关于q-差分方程形式解的两个重要定理

刘富裕，王学芳， 曹 健

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

关于q-差分方程形式解的两个重要定理

刘富裕，王学芳， 曹 健

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

文章得到了两个关于q-差分方程形式解的定理，它很好的把差分方程与q-算子Dxy及θxy联系起来.利用此定理，可以优化一些经典公式、定理的证明.文章的第三、四部分将会有详细说明.

q-指数算子；q-差分方程; 差分方程；Euler公式；Rogers-Szegö多项式；q-Mehler公式

0 引言

众所周知，q-算子对应的差分方程，以及它形式解的应用，是当今计算数学研究的重要课题之一.Dq，θq算子对应的差分方程形式解以及它们推广的研究，已经相当成熟了.

2009年Lu[1]和Liu[2]分别把T(a,bDq),TbDq算子与q-差分方程巧妙的结合，并利用这种关系给出了许多推广和应用.2014年Cao[3]把差分方程的形式解，由原来含有3个参数的f(a,b,c)推广到5个参数f(a,b,c,d,e).

另外，自2003年Chen，Fu，Zhang[4]定义算子Dxy以来，众多学者深入研究了Dxy算子问题，也获得许多有意义的结果.其中，Saad，Sukhi[5]在Chen，Fu，Zhang[4]的基础上得到

并且给出了θxy算子的定义

进而得到

然而，对于作用于两个参数的Dxy,θxy算子与差分方程的结合，却一直鲜有研究.这导致它们的拓展与推广很受限制.鉴于此，本文受Liu[2]启发，将q-算子Dxy,θxy与差分方程巧妙结合，并给出了应用和推广.

(Ⅰ)f(x,y,z)是一个含3个参数的函数，且f(x,y,z)=(0,0,0)∈C.若f(x,y,z)满足差分方程

(x-q-1y)f(x,y,z)-z[f(x,yq-1,z)-f(xq,y,z)]+(yq-1-x)f(x,y,zq)=0.

那么有：

(Ⅱ)f(x,y,z)是含有3个参数的函数，并且(x,y,z)∈3,满足差分方程：

(q-1x-y)[f(x,y,z)-f(x,y,zq)]=z[f(q-1x,y,z)-f(x,yq,z)].

那么有：

第三、四部分论述了它们的对经典公式的拓展与推广.

1 预备知识

该文中，设0lt;qlt;1,对文所用的符号和术语作出如下规定[6]：

定义1对于任意的a,q∈C，定义q-升阶乘为：

定义2对于任意的a,q∈C,定义q-升阶乘为：

定义3对于任意的n,k∈N，定义q-二项式系数为：

定义4基本超几何级数r+1φr和左右对称的基本差几何级数：

由上面的定义，很容易得到下列关系式：

(a;q)n=(a;q)∞/(aqn;q)∞.

定义5对任意的函数f(x)，q-微分算子定义为：

定义6(q-Leibniz法则) 设n≥0,则下列式子成立[7]：

式(7)的证明可参阅S. Roman[8]，Chen-Liu[9]，式(8)的证明可参阅Al-Salam-Verma[10]S. Roman[8].

定义7对任意的函数f(x，y)，q-微分算子定义为[4-5]：

两者有以下关系：

定义8对齐次q-算子Dxy,θxy算子有以下定义[4-5]：

2 关于q-差分方程形式解的两个重要定理

定理1f(x,y,z)是含有3个参数的函数，并且(x,y,z)∈C3,满足差分方程：

那么有：

定理2f(x,y,z)是含有3个参数的函数，并且(x,y,z)∈3,满足差分方程：

那么有：

证明首先证明定理1， 可以设函数为:

经过变形以及f(x,y,z)的代入，可得：

对比当等式两边bn的系数(n≥1)，可得：

通过迭代，可得：

通过计算可以得出A0(x,y).在等式(19)中令z=0，可以直接推出A0(x,y)=f(x,y,0),所以有：

即定理1得证.

同理，定理2也得证. 证毕.

3 Euler算子公式的证明

定理3对于算子Dxy和θxy，有以下重要定理[5，11]：

证明首先证明定理(24)

可设：

经验证满足差分方程(15)：

即为定理1.

于是得出等式：

因此定理(24)得证.

同理，可以验证：

满足差分方程(17)：

也即为定理2.

所以:

于是定理(25)得证. 证毕.

4 含三个变量的Rogers-Szegö多项式

在此定义3个变量的Rogers-Szegö多项式为hn(x,y,z/q),其中x,y,z为参数.Rogers-Szegö多项式在正交多项式理论和q-多项式中扮演重要角色.Rogers是第一个对这些多项式研究的学者[12],而后就是Szegö[13]，这些多项式中最重要的一个是q-Mehler公式.在这一部分，我们要说明q-Mehler 公式是定理1 的直接推论. 已知q-二项式系数被定义为：

3个变量Rogers-Szegö多项式被定义为[5]：

另外由二项式定理有[5]：

这里max{|xt|,|zt|}lt;1. 这部分主要结果是以下公式的拓展.

定理4f(x,y,z)是3个参数的函数,(x,y,z)∈3满足定理1，而且f(x,y,0)有以下定义：

这里的cn是独立于x,y的，有：

证明由已知条件

很容易发现

由定理1和式(32)得

f(x,y,z) =J(zDxy){f(x,y,0)}=

定理4证毕.

由定理4，我们可以利用Rogers-Szegö多项式给出一个证明q-Mehler公式的方法.

定理5q-Mehler公式[5]:

这里max{|xwt|,|zwt|,|xut|,|uzt|}lt;1.

证明设f(x,y,z)等于上式右边，那么容易验证f(x,y,z)满足定理1，另外由(24)有：

因此由定理3，得到：

即定理5.证毕.

5 结论

通过第三、四两部分的具体应用，可以看出，本文提出的q-算子Dxy与θxy和差分方程之间的关系，对经典公式定理的证明有一定的优越性，相对于原始的证明方法与过程，显得十分便捷.由此可见，本文的结果，不仅把算子与方程有机联系在一起， 而且它在实际应用上，也有着十分重要的意义.

[1] LU D. q-difference equation and the Cauchy operator identities[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2009, 359(1): 265-274.

[2] LIU Z G. Two q-difference equations and q-operator identities[J]. Journal of Difference Equations and Applications, 2010, 16(11): 1293-1307.

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[5] SAAD H L, SUKHI A A. Another homogeneous q-difference operator[J]. Applied Mathematics and Computation, 2010, 215(12): 4332-4339.

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[13] SZEGÖG, Ein Beitrag zur tbeorie der thetafunktionen[J]. Sitz Preuss Akad Wiss Phys Math, 1926,19： 242-252.

TwoImportantTheoremsabouttheFormalSolutionforq-differenceEquation

LIU Fuyu,WANG Xuefang,CAO Jian

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

In this article, two theorems about the formal solution for q-difference equation are obtained,which relate difference equation with q-operatorsDxyandθxy. With the help of these theorems, some classic formulas and proofs of theorems can be optimized. There is a detailed explanation in the third and fourth parts of the article.

q-exponential operator;q-difference equation; difference equation;Euler formula;Rogers-Szegö polynomial;q-Mehler formula

2016-10-18

曹 健(1982—)，男，副教授，博士，主要从事q-级数、生成函数研究.E-mail:21caojian@163.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.05.016

O177.91MSC201047H10, 54H25

A

1674-232X(2017)05-0539-06