模型计算响应相对值

2.2 多层多跨结构算例分析

多层多跨结构如图8所示,要研究在竖向地震作用下,某一层梁在不同截面(自振频率)下各弯矩变化情况时,可以将该层整体看成本文简化模型中的“梁”,把除该层以外的其他主体结构看成简化模型中的“柱”,分别计算他们的自振频率和质量比,应用模型来预测各梁因频率变化所引起的弯矩变化趋势。

图8 多层多跨结构立面图与平面图

本文节用MIDAS GEN建立3组5层框架结构以分别验证将结构顶层、中间层和底层(下文均称为研究层)当作简化模型中的“梁”,把除该层以外的其他结构当作简化模型中的“柱”来分别计算“梁”、“柱”自振频率(自振频率指竖向第一阶自振频率,可由软件直接计算得到),代入模型公式,以验证模型的合理性。为让每组研究层的竖向自振频率变化范围较大,取研究层的恒载为15 kN/m2,活载为2 kN/m2,在保证研究层梁截面面积不变(0.72 m2)的情况下,通过改变研究层梁截面的长、宽尺寸,使得研究层梁的竖向自振频率得到改变,从而得到不同的λ值。本例中研究层总共取了8组不同截面进行计算,截面尺寸分别为200 mm×3 600 mm、400 mm×1 800 mm、600 mm×1 200 mm、800 mm×900 mm、1 000 mm×720 mm、1 200 mm×600 mm、1 400 mm×514 mm。其他层取恒载为4 kN/m2,活载为 2 kN/m2。3组模型中地面输入加速度为谐振函数xg=sin(ωt),同样都取β=ω/ω2=0.5,ξ1=ξ2=0.05。

由上述分析可知,当β=0.5时,梁发生二次共振的效应受梁柱质量比影响不大,但又考虑到层的不同,而梁的共振与其两端柱的等效质量有一定关系,因此对于底层作为研究层来说,研究层以上结构的质量全部作用于“柱”,此时“柱”质量很大,取梁柱质量比为μ=0.1来考虑此影响;对于中间层作为研究层来说,取梁柱质量比为μ=0.5来考虑柱质量的减少;对于顶层则相应取μ=1.0(此种取法只是定性考虑研究层以上结构质量对梁的影响,此时质量比对梁共振效应并不敏感)。记录图8中A梁用MIDAS GEN计算得到的跨中弯矩响应相对值与简化模型计算得到的地震作用响应相对值如图9～,图11所示,图中相对值均是指以λ值最小的模型为基准,其他模型与该模型比较后得到的结果。

图9 顶层梁弯矩响应相对值与简化模型响应相对值

图10 中间层梁弯矩响应相对值与简化模型响应相对值

图11 底层梁弯矩响应相对值与简化模型响应相对值

3 结 论

(1) 梁柱简化模型可以反映出梁在竖向地震作用下的地震响应,简化模型预测的地震响应与用有限元软件MIDAS GEN计算的结果大致相符。

(2) 梁发生竖向二次共振效应的主要原因是由于梁的竖向自振频率与地面输入频率之比相等或相近(λ在1.0附近时)。

(3) 当地面输入频率与柱(或主体结构)的竖向自振频率之比β较小时(小于0.5),梁发生竖向二次共振效应将受梁、柱质量之比影响较小。

(4)当地面输入频率与柱(或主体结构)的竖向自振频率之比β较大时(大于0.5),梁发生竖向二次共振效应将受梁、柱质量之比影响较大。

[1] 陈鹏,耿淑伟,席远,等.地条件对竖向抗震设计反应谱最大值的影响[J].合肥工业大学学报(自然科学版),2014,37(6):710-712,744.

[2] 黄吉锋,邵弘,杨志勇.复杂建筑结构竖向地震作用的振型分解反应谱分析[J].建筑结构学报,2009,20(增刊1):110-114.

[3] 刘军.工程结构中的二次共振分析[J].淮海工学院学报(自然科学版),2005,14(4):15-17.

[4] 钟万勰,林家浩.高层建筑振动的“鞭梢效应”[J].振动与冲击,1985,1(2):1-6.

[5] 曾桂香,郭呈祥.高层建筑顶部细小突出物的鞭梢效应[J].自然灾害学报,2008,17(4):143-146.

[6] 竹影,丁建国.多高层结构的鞭梢效应研究[J].建筑结构, 2006,36(4):87-89.

[7] 曲淑英,王心健,初明进,等.高层结构的鞭梢效应分析[J].工业建筑,2001,10(10):28-30.

[8] 严济宽.机械振动隔离技术[M].上海:上海科学技术出版社,1985:88-92.

Analysisofsecond-orderresonancevibrationoflarge-spanbeamunderverticalearthquakeeffects

HE Peixiang,WANG Zhongwang

(School of Civil and Hydraulic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Affected by the vertical earthquake, the vertical vibration of beams and columns is not coordinated because of the limited vertical shear-bending stiffness of beams. It is inappropriate to simplify beam-column model to a one-dimensional tandem mass-points model. Therefore, a simplified beam-column model is built to analyze the second-order resonance vibration of beams. The analysis results show that the second-order resonance vibration effect of beams under vertical earthquakes is mainly influenced by the ratio of input frequency and perpendicular natural vibration frequency of columns or the main structure. The smaller the ratio is, the smaller the effect of the mass ratio of beams and columns is. And the reasonableness of the model is proved by using MIDAS GEN.

large-span beam; vertical earthquake; second-order resonance vibration; beam-column model; natural vibration frequency

2016-03-14；

2016-04-07

何沛祥(1965-),男,安徽合肥人,博士,合肥工业大学副教授,硕士生导师;

王忠旺(1989-),男,安徽黄山人,合肥工业大学硕士生,通讯作者：E-mail:836635783@qq.com.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.11.020

TU311.3

A

1003-5060(2017)11-1539-04

(责任编辑 马国锋)