S-度量空间中二次方型压缩映象的公共不动点定理

张倩雯，谷 峰

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

S-度量空间中二次方型压缩映象的公共不动点定理

张倩雯，谷 峰

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

本文在完备的S-度量空间中引入了一类二次方型压缩映象，讨论了这类压缩映象公共不动点的存在性和唯一性问题，得到了几个新的公共不动点定理. 改进和推广了某些已知结果.

完备S-度量空间；公共不动点；二次方型压缩映象

1 引言和预备知识

2006年，Mustafa和Sims[1]引入了广义度量空间的概念，简称G-度量空间.2007年，Sedghi,Rao和Shobe[2]引入了D*-度量空间的概念，并给出了D*-度量空间一些基本性质.最近Sedghi,Shobe和Aliouche[3]推广了G-度量空间和D*-度量空间的概念，提出了S-度量空间的概念.随后，Afra[4-5],Raj和Hooda[6]，Sedghi和Dung[7],Hieu,Ly和Dung[8]建立了S-度量空间中的一些不动点定理.

本文是上述工作的继续，我们在S-度量空间中引入了一类二次方型的压缩映象，证明了这类映象的两个新的公共不动点定理. 我们的结果本质地改进和推广了前述文献中的某些相关结果. 事实上，由于每个G-度量一定是D*-度量，每个D*-度量也一定是S-度量，但反之不真. 因此本文结果比G-度量空间和D*-度量空间中的结果更具有广泛性和适用性，有更高的应用价值.

为后面研究的需要，首先给出一些基本概念和已知结论.

定义1[1]设X是一个非空集，G:X×X×X→R+是一个满足下面条件的三元函数：

(G1)G(x,y,z)=0⟺x=y=z；(G2)G(x,x,y)gt;0,∀x,y∈X,x≠y；(G3)G(x,x,y)G(x,y,z),∀x,y,z∈X,z≠y；(G4)G(x,y,z)=G(x,z,y)=G(y,z,x)=…(对称性)；(G5)G(x,y,z)G(x,a,a)+G(a,y,z),∀x,y,z,a∈X(矩形不等式).则函数G称为X上的广义度量，或者称之为X上的一个G-度量，称(X,G)为广义度量空间或简称为G-度量空间.

定义2[2]设X是一个非空集，D*:X×X×X→R+是一个满足下面条件的三元函数：

1)D*(x,y,z)=0⟺x=y=z；2)D*(x,y,z)=D*(p{x,y,z}),∀x,y,z∈X(对称性)，其中p{x,y,z}是置换函数；3)D*(x,y,z)D*(x,y,a)+D*(a,z,z),∀x,y,z,a∈X.则函数D*称为X上的一个D*-度量，称(X,D*)为D*-度量空间.

定义3[3]设X是一非空集合，S:X×X×X→R+是一个三元函数，且对任意的x,y,z,a∈X，满足以下条件:(S1)S(x,y,z)=0⟺x=y=z；(S2)S(x,y,z)S(x,x,a)+S(y,y,a)+S(z,z,a).

则称函数S是X上的一个S-度量，这时称(X,S)是一个S-度量空间.

例1[3]S-度量空间的几个例子:

1)设X=n，‖·‖是X上的范数，则S(x,y,z)=‖y+z-2x‖+‖y-z‖是X上的一个S-度量.

2)设X=n，‖·‖是X上的范数，则S(x,y,z)=‖x-z‖+‖y-z‖是X上的一个S-度量.

3)设X是一非空集，d是X上的一个通常的度量，则S(x,y,z)=d(x,z)+d(y,z)是X上的一个S-度量.

注1每个G-度量一定是D*-度量，每个D*-度量也一定是S-度量，反之不真，反例可见文献[1]和[3].

引理1[3]设(X,S)是一S-度量空间，那么对任意的x,y∈X，有S(x,x,y)=S(y,y,x).

引理2[4，6]设(X,S)是一S-度量空间，那么对任意的x,y,z∈X，有

S(x,x,z)2S(x,x,y)+S(y,y,z),S(x,x,z)2S(x,x,y)+S(z,z,y).

定义6[3]称S-度量空间(X,S)为S-完备的，若对于(X,S)中每个Cauchy列在S中都是S-收敛的.

定义7设(X,S)与(X′,S′)为S-度量空间，称f:X→X′在点x∈X处是S-连续的，当且仅当f在x处是S-序列连续的.即若{xn}S-收敛到x，则{f(xn)}S-收敛到f(x).

