基于水平位移反演法的桩锚支护结构桩身弯矩计算方法的研究

张 敏 艾纯斌 郭海庆

(1. 广东海洋大学 寸金学院， 广东 湛江 524094；2. 上海市政工程设计研究总院(集团)有限公司，上海 200092；3. 河海大学 岩土工程科学研究所, 南京 210098)

基于水平位移反演法的桩锚支护结构桩身弯矩计算方法的研究

张 敏1艾纯斌2郭海庆3

(1. 广东海洋大学 寸金学院， 广东 湛江 524094；2. 上海市政工程设计研究总院(集团)有限公司，上海 200092；3. 河海大学 岩土工程科学研究所, 南京 210098)

本文以深圳市宝安区某深基坑工程为依托，利用桩锚结构外侧深层土体水平位移的监测数据对支护桩弯矩进行反演研究．在传统的三点定圆法、最小二乘法、自然样条法反算弯矩的基础上提出了改进的最小二乘法和改进的自然样条法，并利用两种方法反演支护桩弯矩，最后将反演弯矩与支护桩实测弯矩进行对比，对比结果表明了两种改进方法的合理性以及精度问题．弯矩反演成功地解决了实际基坑监测中弯矩监测费用大、测点易破坏的难题，产生了较大的经济效益和社会效益．

桩锚结构； 基坑监测； 弯矩反演； 改进的最小二乘法； 改进的自然样条法

对于深基坑工程，为了确保基坑施工期间的安全性，必须对基坑支护结构的变形和内力进行监测，但实际监测中，位移监测数据较内力监测数据如弯矩易获得，这是因为弯矩是间接值，不能直接进行量测．实际监测中弯矩是通过钢筋应力计推算得到的，但由于钢筋应力计难布设、易破坏、费用高且难以准确量测支护结构的应力应变值，故一般基坑监测中不予设置钢筋应力计，个别特别重大的深基坑工程也只会在部分断面上的几个截面布设钢筋应力计，这样推算出来的弯矩值只能反映部分断面不能反映整个支护结构的弯矩变化．针对以上矛盾，若实际工程中能通过测斜仪监测到的测斜数据反分析支护结构的弯矩值，不仅可以动态掌控基坑动态施工过程中的安全性且可以节省一笔监测费用．故如何从测斜数据反推算出支护结构的弯矩值是本文研究的核心问题[1]．

支护桩在基坑开挖过程中竖向一般只受重力作用，因此可看做纯弯构件梁，由材料力学[2]可知纯弯构件梁的弯矩计算关系式可由如下公式计算：

由上式可知从基坑支护桩测斜数据反算弯矩的两个关键问题就是支护桩的变形曲率和抗弯刚度[3]．本文结合深圳市宝安区某深基坑桩锚支护结构的监测数据进行弯矩反演研究．

1 基坑工程实例

1.1 工程概况

该基坑场地呈近似矩形，长边约340 m，短边约140 m，场地西侧13 m处有一7层建筑，东侧距道路最近约30 m，南侧为待建场地．基坑西侧支护采用D800灌注桩+D600高压止水桩，桩间施加两层锚索，桩锚支护结构剖面如图1所示．

图1 桩锚支护侧剖面图

1.2 深层土体水平位移监测结果

在本基坑工程西部支护桩外侧土体共埋设了3个测斜管，编号为I1～I3，以监测桩体不同深度位置的水平位移情况．本文选取靠近灌注桩ZK22的测斜管I3为分析点，取该监测孔数据绘制桩体水平位移随时间及深度的变化过程曲线，如图2所示．

图2 I3水平位移～时间过程曲线

2 支护桩弯矩反演

本文假设支护桩受力过程中抗弯刚度为常数，则由式(1)可知影响支护桩弯矩大小的根本因素为变形曲率．本文着重研究如何根据测斜曲线来估算支护桩的变形曲率，变形曲率的计算看似简单，但却集结了数学与力学等知识，需要严谨对待．由数学知识可知，曲线中任意一点的变形曲率计算公式为：

式中，w为为位移曲线；z为支护桩的深度．

由于dw/dz非常接近于0，因此上式可简化为：

结合式(1)可知：

由式(3)可知对支护桩的位移曲线进行拟合进而求导即可近似得到支护桩的变形曲率，最终得到支护桩的弯矩值．

2.1 改进的最小二乘法估算曲率

从最小二乘法的拟合原理可看出，传统的最小二乘法存在两个比较大的局限性：一是随着试验点数量的增加，系数矩阵的病态程度加剧，导致计算的结果不理想甚至失效；二是差值δi取的是绝对误差，在大多数情况下，绝对误差的大小不能准确反映曲线拟合精度．

