对两道大学自主招生数学试题的求解与推广

摘 要：类比和化归是重要的数学思想。通过类比可以产生新的猜想，通过化归，可以把新问题转化为老问题，进而获得求解。借助类比和化归思想，求解2014年中国矿业大学自主招生的一道数学试题，并推广到一般情况。

关键词：类比；化归；推广

【例1】 （2014年中国矿业大学自主招生的一道考题）199颗棋子，两人每次可以拿1～2颗棋子，先把棋子拿完的人赢，你应该先拿还是后拿？不妨设二人为甲和乙，甲想赢，如何取棋子？

当我们一筹莫展时，不妨从最简单的情况开始研究。第一种情况：棋子数是1～2颗，则甲先拿，全部拿完，甲获胜。第二种情况：棋子数是3颗，让乙先拿。乙拿一颗棋子，甲就拿两颗棋子，若乙拿两颗棋子，甲就拿一颗棋子，甲获胜。第三种情况：棋子数是4颗，甲先拿一颗棋子，将问题转化为第二种情况。第四种情况：棋子数是5颗，甲先拿两颗棋子，将问题转化为第二种情况。第五种情况：棋子数是6颗，乙先拿。若乙拿一颗棋子，则甲拿两颗棋子；若乙拿两颗棋子，则甲拿一颗棋子，将问题转化为第一种情况。第六种情况：棋子数是7颗，甲先拿一颗棋子，讲将问题转化为第五种情况。第七种情况：棋子数是8颗，甲先拿两颗棋子，将问题转化为第五种情况。第八种情况：棋子数是9颗，让乙先拿，乙拿一颗棋子，甲就拿两颗棋子，若乙拿两颗棋子，甲就拿一颗棋子，如此循环，将问题转化为第二种情况，甲获胜。讲八种情况填在表中，如下表棋子数表格。

观察上表，可以发现，如果球的个数是3的倍数，让乙先取。乙取一颗，甲就取两颗，乙取两颗，甲就取一颗，如此循环。若棋子数不是3的倍数，则用棋子数除以3，余数是多少，甲就先取几颗棋子，然后将问题转化为棋子数是3的倍数的情况。此时，将棋子数199推广到任意的正整数，解决的方法是一致的。

推广1199颗棋子，两人每次可以拿1～3颗棋子，先把棋子拿完的人赢，你应該先拿还是后拿？

参考文献：

[1]祁文斌.只成功“一点”[J].初中生学习（高），2010年04期.

[2]夏则勇，姚有胜.函数y=f（x+a）（a≠0）的奇偶性探讨[J].中学生数理化（高一版），2010年06期.

作者简介：

张港，江苏省徐州市，江苏安全技术职业学院。endprint