喝汽水引出的数学问题

杨滋润

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）11-227-01

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一、发现并提出问题

大家一定有儿时喝那种“退瓶型”汽水饮料的经历吧。喝完了凉爽的汽水還能用空瓶换汽水继续喝，那简直是炎炎夏日里的一种享受。如果没有经历过，那么这道小学时的奥林匹克数学题你应该见到过：

现有10瓶汽水，每三个空瓶可以换一瓶新的汽水。问总共能喝到多少瓶汽水呢？

我曾经问过不少人这道题，他们给的结果通常都是14瓶（先喝10瓶，用9空瓶换来3整瓶，喝3瓶，还有3+1=4个空瓶。然后用3个空瓶再换一整瓶，喝掉。最后剩下2个空瓶。共10+3+1=14瓶）

当我提示他们剩下的两个空瓶仍然能够利用的时候，有些聪明人就给出了正确答案：借来一个空瓶，连同那剩下的两个空瓶一起，换一整瓶，喝后把这个空瓶子还给人家。共喝了15瓶。

这就是这道题的正确答案。

最近我突然想到了这个问题，它能不能被深入地推广一下呢？

于是我就开始了对这个论文题目的思考与研究。

二、建立数学模型

我列出了原有饮料瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据：

注意观察：3、4 / 6、7 / 9、10 / 12、13

发现什么了吗？根据不完全归纳的情况，我得到这样一条重要的线索：当原有偶数瓶饮料时，实际能喝到原来3/2倍瓶数的饮料。若原有奇数瓶，则实际喝到原来3/2倍瓶数取整的饮料。

但这只是不完全归纳，如何从正面直接推导呢？

三、数学模型的分析与问题的解决

又经过我细致的观察，发现：只要是每有两个空瓶，都可以运用文章开头那种“借瓶子”的方法再喝一瓶饮料。这个发现太重要了。我可以这样处理那些剩余的空瓶：分为两个两个一组，每一组等于一瓶“没有瓶”的汽水（只可以喝，但不能得到空瓶）。这样就可以正面对待问题了。当原有瓶数X为偶数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为X/2个组，正好分完。每组又是一瓶。共喝掉X + X/2 = 3/2 X瓶。当原有瓶数X为奇数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为（X—1）/2个组，还剩一个空瓶，浪费掉。共喝X +（X—1）/2= 3/2X-1/2瓶。其实和3/2 X取整之后结果是一样的。这正验证了上文中不完全归纳得出的结论。通过这种思想，我们能不能进一步再推广呢？如果是4个、5个或更多空瓶换一瓶饮料，又会怎么样呢？

四、数学模型的进一步推广

现有X瓶汽水，每Y个空瓶可以换一瓶新的汽水。问总共能喝到多少瓶汽水呢？

由上文的推导过程来看，如果是Y个空瓶可以换一瓶饮料，那么每拥有（Y—1）个空瓶，就可以用借瓶子法得到一瓶饮料。所以当喝完X瓶饮料得到X个空瓶之后，又能喝到 [X/（Y—1）]瓶饮料。总共就是 [ X + X /（Y—1）] 瓶饮料。整理该式子，就得到了最后的结论：可以喝到 [ XY /（Y—1）] 瓶饮料。endprint