基于患者选择行为的医疗服务市场动态决策*

张银良，李 桐

（天津大学管理与经济学部，天津300072）

基于患者选择行为的医疗服务市场动态决策*

张银良，李 桐

（天津大学管理与经济学部，天津300072）

医疗体制改革是各国政府近年来相继提出的战略任务。相比其它市场化程度很高的经济系统，医疗系统往往因其公益性难以进行模型化研究。通过霍特林模型刻画公立和私立医院并存的医疗服务市场，建立以极大化病人效用和公立医院收益总和为目标函数的动态决策模型。通过庞特里亚金极大值原理给出公立医院决策看病数量，并分析公立医院决策看病数量、平均等待时间和瞬时目标函数随时间的变化趋势。站在病人角度分析对等待时间敏感程度、对距离成本敏感程度以及对价格成本敏感程度对其就医选择的影响。最后，结合数值模拟验证了模型有效性，并分别针对政府、医院和病人提出合理化建议。

医疗服务；医疗体制改革；医疗运作管理；患者选择行为；动态决策模型；极大值原理

随着人们生活水平的提高，医疗改革问题受到众多学者和医疗界的广泛关注。特别是全球人口结构老龄化加剧，使得各国卫生部门都把医疗改革作为重中之重。在西方全民医疗覆盖的体系下，公立医院等待时间过长以及医疗财政负担加重是各个西方国家都亟待解决的问题。本文以公立医院和私立医院共存的医疗市场为研究对象，建立了医院针对选择性医疗服务的动态决策模型，并通过模型分析和求解，为公立医院减少等待时间、提高运营效率、增加病人福利提供决策依据。

医疗领域运作管理作为一个新兴研究热点，近年来受到越来越多国内外学者的关注［1］。Khudyakov［2］等对医疗系统的研究作了综述，并总结出其模拟方法。Hua［3］等研究了一个双轨制医疗服务系统的协调问题，主要研究政府如何协调各方实现最大收益。Siciliani［4］等衡量了经济合作与发展组织成员国的病人等待时间，并在各国之间作了比较。Dimakou［5］等用实证的方法探究了病人等待时间的分布及如何减少等待时间。Lautier［6］研究了医疗服务国际化的趋势以及本地特色的影响。Chen［7］等利用加拿大关节置换手术的数据验证了将私立医院引入医疗市场会降低病人平均等待时间的结论。国内研究方面，吴朝晖［8］等提出了自然科学与社会科学交叉视角下的服务科学研究与发展，其中医疗运作管理是重要研究内容。陈希［9］等考虑到医疗需求随时间动态变化而具有不确定性的特征，提出了一种医疗中心动态选址方法。朱悦［10］等从医疗运营的角度出发构建了包含手术间准备时间和医疗团队间准备时间的排程模型。韩斌斌则对我国营利性医院竞争效果进行了实证研究［11］。

上述文献虽然都从不同角度研究了医疗运作方面的问题，但是鲜有文献利用动态理论方法研究医疗方面的管理问题。基于此，本文利用霍特林模型刻画了一个公立和私立医院并存的医疗服务市场，并建立了公立医院动态决策模型，通过庞特里亚金极大值原理求解出公立医院决策看病数量，并分析平均等待时间和瞬时目标函数随时间的变化趋势。本文的模型虽然建立在西方医疗制度背景下，主要考虑公立医院提供免费医疗，但是对我国医疗系统同样具有借鉴意义（如我国香港特别行政区的“双轨制”医疗制度）。

一、模型建立

1．病人效用模型

本文考虑一个选择性医疗服务市场，其中包含一个公立医院和一个私立医院。选择性医疗是指病情不具有紧急性，病人有充足的时间选择去哪个医院接受治疗，如膝关节置换手术、白内障手术等。在西方病人可以到公立医院接受免费治疗，但需要接受较长的等待时间；而在私立医院就诊不需要等待，但需支付相应的治疗费用。本文采用霍特林模型来刻画此医疗服务市场，即病人均匀分布在0～1的线段上，公立医院和私立医院分别位于左右两个端点，病人通过权衡去两个医院看病的效用大小来决定去哪个医院接受治疗。病人去医院就诊的效用表示为

