运用要素分解法学习数学概念

张娟萍

【摘要】通过要素分析促进学生明晰概念本质、厘清知识点性质，使概念结构化；进一步分解问题要素，从而寻找解决问题的路径；并且根据概念的基本要素编制数学问题。

【关键词】要素分解法；数学概念；概念学习

【中图分类号】G612 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）14-0180-01

一个概念、一个知识点或者一个数学问题是一个完整的结构，它由幾个基本要素构成，在学习时，把这些基本的要素分解出来，本书称之为要素分解法， 通过要素分解，学生理解该知识点涉及哪些因素及其之间的关系，有利于促进数学概念本质的把握、促进知识的结构化、促进问题解决的路径探究。概念的结构和系统化、知识点的性质探索、问题解决路径及建模、综合问题的求解都是从要素的角度进行分析，抓住了要素就相当于牵牛抓住了牛鼻子。每个数学概念、定理、公式、数学问题的得出和解决，都是在见树木更见森林、见森林至见树木的状况。通过要素分析促进知识学习，明晰概念本质、促进概念结构化；厘清知识点性质；进一步分解问题要素，从而寻找解决问题的路径；根据知识要素可以编制数学问题。

一、要素分解法探究概念本质

概念是反映事物本质属性的思维形式。人类在认识过程中，把所感知的事物的共同本质特点抽象出来加以概括，形成概念。“概念”是对特征组合而形成的知识单元。

（一）要素分解明晰概念本质

概念也是命题的基本元素，数学中的命题是“判断一件事情”的语句，由“条件”和“结论”这些要素组成，数学中的定义、公理、公式、性质、法则、定理都是数学命题。反映的是“条件”和“结论”各个要素之间的关系。

表达概念的语言形式是反映这些要素的词或词组。如数轴是规定了原点、单位长度、正方向的直线。原点、单位长度、正方向、直线是数轴概念的四个要素；商不变性质的要素：同时、同乘或除、相同的非零数或式。函数概念要素：两个变量、一个随另一个确定而确定。

概念教学的时候就是要学生厘清概念的这些基本要素。例如“三角形的概念”的教学片段中，探究什么是三角形，学生根据其默会知识首先反应是：三个角。老师在黑板上画三个角。学生发现要“连”起来。但是角是无法连接的——连的是线，老师在连线时让端点落在第一条线段上或者线段外，结果学生发现不对，要落在第一条线的端点上。于是总结出三角形概念的三个要素：三条线段、顺次、首尾连接。师、生在不断质疑、比照中澄清概念所涵盖的要素本质。再比如“一元二次方程”这个概念，先让学生根据生活情境中的事例列出若干方程，将学生列出的一元二次方程，板书在一块。让学生观察这些方程，并进行分类，说出分类的依据和其特点：①它是整式；②它只含有一个未知数；③化简后，未知数的最高次数是2。再让学生观察，比较两类方程，说出它之间的区别；④都是等式。就这样，学生通过生活实际问题和操作，用自己的语言概括了一元二次方程的四个要素，形成和建构概念。

概念具有判定特征。判断一个数学概念、解决一个数学问题，最终回归到概念的本质要素。比如，作三角形的高（很多学生对于钝角顶点作的高会有困难），首先找到点（三角形的一个顶点），再找到这个顶点所对的直线（三角形这个顶点所对的边），根据直线外点作直线的垂线这个基本作图模型，由这个点向这个边所在直线做垂线。再比如要判断一个代数式是不是函数，根据函数概念的两个要素：两个变量x、y，一个变量y随另一个变量x确定而确定。

（二）要素分解促进概念结构化

任一数学概念都由若干要素所构成的节点，而这些构成某个概念的要素中的一部分又可以用于构成其他概念或者与其它数学概念中的一些要素产生联系，从而使数学概念之间产生联系。概念联系不仅仅包括不同概念之间的联系，而且还包括同一概念自身的联系，在数学上表现为同一概念的内部逻辑结构、同一概念和各种等价表示之间的联系以及与具体模型相联系的外部表示之间的抽象。启发学生发现学习内容要素之间联系，使现学概念与已学概念之间构建联系，深入新概念本质，同时形成知识结构。知识结构化是指根据知识要素之间的关联性和共同特征，把所学知识形成知识组块，进而形成良好的知识结构的过程。知识结构，是各知识点要素之间相互关联和同一个要素相互重叠、交叉或补充形成的。将这些知识要素进行分析、归纳，按其内在联系，分门别类，纳入相应的“知识库”中，使之结构化、系统化，形成网络。

美国心理学家布鲁纳认为，记忆保持的重要问题不是贮存而是“如何把用到的知识易于提取”，“易于提取”的关键又在于“对知识的组织”。他认为“学到的知识越是基本，几乎归结为定义，则它对新问题的适用性就越宽广”。因此掌握知识的人要善于把所掌握的知识结构化处理，到需要时能随意提取。在知识的应用、解决问题的过程中，是整个知识结构在起作用。例如，特殊四边形边角的要素特征：边相等、边平行；角相等、角90°，不同组合得到不同的特殊四边形，从而形成特殊四边形的相互关系。