针对以上局限性，本文将差值δi取为相对误差，即改进的最小二乘法的最佳拟合为：

基于弹性地基梁理论的假设，若把支护桩当成弹性地基上的纵深梁，则按照弹性地基梁模型，支护桩的变形曲线应满足以下关系式：

式中，p(x)为被动侧荷载分布，q(x)为主动侧荷载分布．

改进最小二乘法在利用上式拟合支护桩位移曲线时将两侧荷载简化为统一的关系式[4]．其拟合的难点是多项式因次的确定，由以往研究可知土压力分布可采用二次函数，因此改进最小二乘法对测斜曲线拟合多项式的次数至少为6．为确定最佳拟合因次，本文对I3测点各工况的位移曲线分别进行因次为6、7、8的拟合．

根据拟合得到的位移曲线进行二次求导即可得到支护桩的变形曲率，各因次各关键工况下求解得到的变形曲率如图3所示．

图3 各工况变形曲率曲线图

从上图可看出不同因次拟合曲线求解得到的变形曲率在桩身中间部位吻合度较好，但在两端处相差较大，尤其7、8因次拟合的变形曲率在两端处较大，导致支护桩两端处的弯矩计算较不准确，这是因为在进行改进的最小二乘法拟合位移曲线时，无法给出较符合实际情况的支护桩边界约束条件，且改进最小二乘法的误差还来源于对支护桩两侧分布荷载作了简化，采用了统一的表达式表达荷载分布，而实际上支护桩两侧的荷载分布是分段的．结合上图并由毛朝辉[5]采用不同因次的多项式对多种位移曲线进行拟合分析得出，采用6因次对位移曲线进行拟合较为合理，较为接近基坑实际施工过程中支护桩弯矩的变化情况．因此本文拟采用6因次拟合曲线求解的曲率作为支护桩的估算曲率．

2.2 改进的自然样条法估算曲率

传统自然样条法拟合位移曲线的力学原理是将分布荷载等效为集中荷载，而最小二乘法的力学原理是将荷载进行简化，显然荷载等效的精度高于荷载简化的精度，因此在力学原理上自然样条插值优于改进最小二乘法．但由拟合经验可知，自然样条法拟合得到的变形曲率存在着明显得振荡现象，与实际的变形曲率不符，因此需要将已经满足力学原理的自然样条函数进行光顺处理．本文提出采用改进的能量法对自然样条进行光顺处理，得到改进的自然样条法．

改进的自然样条法需用到二阶光顺样条滤波泛函的两个性能指标：

光滑性指标：

逼近性指标：

为使函数曲线在逼近性和光滑性间达到平衡，在两者间引入权因子ρ，变成求解泛函：

极小值求解问题．其中权因子ρi>0，且是事先给定的常数，体现了拟合曲线光滑性和逼近性之间的权重分配关系，通过不断调整ρi的大小可达到最佳的拟合结果．为求解上式泛函的极小值问题需要用到以下两个定理：

定理2泛函J(f)取得极小值的充要条件为：

其中Di=f‴(ti+)-f‴(ti-)，f‴(ti+)、f‴(ti-)分别表示f″(ti)的左右三阶导数．

由泛函J(f)取极小值的充要条件可得：

由上式看出，对于样条曲线的光顺，最重要的是权因子ρi的选择，通过反复调试ρi的大小，可以使曲线整体的光滑性和逼近性上取得最佳平衡．

给定测量误差限δi，则改进后的光顺函数y(x)应满足一定的误差限度，由式(11)可得：

本文利用Matlab对改进的自然样条法进行编程，为了获得最佳的拟合效果，本文对权因子ρi和误差限δi进行了3组取值组合的曲率拟合，各工况下的拟合结果如图4～6所示．

由图4、5、6对比可知，自然样条法经过改进优化后，曲率曲线比直接采用自然样条法得到的曲率曲线更稳定，不存在曲率过分振荡的现象，比自然样条法更适用于求解支护桩变形曲率．同时通过权因子和误差限不同取值组合情况下的变形曲率图看出，随着权因子ρi和误差限δi的逐渐增大，各曲率曲线在变形趋势上是一致的，但曲线的变化幅度明显逐渐减小，最后趋近于直线化，因此改进自然样条法最佳拟合结果需反复调整权因子和误差限确定．

图4 取值组合1变形曲率曲线图

图5 取值组合2变形曲率曲线图

图6 取值组合3变形曲率曲线图

2.3 改进自然样条法与改进最小二乘法精度比较

反复调整权因子ρi和误差限δi后可知，当权因子ρi取6误差限δi取1 mm时计算得到的变形曲率既不存在较大振荡也不会出现直线化，较接近支护桩的变形曲率．同时由2.1节分析可知，改进最小二乘法中6因次拟合同样较适用于求解变形曲率，究竟何种方法的拟合精度更高，改进的自然样条法与最小二乘法计算得到的曲率对比结果如图7所示．