2 主要结果

定理1设(X,S)为一完备的S-度量空间，T,G:X→X是X上的两个自映象，且存在常数h∈(0,1),满足条件:

S2(Tx,Tx,Gy)hS(Tx,Tx,x)S(Gy,Gy,y)， ∀x,y∈X.

(1)

则映象T,G有唯一公共不动点u，且T和G在点u处是S-连续的.

证明证明过程分两步来完成.

Ⅰ)证明T的不动点也是G的不动点.事实上，设p∈X，使得Tp=p，由条件(1)，可得

S2(Tp,Tp,Gp)hS(Tp,Tp,p)S(Gp,Gp,p)=hS(p,p,p)S(Gp,Gp,p)=0.

即S2(Tp,Tp,Gp)=0，因此就有Gp=Tp=p. 于是p也是G的一个不动点.

同理可证G的不动点也是T的不动点.

Ⅱ)证明T和G有唯一公共不动点.

∀x0∈X,定义序列{xn}为x2n+1=Tx2n，x2n+2=Gx2n+1，n=0,1,2,…. 若对某个n=2m有xn=xn+1，则p=x2m是T的一个不动点，且由第1步可得p是T和G的一个公共不动点.同理可证当n=2m+1时，p=x2m+1是T和G的一个公共不动点.不失一般性，可假设对任给的n≥0，xn≠xn+1.

下面证明{xn}是X中的S-Cauchy序列. 事实上，由式(1)和引理1，可得

S2(x2n+1,x2n+1,x2n+2)=S2(Tx2n,Tx2n,Gx2n+1)hS(Tx2n,Tx2n,x2n)S(Gx2n+1,Gx2n+1,x2n+1)=

hS(x2n+1,x2n+1,x2n)S(x2n+2,x2n+2,x2n+1)=hS(x2n,x2n,x2n+1)S(x2n+1,x2n+1,x2n+2).

因此

S(x2n+1,x2n+1,x2n+2)hS(x2n,x2n,x2n+1).

(2)

另一方面，再用由式(1)和引理1，可得

S2(x2n+2,x2n+2,x2n+3)=S2(Gx2n+1,Gx2n+1,Tx2n+2)=S2(Tx2n+2,Tx2n+2,Gx2n+1)

hS(Tx2n+2,Tx2n+2,x2n+2)S(Gx2n+1,Gx2n+1,x2n+1)=hS(x2n+3,x2n+3,x2n+2)S(x2n+2,x2n+2,x2n+1)=

hS(x2n+2,x2n+2,x2n+3)S(x2n+1,x2n+1,x2n+2).

因此

S(x2n+2,x2n+2,x2n+3)hS(x2n+1,x2n+1,x2n+2).

(3)

综合式(2)和(3)可得，对任意的n∈Ν，有

S(xn,xn,xn+1)hS(xn-1,xn-1,xn).

(4)

从而

S(xn,xn,xn+1)hS(xn-1,xn-1,xn)…hnS(x0,x0,x1).

(5)

根据引理2和式(5)，对任意的n,m∈Ν，mgt;n，有

因此S(xn,xn,xm)→0(n,m→)，故{xn}是X中的S-Cauchy序列. 由于X是S-完备的，于是存在u∈X，使得序列{xn}S-收敛到u.

下证u是T和G的一个公共不动点. 事实上, 由式(1)可得

在上式中令n→，根据引理3得S2(Tu,Tu,u)hS(Tu,Tu,u)S(u,u,u)=0.

即S2(Tu,Tu,u)=0, 进而S(Tu,Tu,u)=0，于是Tu=u，即u是T的一个不动点.

在上式中令n→，根据引理3得S2(u,u,Gu)hS(u,u,u)S(Gu,Gu,u)=0.

故S2(u,u,Gu)=0，即Gu=u. 从而可得u=Tu=Gu,即u是T和G的一个公共不动点.

设v是T和G的另一个公共不动点，即v=Tv=Gv， 则由式(1)可得

S2(u,u,v)=S2(Tu,Tu,Gv)hS(Tu,Tu,u)S(Gv,Gv,v)=hS(u,u,u)S(v,v,v)=0.

从而有S2(u,u,v)=0，故u=v，因此u是T和G的唯一公共不动点.