式中：V为病人接受治疗得到的效用，假设V是一个足够大的数，以保证病人去看病的效用均大于零，即没有病人会选择放弃治疗［12］；W为病人在公立医院的等待时间；l、lh分别为病人和医院所处的位置；p为私立医院治疗的价格，由于本文站在公立医院的角度建立模型，故将p当作外生的；α、β、γ均为正的系数，分别表示单位等待成本、单位距离成本和单位价格成本。

由此，病人去公立医院和私立医院看病的效用可以分别表示为 U1＝V－αW－βl，U2＝V－β（1－l）－γp，联立可得病人去两类医院看病效用无差异的位置点，即

假设市场上病人的总量为Λ，则去公立医院就诊的病人数量为

由上述分析可以通过积分得到选择去公立医院就诊的病人的总效用，即

2．医院的目标函数

公立医院作为一个非盈利组织，不同于私立医院以利润最大化为主要目标，其目标是为病人提供优质的医疗服务。但是近年来，由于医疗需求日益增加以及公立医院运营效率低下，病人的等待时间越来越长。在加入经济合作与发展组织的大部分国家中，选择性医疗服务的平均等待时间为3个月，有些病的等待时间甚至超过了1年。综合考虑，假设医院以在公立医院就诊病人的总效用和其自身收益总和的最大化为目标，这既符合公立医院的公益性质，又能激励其提高运营效率，降低冗长的等待时间。医院的收益为

式中：r为医院每治疗一个病人政府给予的补贴；c为医院治疗一个病人的成本；D（r－c）为经济上的收益；n为公立医院提供的服务数量；假设τn－为非经济效用，当治疗病人数量较少时医院获得一个正效用，当治疗病人数量较多时医院获得一个负效用的负效用是为了激励医院提高运营效率，降低病人的等待时间。

3．公立医院动态决策模型

之前大多数文章研究的都是静态环境下医院的最优决策，即医院决策在单位时间内服务的病人数量n固定不变。但现实生活中，需要治疗的病人数量D，医院提供的服务的数量n以及相应的等待时间W、等待队长x都是随时间t变化的。在每个时间段t内，如果新到来的病人数量超过医院能够服务的病人的数量，那么等待队长x（t）随之增加，即˙x＝D（t）－n（t）。由此本文建立的动态模型为

式中：e－δt为折现因子，其中 δ为一个正的标量；T为时间范围，表示时间有限；W为病人的等待时间其中K是专家所估计的未来潜在的医疗服务供应数量，是一个常数［13］。

二、模型求解

本文利用庞特里亚金极大值原理求解模型［14］，哈密尔顿函数为

极大化哈密尔顿函数，令

则协态方程为

状态方程为

联立式（9）、（10）可得

令

矩阵A的特征值、特征向量和逆矩阵为

令

将初始状态x（0）＝x0和λ（T）＝0代入方程组，即

求出k1和k2并代回方程组得

由此可得

三、数值算例及结果分析

首先讨论决策变量 n（t）、状态变量 x（t）、公立医院病人需求量D（t）以及公立医院瞬时利润SW随时间变化的趋势并分析原因，然后讨论政府对公立医院的补贴r、私立医院看病价格p以及参数α、β、γ对模型目标函数J的影响。其中α可以描述病人对看病等待时间的敏感程度，β可看作病人对距离成本的敏感程度，γ为病人在私立医院看病的价格系数。

各参数的基准值为V＝6，Λ＝1，α＝0．8，β＝5，γ＝0．5，p＝2，θ＝1，η＝2，δ＝1，K＝1，r＝3，c＝1，x0＝0，T＝30，τ＝1。以上参数的设置考虑到市场情况和管理意义，同时也满足决策的非负性以及其他约束条件。

