高速铁路CA砂浆层-轨道板系统高频振动分析

李亚光，钟庭生，圣小珍

（西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，成都 610031）

高速铁路CA砂浆层-轨道板系统高频振动分析

李亚光，钟庭生，圣小珍

（西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，成都 610031）

高速铁路CA砂浆层-轨道板系统高频振动分析是高速铁路轮轨噪声研究的重要组成部分，其分析频率高达数千赫兹。以往对其的研究大多为静力学分析，而少量的动力学分析所涉及的频率都比较低。对高频振动问题，如果直接使用有限元商业软件，不但有计算效率不高的问题，而且不方便开发独立的轮轨噪声预测模型。以CA砂浆层和轨道板全为实体单元的有限元模型分析结果为基准，对比几种相对简单的有限元模型的分析结果以及采用模态叠加法的分析结果。对比分析表明，在所关心的频率范围0～2 000 Hz内,简化的薄板-弹簧阻尼器有限元模型和模态叠加法均能给出足够精确的结果。

振动与波；轨道板；有限元分析；模态叠加法；高频振动；CA砂浆层

由于具有平顺性高、刚度均匀性好、维修工作量少等优点，无砟预制轨道板轨道结构在我国高速铁路中得到了广泛应用。但是，研究表明，在相同条件下，高速列车运行在轨道板轨道结构上所产生的轮轨噪声比运行在普通有砟轨道上要高得多[1]。因此，降低轨道板轨道结构所产生的振动噪声是一个重要研究课题。位于水泥乳化沥青砂浆（文中简称为CA砂浆）上的混凝土轨道板（文中简称为轨道板）是高速铁路轨道结构的重要组成部分，在高速铁路轮轨噪声研究中，必须对其高频振动进行有效分析。

由于轨道板的重要性以及其在我国的迅速推广，国内对轨道板的研究在近几年中受到了相当的重视。刘成轩和翟婉明应用有限元方法对轨道板的静力强度问题进行了初步的探讨[2]。在他们的工作中，他们采用实体单元对轨道板和砂浆进行离散。赵坪锐等在研究无砟轨道各结构层的荷载弯矩时，对钢轨采用梁单元，对轨道板采用实体单元，对CA砂浆层则是采用薄板单元，建立了轨道结构的弹性地基梁板力学模型，并通过试验验证了梁板模型在静力分析中的合理性与有效性[3]。陈希成应用有限元法对轨道板进行了进一步的分析，在其有关动力学的分析中，采用梁单元对轨道板进行模拟，因此是一个2D模型[4]。陈鹏采用不同单元建立了无砟轨道结构的三种静力有限元分析模型，即叠合梁模型、梁板模型及梁体模型，通过对比分析与比选，提出了各种模型的差别及使用条件[5]。该文同时建立动力有限元分析模型，通过施加轨道不平顺，对轨道板的位移与加速度进行了分析。在该动力有限元分析模型中，轨道板与CA砂浆均采用实体单元模拟，因此计算量大，运行时间长。杨云安等采用弹性杆单元模拟弹性地基，研究了弹性地基板的受力，进行了混凝土构件抗弯强度、抗剪强度计算及限裂性验算[6]。在其模型中，采用均布单一刚度参数的杆单元模拟弹性地基，不能准确反映弹性地基板有限元模型中不同位置节点受力不同的情况，对分析结果有一定影响。圣小珍等采用模态叠加法研究了轨道板的动柔度[7]。

从上面的分析可以看出，到目前为止，对轨道板的研究主要以静力学问题为主。在较少的动力学分析中，仿真计算结果也大多只关注轨道板的安全性和稳定性，因此涉及的频率比较低。且对轨道板的研究主要采用有限元方法。基于有限元模型和模态叠加法解析解模型对轨道板高频振动的研究比较少。

