基于压缩感知的电力信号压缩与重构研究*

陈雷，郑德忠，王忠东

（1.东北石油大学秦皇岛分校，河北 秦皇岛 066004；2.燕山大学 电气工程学院 河北省测试计量技术及仪器重点实验室，河北 秦皇岛 066004）

0 引 言

随着信息技术的高速发展和人们对电能信息需求量的增加，需要不间断地对电网电能信号进行采集，以便进行相关的参数检测和数据分析。

为了降低存储和传输成本，必须对电能数据进行压缩处理。为此，很多学者提出了针对电能信号的压缩和解压缩方法［1-5］，这些压缩方法都是在Nyquist采样定理的基础上先进行高速采样，然后再做压缩处理，在压缩过程中丢弃了大量已采集的非重要数据，这些数据之所以可以丢弃，是因为其并不包含原始数据的关键信息，是冗余的。因此，这些数据压缩方法虽然取得了较好的压缩效果，但前期的采样和存储过程却消耗了大量的采样和存储资源。

近几年提出的压缩感知（Compressed Sensing，CS）理论指出，如果信号本身是稀疏的或可压缩的，或者在某种变换域下是稀疏的或可压缩的，则可以利用一种与变换域不相关的测量矩阵，将高维信号投影到低维空间上，实现压缩采样。同时，由于这种在低维空间上的投影包含了重构原始高维信号所需要的关键信息，因此可以用非线性优化算法从低维空间上以高概率精确恢复原始信号［6-7］。可见只要能找到电能信号的合适的稀疏表示空间，即可利用压缩感知理论，直接将信号采样为压缩形式，进而完成精确恢复。本文将压缩感知重构算法应用于含有谐波和间谐波电力信号的压缩感知重构，研究其可行性和有效性。

1 电力信号的压缩感知问题

压缩感知是一种与变换编码密切相关的采样方法，可广泛应用于现代通信系统和大规模数据采集。变换编码把高维空间的信号转换到低维空间，通常，信号的变换基需要根据信号的特点来选取，常用的变换编码方法主要有：离散余弦变换（DCT）、离散傅里叶变换（DFT）、离散小波变换、Curvelet变换、Gabor变换以及冗余字典等［8］。

信号的稀疏表示是应用压缩感知理论的先决条件。当信号f∈RN在N维变换基上可以用K≪N个大系数表达，即f在变换基下可压缩或K稀疏时，则说明可以成功进行变换编码。电力信号本身在时域上并不稀疏，而是在某种变换域Ψ∈R N×N或者字典上是稀疏或可压缩的，下面考虑一种通用的非适应线性测量过程：

这里Ф∈R M×N（M≪N）为压缩感知测量矩阵，与f不相干，Θ=ΦΨ，x∈RN是K稀疏的，u∈R M为f在Ф上的线性投影，即压缩采样矢量值，这个过程将压缩和采样同时实现，大幅度降低了采样和存储成本。在这个框架内，从随机投影中求解x是一个病态问题，但如果投影基Ф与信号有稀疏表达的基Ψ不相关，则在稀疏先验的前提下，可以仅使用M≪N个投影解码K稀疏的离散时域信号x，进而根据f=Ψx，恢复原始信号f。

2 电力信号的压缩感知重构算法

目前，压缩感知理论主要是针对特定应用，设计测量矩阵和低复杂度、易用的重构算法，而重构算法是求解一个非线性优化问题的过程，其目的是配合测量矩阵尽可能减少测量数据，且计算速度快、具有普适性以及能够解决大尺度问题。

目前的CS重构算法主要分为以下几大类。第一类是凸优化算法，即使用线性规划方法的l1范数优化问题，主要有基追踪法、梯度投影法、内点法、迭代阈值法、迭代重加权最小二乘（IRLS）法等［9］。该类算法是求解全局最优解，所以算法具有很高的精度和稳定性，且需要的测量值相对更少；但计算复杂度很高，速度慢。第二类是求取次最优解的基于贪婪迭代匹配追踪的系列算法，该类算法是通过逐步选取对压缩测量值产生最大影响的列向量来实现对原始信号的最优估计，由于其低复杂度和简单的几何解释，引起了极大关注。目前主要有：MP、OMP、StOMP、SP、CoSaMP、SAMP等［10-11］。除了以上两大类算法外，还有以稀疏贝叶斯为代表的统计优化算法和组合算法等。