下证T在u处是S-连续的. 令{yn}是X中任意S-收敛到u的序列.对任给的n∈N,由式(1)可得

S2(Tyn,Tyn,u)=S2(Tyn,Tyn,Gu)hS(Tyn,Tyn,yn)S(Gu,Gu,u)=hS(Tyn,Tyn,yn)S(u,u,u)=0.

同理可证G在u处也是S-连续的.

定理2设(X,S)为一完备的S-度量空间，设两个自映象T,G:X→X满足条件:

S2(Tpx,Tpx,Gsy)hS(Tpx,Tpx,x)S(Gsy,Gsy,y),∀x,y∈X.

(6)

其中p,s∈Ν,h∈(0,1),则T,G有唯一公共的不动点u，且Tp,Gs在点u处是S-连续的.

证明由定理1可得Tp，Gs有唯一公共不动点u，即Tpu=u，Gsu=u，且Tp,Gs在u处是S-连续的.由于TpTu=Tp+1u=TTpu=Tu，则Tu也是Tp的一个不动点，同理由Gu=GGsu=Gs+1u=GsGu可得Gu也是Gs的一个不动点.由式(6)可得

S2(Tu,Tu,GsTu)=S2(TpTu,TpTu,GsTu)hS(TpTu,TpTu,Tu)S(GsTu,GsTu,Tu)hS(Tu,Tu,Tu)S(GsTu,GsTu,Tu)=0.

于是可得S2(Tu,Tu,GsTu)=0.于是Tu=GsTu，即Tu是Tp和Gs的公共不动点. 因为Tp和Gs的公共不动点是唯一的，则可得Tu=u.同理可得Gu=u.则有u=Tu=Gu.

设v是T和G另外一个公共不动点，则v=Tpv=Gsv，再次利用式(6)可得

S2(u,u,v)=S2(Tpu,Tpu,Gsv)hS(Tpu,Tpu,u)S(Gsv,Gsv,v)hS(u,u,u)S(v,v,v)=0.

进而可得S2(u,u,v)=0，即u=v.所以T,G的公共不动点是唯一的.

推论1设(X,S)为一完备的S-度量空间，设映象T:X→X满足条件:

S2(Tx,Tx,Ty)hS(Tx,Tx,x)S(Ty,Ty,y), ∀x,y∈X.

其中h∈(0,1),则T,G有唯一不动点u，且T在u处是S-连续的.

证明在定理1中令T=G，则得该推论.

推论2令(X,S)为一完备的S-度量空间，设映象T:X→X满足条件:

S2(Tpx,Tpx,Tsy)hS(Tpx,Tpx,x)S(Tsy,Tsy,y),∀x,y∈X.

其中p,s∈Ν,h∈(0,1)，则T有唯一不动点u，且Tp在u处是S-连续的.

证明在定理2中令T=G，则推论2的结论成立.

注2在定理2和推论2中取p=s，对应结果也是新的，此处略去.

[1] MUSTAFA Z, SIMS B. A new approach to generalized metric spaces[J]. J Nonlinear Convex Anal, 2006, 7(2): 289-297.

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[5] AFRA J M. Double contraction in S-metric spaces[J]. Int J Math Anal, 2015, 9 (3): 117-125.

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[7] SEDGHI S, DUNG N V. Fixed point theorems S-metric spaces[J]. Matematiqki Vesnik, 2014, 66(1) : 113-124.

[8] HIEU N T, THANH L N T, DUNG N V. A generalization of iri quasi-contractions for maps on S-metric spaces[J]. Thai J Math, 2015, 13(2): 369-380.

CommonFixedPointTheoremsforaClassofSecondPowerTypeContractiveMappinginS-metricSpaces

ZHANG Qianwen, GU Feng

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

In the framework of a complete S-metric space, a new class of secondpower typecontractive mapping is introduced, the existence and uniqueness of the common fixed point for this type of contractive mapping are discussed, and some new common fixed point theorems are obtained. The results extend and improve some well-known comparable results in the existing literatures.

complete S-metric spaces; common fixed point; second power type contractive mapping

2016-12-22

国家自然科学基金项目(11071169)；浙江省自然科学基金项目(Y6110287).

谷峰(1960 —)，男,教授,主要从事非线性分析及应用研究. E-mail：gufeng99@sohu.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.05.014

O177.91MSC201047H10, 54H25

A

1674-232X(2017)05-0527-04