轨道板的高频振动分析是轮轨噪声与振动研究的一部分，有必要快速高效求解轨道板的高频振动问题。在有限元方法中，如果轨道板及其弹性支承层（如CA砂浆）采用实体单元模拟，需要划分较多的单元，特别是进行高频动力学分析时，需要划分更多的单元，造成运行时间长，生成文件特大，甚至在运行中出现异常终止。因而有必要建立一种简化的便于进行高频动力学分析的轨道板及其弹性支承层的有限元模型。模态叠加法是更加高效的方法。由于弹性支承四边自由薄板的模态与受迫振动目前均无精确解析解，从而发展出多种求解近似解的方法。常见的传统模态叠加法所得结果与轨道板有限元解在高频段吻合度较差。为此，需要改进模态叠加法计算过程，使其在高频范围内也能与有限元方法所得结果比较吻合，从而可用于轨道板高频振动的分析。

为探究在高频动力学分析中轨道板有限元模型简化的合理性，本文首先建立作为对比基础的实体单元有限元模型，并依次对轨道板及CA砂浆的建模进行简化。最终建立了简化的高效薄板-弹簧阻尼器有限元模型。采用双向梁函数组合级数逼近方法，通过位移变分原理来调整不同阶次梁函数的组合，得到轨道板（四边自由矩形薄板）的振型函数。然后采用模态叠加法得到轨道板的谐响应。经有限元法验证，该模态叠加法可以用于轨道板高频振动分析。

1 有限元法

板式轨道结构的组成如图1所示，它主要由钢轨、扣件系统、垫板、轨道板、CA砂浆、混凝土底座、凸形挡台及其周围填充树脂等组成。CA砂浆为位于混凝土底座板及轨道板之间的填充层，主要支承轨道板及列车重量，提供一定的弹韧性来起到减振作用。

图1 板式轨道结构总体图[2]

轨道板振动中只有垂向是重要的[7]。本文主要研究内容是计算无砟轨道板在垂向简谐力作用下，轨道板的垂向位移响应，研究频率达2 000 Hz。在建立及简化轨道板有限元模型过程中，以采用实体单元模拟CA砂浆上轨道板结构的有限元模型为参考对比基础，分别采用薄板单元模拟轨道板、弹簧-阻尼器模拟CA砂浆来简化有限元模型，通过对比不同有限元模型中轨道板垂向振动谐响应来探索简化后有限元模型的合理性与有效性，以达到简化轨道板有限元模型、提高运算效率的目的，并为进一步与轨道板的垂向振动模态叠加法解析解模型对比做准备。

1.1 实体单元有限元模型

根据轨道板的设计资料，文中的轨道板简化为长为6.45 m、宽为2.55 m、厚为0.2 m的矩形板，CA砂浆层厚度取为0.05 m。为探究动力学问题中CA砂浆上轨道板有限元模型简化的可行性，首先采用实体单元对CA砂浆及轨道板进行模拟，建立实体单元有限元模型。在实体单元有限元模型中，采用8节点实体单元（Solid185）来构造属于三维固体结构的CA砂浆及轨道板。在划分网格设定时，长度方向划分129个单元，宽度方向划分51个单元，轨道板厚度方向划分3个单元，CA砂浆厚度方向划分3个单元，轨道板及CA砂浆层均分为19 737个单元。采用该设定是为了使实际中的每一个扣件位置都接近网格中的一个节点位置，且经过计算，认为这种网格密度满足轨道板2 000 Hz内谐响应分析的要求。本文主要研究轨道板受到来自扣件位置处的力作用时，轨道板扣件位置处的垂向振动响应。考虑到每一个扣件位置都接近网格中的一个节点位置，故激励作用点及响应点都近似认为在相应节点上，如图2所示，详细坐标如表1所示。因为一个轨道板中有10对扣件，故有20个对应节点。

