使洪荒之力寻错误之源

高如玉

初学勾股定理及其逆定理的同学，由于知识、方法不熟练， 常常出现一些不必要的错误，失分率较高. 下面针對同学们具体失误的原因， 配合相关习题进行分析，希望同学们能借助这股“洪荒之力”走出误区.

一、思维定势错判断

【例1】 在△ABC中各边长均为整数，a=3，b=4，c是最长边，求c.

【错解】由勾股定理，得c=[a2+b2]=[42+32]=5.

【错因分析】这个解法是受思维定势“勾三股四弦五”的影响， 将△ABC当成了直角三角形， 出现了知识的“负迁移”.实际上， 题中并没有给出直角三角形这个前提条件.

【正解】由三角形三边关系，得b

二、概念不清引争议

【例2】下列各组数能构成勾股数的是：

①0.07， 0.24， 0.25； ② 6， 8， 10； ③7， 8， 10；④ [35]，[45]，1.

【错解】①②④.

【错因分析】首先， 勾股数必须是一组正整数；其次，勾股数要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方. 选择①④的同学主要是对勾股数概念不理解， 出现概念错误.

【正解】②.

三、不知分类导错误

1.不分勾、股、弦.

【例3】在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c.

【错解】由勾股定理，得c=[a2+b2]=[42+32]=5.

【错因分析】这里默认了∠C为直角.其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b>a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这种情况.

【正解】因为直角三角形中，斜边最长，所以a不能为斜边，即∠A不能为直角.当∠C为直角时，c=[42+32]=5；当∠B为直角时，c=[42-32]=[7].

2.不分高在形内和形外.

【例4】在△ABC中，若AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12，求△ABC的周长.

【错解】如图，AB、AC在高AD的两侧，由勾股定理，得BD=[AB2-AD2]=[132-122]=5，CD=[AC2-AD2]=[152-122]=9 ，所以BC=5+9=14，最后△ABC的周长为AB+BC+AC=15+14+13=42.

【错因分析】本题需要同学们先分析题意画出符合要求的图形再解答. 在作图时，没有考虑三角形的形状，出现漏解情况.

【正解】情况1：AB、AC在高AD的两侧，由勾股定理，可得：BD=5，CD=9，BC=14，三角形ABC的周长为42.情况2：如下图，AB、AC在AD的同侧，前面已得BD=5，CD=9，所以BC=9-5=4，最后△ABC的周长为AB+BC+AC=15+4+13=32.

四、直觉经验漏条件

【例5】如图，在△ABC中，AB=15，AC=8，AD是中线且AD=8.5，求BC的长.

【错解】由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得：BC=2AD=17.

【错因分析】解题时看到熟悉的图形，很多同学往往粗略审题，忽略了题目的条件与熟悉的图形的细微差别，把未知的结论当已知条件直接使用，导致错解.这里的∠BAC=90°并不容易证明.

【正解】如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，易证△ADC≌△EDB.∴BE=AC=8，∠CAD=∠E.∴AC∥BE.又∵BE2+AB2=82+152=289，AE2=172=289.∴BE2+AB2=AE2 .∴∠ABE=90°.∵AC∥BE.∴∠BAC=180°-90°=90°.∴BC=[82+152]=17 .

五、错用特殊替一般

【例6】已知在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，a=n，b=[n24]-1，c=[n2+44]（n是大于2的偶数）.求证：△ABC是直角三角形.

【错解】 ∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5.∵a2+b2=42+32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形（勾股定理的逆定理）.

【错因分析】同学们在解决此题时，往往会有这样的疑惑：我的答案是正确的，为什么不得分呢？大多数同学错误地把特殊情况当成了一般规律，我们可以用这样的办法解决填空题和选择题，但不能用来解决证明题，证明要有严密的逻辑展示.

【正解】 ∵a2+b2=n2+（[n24]-1）2=n2+[n416]-[n22]+1=[n416]+[n22]+1，c2=（[n2+44]）2=（[n24]+1）2=[n416]+[n22]+1，∴a2+b2=c2.∴由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形.

（作者单位：江苏省常州市武进区礼嘉中学）