二、要素分解探索数学概念的性质

比如，圆心角定理：在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弧、弦心距、弦切角等要素中，有一个量与同圆或等圆中对应的量相等，可以得到另外的对应的要素都相等。

已知，如图1，∠AOB=∠A'O'B'，那么∠ACB=A'C'B'；OE=O'E'；AB=A'B'；弧AB=弧A'B'；∠COB=C'O'B'

比如，垂径定理：过圆心、垂直于弦、平分弦，平分弦所对的弧，这四个要素中任意2个作为条件就可以得到剩下的要素成立。这样可以得到6个命题，同时可以根据：半径、半弦、圆心角、弦心距的相关量（如图2）。

再比如，四边形的要素有：边、角、对角线。边有数量关系（相等）和位置关系（平行）；角有相等和互补两种关系；对角线有平分、相等和垂直等特征，把特征元素进行混搭。可以得到很多组合。如下表得到判断特殊四边形的成百上千种方法：

例如，表中平行四边形10个要素，一个四边形具备两个特征条件判断平行四边形，则可以得到平行四边形的判定方法（命题）10×9种，排除条件的顺序应该有45种；同理，平行四边形再加一个矩形的特征条件（2个），判断矩形命题有45×5种；判断菱形（菱形有三个特征条件）的方法90×5种；判断正方形的方法90×5×5。所有命题都可以通过证明和举反例来確定它是否为真命题，例如“一组对边平行另一组对边相等可能得到等腰梯形而不一定是平行四边形”。

根据要素分解法，对于特殊四边形的认识就完全突破了教材关于特殊四边形判定和性质的局限了。

中位线相关概念的几个要素：一边上的中点、另一边上的中点、中位线、平行于第三边、等于第三边的一半。比如，△ABC中，D是中点①；E是中点②；DE是中位线③；DE//BC④；DE=BC⑤。

五个要素中，任意两个组合①②、①（②）③、①（②）④、①（②）⑤、③④、③⑤、④⑤，可以得到10个命题，其中，可判定①（②）④不能成立。

就像细胞是构成生物体的基本单位一样，零件组成了机器，这些基本的要素组成了数学知识和结构。

三、要素分解应用概念

在解决问题时，首先是分解相关概念的要素，尤其是复杂问题。比如，解关于x的方程，|x-1|+|x-3|=a，这是对于初一的学生来说是一个相当复杂的问题，很多学生无从下手。可以启发学生，由|x-1|联想考虑绝对值概念的要素，有三个方面。

①②。|a|=±a③。在数轴上表示，x到1的距离与x到3的距离之和。

于是可以得到三种解法：

解法一，根据x<1，13去掉绝对值，解方程。

解法二，根据②，去掉绝值得到+、—的4个方程。

解法三，根据数轴上到两点1和3的距离之和必大于或等于2，得到a大于或等于2，a等于2时得到1≤x≤3；当a大于2时分别求得2个点的值。

再如，根据中位线的要素，可以涉及到解决一下问题：多中点问题、求平行位置关系问题、倍半关系问题等。

（1）多中点问题；求平行、求线段长问题

如图3所示.△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H.①求证：GH∥BC；②若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH.

（2）已知或求证倍半关系问题

①已知：如图4，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于，AF为∠BAC的平分线，交BD于E，BC于F.求证：OE=FC.

②已知：如图5，D为△ABC的AB边上的中点，E为AC上一点，AE=2CE，BE和CD交于O。试说明：OE=BE

四、根据概念要素编制数学问题

比如，根据前面关于四边形的要素以及它与其他知识的要素结合，可以编出不计其数的数学问题。

例，编一个平行四边形判定的问题，由对边平行且相等得到，对边平行通过内错角得到，而对边相等可以用全等得，于是设计两个有一条边在一直线上且有公共部分的两个全等三角形三角形。

题目表示为：_________；如希望这个四边形是矩形，还需要什么条件？如果是正方形呢？要求学生画出图形。

“画出图形（图6）”需要学生正真理解问题的本质，并把理论条件（添加一个直角、添加邻边相等）转化为实际问题分析和操作，图的画法需要高度综合分析和反馈评价并做出调整的要求。

本题编题进一步开放，由学生画两个全等三角形△ABC与△DEF怎么放置，一般有两种放置平移或对称，平移放置后问题就直接得到了；对称放置得到，发现整个图本身是一个对称图，再要想得到平行四边形（或者思考内错角），考虑再对称，两次轴对称就成了一次中心对称，得到图形。在整个构图的过程中，学生自己的尝试条件的构造，一些直觉操作方式其实隐含着数学规律本身在起着的作用，沿途有很多相关的知识内容参与。

再例如，要编一个判断矩形的问题，用平行四边形加一个直角判断，平行四边形可以由两组对边分别平行得到。其中一组对边平行由“角平分线+等腰三角形”这一基本图形得到；另一组对边平行和直角，由“垂直于平行线的两直线”得到，如图7，编题如下，已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）添加什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？

在分析、架构问题结构的基础上，根据所需要涉及的知识点要素，编制数学问题。让学生体验由知识点到数学问题本质过程，这也有利于学生正确看待和对待“解题”。

参考文献

[1]高闯，李雪欣.中国MBA教育的国际化和本土化——基于要素分析法的视角[J].学位与研究生教育，2009（11）：54-58.