图2 激励及响应点位置示意图

根据CA砂浆的特性，CA砂浆的泊松比取为0。在有限元方法中，当采用完全法分析谐响应时，需要指定CA砂浆的阻尼系数，当采用有限元法中的模态叠加法时，需要指定系统的阻尼比。通过两种方法的计算分析，系统阻尼比取0.023 87。轨道板及CA砂浆参数如表2所示。

在轨道板动力学特性分析中，在每一对扣件位置处施加激励力（分别为0.5 N），在这样的对称荷载作用下，板的振动也是对称的，因此每对扣件位置的响应是相同的。对每个施力位置分别施加激励力又得到轨道板10处的垂向振动位移响应，由于篇幅所限，仅对比在第一对扣件位置处施加激励力时，激励位置处轨道板的垂向振动位移响应。

1.2 薄板-实体单元有限元模型

为探究轨道板有限元模型简化的合理性，首先将轨道板由实体单元简化为由板单元模拟。为了便于进一步与模态叠加法解析解模型作对比，CA砂浆的密度采用1 300 kg/m3与1 kg/m3两种。在该简化的有限元模型中，采用4节点板单元（Shell63）模拟轨道板，仍采用实体单元（Solid185）模拟CA砂浆。在划分网格设定时，长度方向划分129个单元，宽度方向划分51个单元，CA砂浆厚度方向划分3个单元，其余条件与实体单元有限元模型相同。在第一对扣件位置处施加垂向激励力，经仿真计算，得到轨道板激励点处响应。

分别采用实体单元模拟轨道板与采用薄板单元模拟轨道板，CA砂浆均用表观密度为1 300 kg/m3的实体单元模拟，两种模型在第一对扣件位置处激励，激励点处轨道板垂向振动响应结果的对比见图3。采用薄板单元可以较好反映板的弯曲变化，但是某些沿厚度方向的特征如沿厚度方向的刚度被忽略。所以，在低频段采用薄板单元所得结果略小于采用实体单元所得的结果。在整个频段内，两种方法所得曲线比较吻合，故将轨道板简化为薄板单元是可行的。

表1 激励及响应点位置

表2 轨道板及CA砂浆参数[7–8]

图3 激励点处轨道板垂向位移响应

均采用薄板单元模拟轨道板，采用实体单元模拟CA砂浆，CA砂浆的表观密度分别为1 300 kg/m3与1 kg/m3的两种模型在相同激励点处垂向振动响应见图4。

图4 激励点处轨道板垂向位移响应

可以看出，在整个频段内，两者比较吻合，故CA砂浆的质量是可以忽略的。

1.3 薄板-弹簧阻尼器有限元模型

为进一步探索轨道板有限元模型中CA砂浆模型简化的有效性，采用薄板单元模拟轨道板，采用弹簧-阻尼器模拟CA砂浆。在设定网格划分时，同样在长度方向划分129个单元，宽度方向划分51个单元。轨道板共分为6 579个单元、6 760个节点。在轨道板节点处添加弹簧-阻尼器。传统的弹性地基板的有限元模型中，往往根据弹性地基参数，不加区分地在板下采用相同参数均布弹簧单元或杆单元来实现对弹性地基的模拟，这种模型会使最终结果产生比较大的误差。本文将轨道板的6 760个节点根据位置不同分成三类，添加三种不同参数的弹簧-阻尼器。根据CA砂浆参数、有限元模型中板单元的大小及节点位置，确定弹簧-阻尼器单元的刚度与阻尼参数，确保与未简化模型在单位面积上有一致的支撑刚度与阻尼。第一类节点为轨道板四角处四个节点，连接的弹簧-阻尼器刚度为K1，阻尼为C1；第二类节点为轨道板四边除第一类节点外的节点，连接的弹簧-阻尼器刚度为K2，阻尼为C2；第三类节点为轨道板上除前两类节点外其余节点，连接的弹簧-阻尼器刚度为K3，阻尼为C3。K1=K0，K2=2K0，K3=4K0，C1=C0，C2=2C0，C3=4C0，则三种弹簧-阻尼器的参数如表3所示。