Donoho和Tanner计算了高斯测量时精确重构的阈值，并指出对于任何稀疏度K和信号尺寸N的信号，恢复该信号所需要的测量数量M可以精确地确定［12］。下面将采用随机高斯测量矩阵，对几种典型重构算法进行分析。

2.1 IRLS算法

基于线性规划的l1范数优化重构算法在很多情况下可以用更少的测量值实现精确重构。特别的，用lp（0＜p＜1）范数代替l1范数，这里：

文献［11］在随机和非随机傅里叶测量下，通过实验证明，在0＜p＜1时，比p=1时的精确重构需要更少的测量。且对于越小的p，式（2）精确恢复信号所需的充分条件越弱［13］。

IRLS是对最小二乘法的改进，其基本思想是以一个加权l2范数代替式（2）中的lp目标函数：

并采用迭代过程求解一系列加权最小二乘问题，在每一步迭代中按照一定规则对权系数进行调整，使其逐步逼近最优。其步骤是计算x，然后用x计算出权重，这两步依次迭代。

这里Q t为对角矩阵，对角项为1/wi。由于在0＜p＜1时，有p-2＜0，因此权wi在时没有定义。处理这个问题的通用的方法是加入一很小的ε＞0来规则化最优问题，即：

在式（5）中使用相对大的ε，然后在收敛后重复减小ε的过程，并重复迭代式（4），这样可以极大改善IRLS恢复稀疏信号的能力，使得用更少的测量值，或者对不够稀疏的信号进行精确恢复成为可能。这种ε规则化方法在文献［14］中得到有效的使用。

IRLS算法的计算过程如下：

2.2 需要稀疏度估计的OMP和SP算法

OMP与MP算法都是在每次迭代中扩展一个支撑，但OMP算法通过引入Gram-Schmidt正交化，来保证结果的最优，克服了MP算法的次最优性，减少了迭代次数，提高了算法的效率。

传统OMP算法的停止标准是运行K步后才停止。实验表明，精确运行K步并不是最好的选择，并且在实践中很难精确指定K的大小；基于观测向量残差能量的终止迭代，符合精确表达观测向量的目的，可以改善OMP类重构算法的性能。使用基于残差的停止迭代条件，OMP的恢复结果在某些情况下接近甚至超过BP类算法。因此本文对于OMP类算法，使用‖r‖2≤ε‖u‖2作为停止迭代条件，ε为一个很小的常数。OMP算法的步骤如下：

OMP算法中待选原子（Θ的列向量称为原子）一旦进入支撑候选中，则不再被删除，则错误的入选原子会影响重构精度。如果在当前迭代的步骤中，对入选原子做进一步筛选，若仍然满足当次最优则保留，否则剔除作为下次待选。这种回溯的方法可以最大程度保证重建的全局最优性，SP算法针对OMP中原子选择机制的缺点，引入了“回溯”的思想，其算法步骤如下：

可见，SP算法在每次迭代中，选择多个原子，通过执行删除步骤进行回退筛选，从而允许在支撑估计中添加和删除错选的非零索引，整个迭代一直保留着长度为K的支撑估计集，在K估计准确的情况下，通过几次迭代，即可以很小的误差得到稀疏解。

实验表明SP算法在稀疏度估计准确的情况下运行速度和恢复性能均优于OMP，但若K估计值不准确，则其与实际值相差越大，其性能越差。

2.3 稀疏度自适应的SAMP算法

大多数自然信号在稀疏变换后都仅是可压缩的，而不是严格稀疏。这些信号的稀疏度K并不能明确的定义。而稀疏自适应匹配追踪（SAMP）可以不需要稀疏度先验信息即可重构信号，这使得该算法在实际应用中很有优势。而且在理论上，SAMP在精确恢复和稳定性上也具有严密的理论保障［9］。

SP算法可以更精确识别真正的支撑集，归因于它的回溯思想，而OMP方法提供了一种通过逐步向前的方法估计K值的可能解决方案，SAMP吸收了两种方法的优点。同时SAMP采用了与StOMP类似的分段阶梯方法逐步扩张支撑集，而且SAMP的候选集和最终集是自适应的，这些关键的创新使SAMP能够在没有预先知道K值的情况下进行盲恢复，用其重构稀疏度未知的电力系统信号更具可行性。其算法步骤如下：