1．各指标随时间的变化趋势

基于模型最优解及上述参数设定，绘制各指标的趋势图，如图1所示。

由图1可以看出，当t较小时（t＜5），随着时间的增加医院所决策的病人数量随之增加，此过程为医院逐渐达到自身接纳率的过程。此时，公立医院有充足的资源治疗新进入的病人。然而随着时间的推移，当t适中时（5≤t＜25），就诊病人数量x（t）基本保持不变，此时医院的资源利用率趋于饱和，接纳更多的病人并不会增大医院的目标函数值。最后，当 t较大时（25≤t＜30），公立医院会逐渐降低治疗病人的数量来保证目标函数值最大。总之，公立医院可以通过调整所接纳的病人数量，保持病人效用和自身利益的最大化。

图2为公立医院排队长度（状态方程）随时间变化的情况。

图1 公立医院所决策的病人数量随时间t的变化趋势

图2 排队长度随时间t的变化趋势

由于假设病人的等待时间W（t）＝xt／K，而K为常数，故图2的变化趋势也可理解为病人平均等待时间的变化趋势。从图2可以看出，当t较小时（t＜5），由于病人数量逐渐增加，平均等待时间也随之增加。当t适中时（5≤t＜25），病人的平均等待时间也保持不变。值得注意的是，当t较大时（25≤t＜30），尽管医院接纳的病人数量减少，但是病人的平均等待时间并没有相应减少；相反，在临近周期结束时病人的平均等待时间急剧上升。这是由于尽管公立医院决策的病人数量减少了，但是依然有大量病人涌入公立医院，导致其平均等待时间并没有因为医院决策的病人数量降低而减少。

图3为公立医院病人需求量随时间t的变化趋势。

由图3可以看出，在初始状态综合权衡公立和私立医院看病的效用后，接近六成的病人选择去公立医院接受治疗。随着公立医院逐渐趋于饱和，在稳定状态下选择公立医院看病的病人也超过四成。这表明，随着公立医院平均等待时间变长，更多的人考虑去私立医院接受便捷的收费治疗。在临近周期结束时，由于平均等待时间的急剧上升，选择去私立医院看病的病人逐渐超过七成。由此能够看出随着时间推移公立和私立医院市场占有率的变化趋势，可以为政策制定者和医院管理者决策提供直接依据。

图3 公立医院病人需求量随时间t的变化趋势

图4为公立医院瞬时目标函数SW随时间t的变化趋势。

图4 公立医院瞬时目标函数SW随时间t的变化趋势

图4中，曲线与坐标轴围成的面积即为医院的目标函数值。从图中可以看出，医院的瞬时目标函数同样为先下降，然后趋于平稳，在临近周期结束时又急速下降，其原因在于受病人平均等待时间的影响病人效用降低，从而进一步降低了公立医院总的目标函数值。综合可以看出，医院的总目标是随着时间逐渐降低的，这也符合公立医院公益性的性质，同时凸显出病人平均等待时间过长是医疗系统急需解决的一个问题。