表3 弹簧-阻尼器参数

在仿真计算中，仅考虑垂向荷载作用下，轨道板垂向振动位移响应，所以有限元模型中板单元上所有节点的横向和纵向位移均被约束。轨道板及CA砂浆有限元模型如图5所示。

图5 轨道板及CA砂浆有限元模型网络图

仿真计算结果如下：

轨道板均采用薄板单元模拟，CA砂浆分别采用忽略密度的实体单元和弹簧-阻尼器模拟的两种模型，相同激励点处轨道板垂向振动响应见图6。可以看出，在整个频段内，两种方法所得曲线非常吻合。所以采用弹簧阻尼器模拟CA砂浆是合理的。采用均布单一参数弹簧阻尼器模型与采用三种参数弹簧阻尼器模型的对比见图7。通过对比图6与图7可以看出，必须采用根据不同位置布置不同参数弹簧-阻尼器的方法，否则误差比较大，尤其在第一个共振频率处。图8为采用薄板-弹簧阻尼器有限元模型时，分别使用完全法与模态叠加法计算谐响应结果。在2 000 Hz内，两者比较吻合。

2 模态叠加法

2.1 基于两端自由欧拉梁振型函数的模态叠加法

将轨道板简化为弹性地基上四边自由的矩形薄板，轨道板的振动微分方程为

图6 激励点处轨道板垂向位移响应

图7 激励点处轨道板垂向位移响应

图8 激励点处轨道板垂向位移响应

根据模态叠加法原理，式（1）的解可表示为

采用模态叠加法，并充分利用梁振型函数的正交性可得到在点(xe,ye) 处的垂向简谐激励作用下点(xr,yr)处的频响函数为

Mmn为广义质量，ωmn为弹性地基上轨道板的第阶固有频率，其值可在求解的过程中求得。

如果考虑阻尼的存在，则需要假设模态与考虑的阻尼正交，这里我们采用黏滞阻尼模型，阻尼比为ζ，并且忽略由于阻尼导致的模态的耦合，则得到在点处的垂向简谐激励作用下点处的频响函数为

2.2 有限元法与模态叠加法结果对比

按表2所列各参数，分别利用有限元法（轨道板薄板-弹簧阻尼器有限元模型）与模态叠加法计算在轨道板第一对扣件位置处各施加0.5 N的简谐激励时，轨道板第一对扣件位置处垂向位移响应对比图见图9，第十对扣件位置处的垂向位移响应的对比图见图10。

图9 第一对扣件位置处轨道板垂向位移响应

图10 第十对扣件位置处轨道板垂向位移响应

从图中可以得到，在2 000 Hz以内，激励点处的两曲线非常吻合。随着离激励点距离的增加，两种方法所得曲线吻合度有所下降，但两种结果仍非常接近。

由于模态叠加法解析解模型更容易被扩展及进一步的应用，且与在ANSYS中建立的有限元模型得到的结果在2 000 Hz范围内有较高的吻合度，可以认为，该模态叠加法可以应用于进一步的轮轨噪声与振动的研究中。

3 轨道板谐响应分析

利用上面所建立的模型，对轨道板激励力作用在不同扣件位置时的情况进行谐响应分析，以揭示轨道板在0～2 000 Hz频段内的垂向动力特性。当激励作用在第一对扣件位置处时，不同位置处轨道板垂向位移响应如图11所示。

图11 不同位置处轨道板垂向位移响应

由图11可以看出，当激励作用在第一对扣件位置处时，在0～500 Hz频段内，仅激励处及其附近有较明显的振动，且振动随着与激励处距离的增加迅速衰减。在0～2 000 Hz整个频段内，轨道板各扣件位置处的振动响应曲线大多表现为存在两处较明显的峰值，且峰值出现的频率较为接近，分别在581 Hz～607 Hz和874 Hz～949 Hz频段内。