3 仿真实验与分析

3.1 重构算法的性能指标

采用相对均方根误差（RRMSE）和重构信噪比（SNR）衡量各种算法对一维信号的重构性能。设f0为不含噪声的原始信号，f为重构信号，信号长度为N，压缩采样数量为M，||·||2表示2范数。计算公式如下：

在本次研究中，重新建立微生物限度检查法，使用添加适量庆大霉素的SDA，抑制了非目的菌的生长，体现产品霉菌和酵母菌的真实污染状况，避免假阳性结果，挽回了损失。

3.2 仿真分析

研究不同的M下，算法的精确重构概率，对每个M，实验100次，每次随机产生新的Ф。为兼顾重构概率与运算速度，SAMP算法中的步长取2。首先将以上各种算法对本身严格稀疏的高斯分布信号的重构进行比较；然后对含有谐波和间谐波电能信号的压缩重构性能进行比较，这里采用傅里叶稀疏变换基和与其具有极大不相关性的独立同分布的高斯随机矩阵作为测量矩阵Ф。

3.2.1 高斯稀疏信号的重构

用以上四种算法对服从均值为0、方差为1的高斯分布的一维稀疏信号进行重构，取N=256，K=20，得到重构概率曲线如图1所示。在M=80时，四种算法的运行时间比约为：

IRLS：SAMP：OMP：SP=100：10：1：1。

图1 精确重构概率比较Fig.1 Comparison of the exact reconstruction rate

可见，IRLS算法可以用更少的测量值实现高概率重构，但运行时间过长，且进一步实验表明，IRLS的运行时间随着N的增大呈指数增加。对0-1稀疏信号和均匀分布稀疏信号的重构实验，也表现出了与重构高斯稀疏信号相似的性能。

3.2.2 含有谐波/间谐波电力信号的重构

谱分析知，其傅里叶正交基下的实际频域稀疏度为12，这里取稀疏度估计分别为K=12和K=20，进行仿真实验。得到图2和图3所示的重构概率曲线。

图2 K=12时的精确重构概率Fig.2 Frequency of exact reconstruction when K=12

图3 K=20时的精确重构概率Fig.3 Frequency of exact reconstruction when K=20

进一步实验得到，在M=100时，四种算法的运行时间比约为：IRLS：SAMP：OMP：SP=1 000：4：2：1。

可见，如果信号在变换基下稀疏，SAMP可以在稀疏度未知的情况下实现相对更好的重构性能，SP算法虽然速度最快，但恢复性能随着稀疏度估计值与实际值偏差的增大而下降。

同样，IRLS算法的运行速度很慢，使其应用受到限制。因此对于电力信号的重构，在无法准确估计稀疏度时，SAMP在合适的稀疏变换基下，可以用更少的测量值以更高概率精确恢复原始电能信号。图4给出了M=50时，SAMP算法对（8）的重构结果，为便于波形对比，图中只给出了前200点的波形。可见，对于傅里叶正交基下稀疏，但稀疏度未知的含有谐波和间谐波的电力信号，SAMP算法可以从50个采样值精确重构长度N=1 000的信号。

图4 SAMP算法的重构结果Fig.4 Reconstruction result of SAMP algorithm

4 结束语

压缩感知作为一种全新的信号获取方法，目前的研究主要包括压缩采样测量矩阵的构造及其硬件实现、重构算法的设计两大方面。本文对压缩感知理论应用于电力信号压缩采样与重构的可行性进行了研究，针对一维信号的压缩感知重构问题，对典型的基于线性规划的l1范数优化重构算法IRLS、需要稀疏度估计的 OMP和 SP、具有稀疏度自适应的SAMP四种算法的重构性能进行了对比分析，并对一维稀疏信号和变换基下稀疏的电力信号进行了大量重构实验，理论分析和实验结果表明，如果选择合适的稀疏变换，在稀疏度未知的情况下，SAMP算法可以用更少的采样测量值和较少的时间实现对含有谐波和间谐波电力信号的高概率精确重构。但压缩采样的硬件实现还不够成熟，尚处于起步阶段，仍需作深入研究。