2．主要参数对公立医院目标函数的影响

下文分析两个外生参数p、r和模型系数α、β、γ对公立医院的目标函数J的影响（见图5）。

由图5可以看出，私立医院看病价格p和政府对公立医院的补贴r对公立医院目标函数值的影响均为先增后减，但两者对病人行为选择的影响截然相反。当价格较低时，相比于公立医院较长的等待时间，病人更愿意选择去私立医院看病。此时，公立医院的等待时间会大幅降低，继而公立医院目标函数值会随着p的增加而增加。当价格超过一定的临界值时，去私立医院接受治疗的价格成本比较高，更多的人会选择排队时间比较长的公立医院，进而使得公立医院整体的目标函数值随价格p的增加而减少。对于政府对公立医院的补贴r，只有当r大于一个临界值时，公立医院目标函数值才会大于零。此临界值也可称为政府对公立医院的最低补贴值，是政府制定补贴政策的有力参考依据。随着r的增加，公立医院有能力接纳更多的病人，病人也可以不必去私立医院接受非免费治疗。当r超过临界值后，随着政府对公立医院补贴的增加，公立医院目标函数值反而降低。这表明并不是政府对公立医院补贴越多所带来的社会效益越大，相反，当补贴过高时公立医院目标函数值会逐渐降低。该研究对政府机构如何合理利用财政补贴提供了参考依据。总之，私立医院看病价格p和公立医院政府补贴r是两类医院竞争的工具，可以参照其对社会总福利的影响作出符合自身利益最大化要求的决策。

图5 公立医院目标函数值J随私立医院看病价格p和政府对公立医院补贴r的变化趋势

上文分析了公立医院目标函数值随p和r的变化并分析了其内在缘由，主要是有关医院决策或政府决策的影响。接下来分析与病人效用有关的参数对公立医院目标函数值的影响，即病人对等待时间的敏感系数α、对距离成本的敏感程度β和对去私立医院看病所花费用的系数γ对目标函数J的影响（见图6）。

从图6中可以看出，3个参数对公立医院目标函数值的影响均为先增后减：

第一，参数α既可以理解为病人对等待时间的敏感系数，也可看作病人的病情严重程度。当α比较大时，病人的病情相对紧急，在公立医院等待时间过长会给病人带来较大的负效用，此类病人可以选择去私立医院接受更便捷的医疗服务。此时，公立医院的排队时间也会大幅下降，故随着α的逐渐增大，整个公立医院的目标函数值增加。当α超过一定值时，病人因病情严重其效用总和下降趋势更加明显，导致整个医院的目标函数值呈下降趋势。

图6 公立医院目标函数值J随α、β、γ的变化趋势

第二，病人的距离成本较小时（3＜β＜4），病人依然可以灵活地选择去公立医院或者私立医院接受治疗，故随着β增加原本拥挤在公立医院等候看病的病人开始考虑去私立医院接受治疗。两类医院病人的合理分配使得公立医院排队时间减少，进而整个公立医院目标函数值变大。当β较大时（β≥4），过高的距离成本使得病人只能就近选择医院接受治疗，最终公立和私立两类医院接纳的病人各占一半，原本可以在公立医院接受免费治疗的病人不得不支付费用在私立医院接受治疗，而病情紧急或者经济相对宽裕希望在私立医院接受便捷治疗的病人只能在公立医院排队看病。可见，病人流动性的降低使得公立医院目标函数值越来越低。

第三，参数γ为病人去私立医院看病的价格系数。当γ较小时，随着γ变大，尽管在私立医院看病的成本增加，忍受不了公立医院过长等待时间的病人依然可以选择到私立医院接受治疗，从而公立医院也会因病人数量下降使排队时间减少，进而整个公立医院目标函数值会上升。然而，当γ超过一定值时，去私立医院看病对绝大多数病人来说变得越来越昂贵，最终会有更多的病人拥挤在公立医院，使得目标函数值逐渐下降。

以上站在病人的角度分别分析了3个系数对模型目标函数的影响，可以为病人的就医选择提供参考。

四、结论及政策建议

本文利用霍特林模型刻画了一个公立和私立医院并存的医疗服务市场，其创新点在于建立了公立医院的动态决策模型，通过庞特里亚金极大值原理求解出公立医院的最优诊疗数量，并先后分析了公立医院治疗病人数量、平均等待时间和瞬时目标函数随时间的变化趋势。基于研究结果，医院可以实时调整自己的决策并观察自身目标函数值的变化，而病人也可以提前观察到公立医院的平均等待时间从而结合自身情况作出选择。此外，本文还分析了私立医院的价格、政府对公立医院的补贴以及与病人有关的参数变化对模型目标函数值的影响。据此，对政府制定政策、医院作出决策和病人行为选择给出四点建议：