图12中两曲线分别为当激励作用在第一对扣件位置处时，各扣件位置处两峰值频率所对应的轨道板垂向位移响应。

图12 不同位置处峰值频率对应垂向位移响应

可以看出，在激励位置处及其附近轨道板在第一个峰值（581 Hz）处具有较大的垂向位移。在距离激励位置两个扣件间隔外，轨道板在两峰值所对应频率处的垂向振动位移响应变得十分接近,且大部分情况下第一峰值处响应略小于第二个峰值处响应。在距离激励位置两个扣件间隔距离内，轨道板振动响应衰减较快。在距离激励位置两个扣件间隔距离外，两曲线较平缓，轨道板振动响应衰减较慢。

图13为激励作用在不同扣件位置处时，激励点处轨道板垂向位移响应。可以看出，对于每种激励位置，激励点处响应曲线在579 Hz～581 Hz的频率范围内都会出现第一个显著的峰值，轨道板模态参数如表4所示。对比图13与表4可以看出，在579 Hz～581 Hz的频率范围内，轨道板的响应主要表现为刚体运动，该频段内轨道板的模态较为密集。

图13 激励作用在不同位置处时激励点处轨道板垂向位移响应

表4 轨道板模态参数

4 结语

本文以CA砂浆层和轨道板全为实体单元的有限元分析结果为基准，对比了几种相对简单的有限元模型的分析结果，以及采用基于两端自由欧拉梁振型的模态叠加法的分析结果。对比分析结果表明，建立的薄板-弹簧阻尼器有限元模型是合理的。在所关心的频率范围内（0～2 000 Hz），基于两端自由欧拉梁振型的模态叠加法能给出足够精确的结果，因此可应用于轨道板高频振动与轮轨噪声问题的研究。

初步探索了高速铁路轨道板在0～2 000 Hz频段内的谐响应特性。激励点位于第一对扣件位置处时，各扣件位置处轨道板在581 Hz～607 Hz和874 Hz～949 Hz的频段内出现显著的谐响应峰值。激励作用在不同扣件位置处时，在579 Hz～581 Hz的频率范围内，各激励点处轨道板的响应主要表现为刚体运动。

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Analysis of High Frequency Vibration of CAMortar Layer-slab Systems of High-speed Railways

LI Ya-guang,ZHONG Ting-sheng,SHENG Xiao-zhen
（State Key Laboratory of Traction Power,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China)

High frequency vibration analysis of concrete-asphalt(CA)mortar layer and track slab system is an important part of the study on wheel/rail noise of high speed railways,and the analysis frequency needs to be as high as thousands Hertz.Previous researches are mostly concentrated on static analysis,and the rare dynamic analysis is concentrated on relatively low frequency range.For high frequency vibration problems,the computation efficiency would be quite low if one used the commercial finite element software directly.On the other hand,it is not conducive to develop the wheel/rail noise prediction model independently if the commercial software is used.In this study,the output of the solid finite element model of the CA mortar layer and track-slab is analyzed;the results of several simplified finite element models and the results of the mode superposition method are compared.The comparative analysis shows that both the thinshell and spring-damper finite element model and the modal superposition method can give sufficiently accurate results in the interested frequency range of 0-2 000 Hz.

vibration and wave;track slab;finite element analysis;method of modal superposition;high frequency vibration;CAmortar layer

TB53；U213.2

A

10.3969/j.issn.1006-1355.2017.06.031

1006-1355(2017)06-0151-07

2017-08-01

国家重点研发计划战略性国际科技创新合作重点专项资助项目(2016YFE0205200)；中国铁路总公司科技研究开发计划资助项目(20152003-8)

李亚光（1991-），男，河南省商丘市人，硕士研究生，目前从事高速列车振动与噪声研究。E-mail:guxianglu@163.com

圣小珍，男，教授，博士生导师。E-mail:shengxiaozhen@hotmail.com