图7 变形曲率曲线对比图

从图7可看出改进的自然样条法和改进的最小二乘法求解的变形曲率在变化趋势上具有一定的一致性，但改进的最小二乘法求解的变形曲率略小于改进的自然样条法，且改进自然样条法拟合的力学原理优于改进最小二乘法，因此改进自然样条法的拟合精度优于改进的最小二乘法，最终本文采用改进自然样条法的拟合结果作为该支护桩的反算曲率．

3 反演弯矩与实测弯矩的对比

本基坑监测中在支护桩某些截面上安装了应力计，通过应力计的读数推算出桩身截面的实测弯矩值．与此同时假设支护桩在受力过程中截面抗弯刚度为恒量并结合改进自然样条法拟合的变形曲率结果，即可得到支护桩的反演弯矩[6]，现将反演弯矩值和实测弯矩值进行对比，对比结果如图8所示．

图8 弯矩对比图

从图8可总结出以下结论：

1)实测弯矩与反演弯矩在变化趋势上存在一致性，说明反演弯矩的合理性[7]．同时各工况下支护桩的反演弯矩大于实测弯矩，偏于保守安全．

2)支护桩的反演弯矩与实测弯矩值在两道锚杆设置点处均存在着反弯点，符合桩锚支护结构受力理论．

3)随着开挖深度的增加，反演与实测弯矩吻合度提高，这是因为随着开挖深度的增加，测斜相对误差不断减小，测斜曲线拟合的变形曲率准确度提高，反演弯矩也就更加接近于实测弯矩．

4 结 论

本文依托某地下室深基坑工程，重点研究了桩锚结构中支护桩的水平位移与弯矩之间的内在联系，得到了以下有用的结论[8-9]：

1)采用改进的自然样条法得到的支护桩弯矩与实测弯矩在变化规律上存在着一致性；

2)反演弯矩大于实测弯矩，偏于安全，可用于实际工程中估算支护桩的抗弯能力发挥情况，避免不必要的弯矩监测费用．

[1] 张冬青．基坑排桩支护水平位移反演结构内力和土压力的方法研究[D]．成都：西南交通大学，2014．

[2] 刘杰明等，材料力学[M]．北京：中国电力出版社，2015．

[3] 温兆东．基坑支护桩受力的水平位移反演计算方法[J]．地下空间与工程学报，2011(1)：133-138．

[4] 马 超．排桩支护结构桩侧土压力分布研究[D]．西安：西安建筑科技大学，2006．

[5] 毛朝辉．基于监测数据的围护墙弯矩反分析及安全评估研究[D]．上海：同济大学，2006．

[6] 葛俊杰，黄广龙，陈 静．预应力矩形支护桩弯矩反算方法[J]．工业建筑，2013(S1)：483-487．

[7] 陈泽昌．成都地铁2号线站东广场站基坑监测及位移反分析[D]．成都：西南交通大学，2011．

[8] 温兆东．基坑支护桩受力的水平位移反演计算方法[J]．地下空间与工程学报，2011(1)：133-138．

[9] 杨 潇，刘国彬，宋浩然．基于测斜数据弯矩反分析的地下连续墙安全评估[J]．施工技术，2016(19)：52-56(65)．

StudyofCalculationMethodofBendingMomentsofPileBodyofPile-anchorSupportStructureBasedonHorizontalDisplacementInverseCalculationMethod

Zhang Min1Ai Chunbin2Guo Haiqing3

(1. Department of Engineering Technology, Cunjin College, Guangdong Ocean Univ., Zhanjiang 524094, China; 2. Shanghai Municipal Engneering Design Institute(Group) Co. Ltd., Shanghai 200092, China; 3. Geotechnical Research Institute, Hohai Univ., Nanjing 210098, China)

Based on a deep foundation pit project in Baoan District of Shenzhen City, the bending moments of pile are inversely calculated by using the monitoring data of horizontal displacement of lateral deep soil of pile-anchor structure. At the same time, on the basis of the traditional three point fixed circle method, least square method and natural spline method, the improved least square method and the improved natural spline method are proposed; and then the two methods are used to inversely calculate the moments of the retaining piles. Finally, the inversely calculated bending moments and the measured moments of piles are compared. The results show that the two methods are reasonable and accurate. The inverse calculation of bending moments successfully solves the problem of much expenses and easy destruction of measuring points in actual foundation pit monitoring and produces greater economic and social benefits.

structure of pile-anchor； foundation monitoring； inverse calculation of bending moments； improved least square method； improved natural spline method

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.05.014

2017-05-10

国家自然科学基金项目资助(21372329)

张 敏(1990-)，女，硕士，助教，主要研究复杂岩土体在应力、渗流、以及多场耦合作用下的变形与稳定，岩土体的变形监测与数值计算．E-mail：1182519156@qq.com

TU473

A

1672-948X(2017)05-0069-05

[责任编辑周文凯]