第一，政府应适度鼓励私立医院发展，帮助缓解公立医院看病难问题。从图3可以看到，私立医院在分担公立医院患者过多的压力中起到了积极作用。另外，图5也表明，适当增加私立医院的价格反而会增大公立医院目标函数值。所以，政府应适度鼓励私立医院发展，这对整个医疗系统的优化有着积极影响。2017年5月23日，《国务院办公厅关于支持社会力量提供多层次多样化医疗服务的意见》发布，鼓励和引导社会资本发展医疗卫生事业，积极促进非公立医疗卫生机构发展，形成投资主体多元化、投资方式多样化的办医体制。这正符合本文的研究结论，希望相关政府机构能够继续坚持鼓励、引导民营医院发展［15］。

第二，合理控制政府对公立医院的补贴。有研究表明，众多国家的医疗财政补贴连年增加，取得的效果却不明显，公立医院等待时间过长成为亟待解决的问题［16］。本研究表明，政府对公立医院的补贴有一个最低值，只有超过这个值医院才能正常运营下去，但这并不表示补贴越多带来的社会效益越大。政府既要保证对公立医院补贴充足，又要考虑合理分配补贴，降低财政负担。

第三，医院要结合自身情况作出最优决策。具体来说，公立医院要实时调整服务病人数量，既保证较多的人能够在公立医院接受免费治疗，又要避免人满为患，造成病情延误。而对私立医院来讲，尽管盈利是医院的主要目标，但也不能忘记救死扶伤的天职。私立医院通过制定适宜的治病价格，既能引导更多病情紧急的病人接受便捷的医疗服务，又能通过量的提升增加收益。

第四，病人要结合自身情况作出最优的选择。正如本文在模型分析中提到的，病人病情的严重程度（或者称可忍受的等待时间）、对距离成本的敏感程度以及对价格成本的敏感程度都会影响病人的选择。

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［16］Viberg N，Forsberg B C，Borow itz M，et al．International comparisons of waiting times in health care：lim itations and prospects［J］．Health Policy，2013，112（1／2）：53－61．

Dynam ic decision-making ofmarket ofmedical service based on choice behavior of patients

ZHANG Yin-liang，LITong
（College of Management and Econom ics，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

Medical system reform has been a strategic task proposed by the governments ofmany countries in recent years．Compared w ith other highly market-oriented economic systems，medical system is often difficult to study by modeling because of its characteristics of public welfare．Hotelling model is applied to describe themarket ofmedical services in which public and private hospitals coexisted，and dynamicmodel of decision-making is established w ith maximum utility effect of patient and total income of public hospital as its objective function．The decision-making of amount of medical treatment in public hospital is given through themaximum principle of Pontryagin，and the changing trends of decision-making of amount of medical treatment，average waiting time and instantaneous objective function in public hospitals over time are analyzed．From the perspective of patients，the influences on theirmedical choice are analyzed of the sensitivities on waiting time，distance cost and price cost．Finally，the effectiveness of model is validated w ith numerical simulation．Rational suggestions are proposed for the government，hospitals and patients respectively．

medical service；medical system reform；medical operation management；patient behavior of choice；dynamic decision-making model；maximum principle

F 014．36

A

1674－0823（2017）06－0535－07

10．7688／j．issn．1674－0823．2017．06．10

2017－07－31

国家自然科学基金青年项目（71301114）。

张银良（1990－），男，河南安阳人，硕士生，主要从事医疗运作管理、医院竞争等方面的研究。

* 本文已于2017－11－20 11∶23在中国知网优先数字出版。网络出版地址：http：∥www．cnki．net／kcms／detail／21．1558．C．20171120．1123．028．htm l

（责任编辑：郭晓亮）