高考中数列求和题型归纳与方法总结

薛宝娜

数列求和是数列的一个重要内容，虽然教材中只讲解了兩类特殊数列，即等差数列与等比数列的前n项和，但数列求和问题能考查学生对数列的整体认识，对通项公式的理解，体现等价转化这一重要数学思想，同时还可以考查学生分析问题和解决问题的能力，故本文重点归纳2017年高考中数列求和问题的解决方法.

一、公式法

对于一个普通的数列，若通过转化构造后，可转化为等差或等比数列，则直接利用等差数列或等比数列求和公式求和.

例1 （2017年全国1卷·文）记Sn为等比数列an的前n项和，已知S2=2，S3=-6.

（1）求an的通项公式；

（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。

解析（1）an=a1·qn-1=-2n

（2）由（1）得sn=a1（1-qn）1-q=-21--2n1--2=23-2n-1.

点评：本题求解的关键是求出数列an的通项公式，由于an为等比数列，直接利用等比数列求和公式求和.

二、错位相减法

错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的新数列求和问题，这种方法运算过程复杂，运算量大，学习中应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养.

例2 （2017年天津卷·文）已知an为等差数列，前n项和为sn（n∈N*），bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，s11=11b4.

（1）求an和bn的通项公式；

（2）求数列a2nbn 的前n项和（n∈N*）.

解析（1）an的通项公式为an=3n-2，bn的通项公式为bn=2n.

（2）设数列a2nbn的前n项和为Tn，由an=3n-2，有

Tn=4×2+10×22+16×23+···+（6n-2）×2n，2Tn=4×22+10×23+16×24+···+（6n-8）×2n+（6n-2）×2n+1.上述两式相减，得-Tn=4×2+6×22+6×23+···+6×2n-（6n-2）×2n+1=12×（1-2n）1-2-4-（6n-2）×2n+1=-3n-42n+2+16.所以，数列a2nbn的前n项和为-3n-42n+2+16.

点评 错位相减法也是等比数列求和公式的推导方法.利用此方法求解由等差数列an和等比数列bn对应项之积组成的数列的前n项和. 通过对求和公式同乘以数列bn的公比，再与原式错位相减后，左边化为Sn的形式，右边化为可求和的形式.

三、裂项相消法

裂项相消法主要用于通项为1anan+1型数列的前n项和问题，其中an若为等差数列，变形可得1anan+1=1d1an-1an+1，从而将通项分裂成2项之差，通过相加过程使部分项相互抵消，最后剩下有限项的和.

例3 （2017年全国2卷？理）等差数列an的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则∑nk=11Sk=.

解析 设an首项为a1，公差为d.则a3=a1+2d=3，s4=4a1+6d=10.解得a1=1，d=1，则an=n，sn=nn+12.

∑nk=11sk=21×2+22×3+···+2nn-1+2nn+1=21-12+12-13+···+1n-1-1n+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.

点评 利用裂项相消的方法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩2项，后面也剩2项，再就是将通项公式裂项后与原不等式不等，需要调整前面的系数，如1n（n+2）=12（1n-1n+2）.

四、分组求和法

有些数列既不是等差数列，也不是等比数列，但对其通项进行拆分或变形后可转化为几个等差、等比数列或常见数列的和或差的形式，可对各特殊数列分别求和，然后再合并.2017年高考没有考查分组求和，2016年只在一道证明题证明的过程中考查到，但这种求和方法很好，在此选了2015年的一道高考题，对这种方法进行归纳总结.

例4 （2015福建卷）等差数列an中，a2=4，a4+a7=15.

（1）求数列an的通项公式；

（2）设bn=2an-2+n，求b1+b2+b3+···+b10.

解析（1）数列an的通项公式为an=n+2.

（2）由（1）得，bn=2n+n，所以b1+b2+b3+···+b10=（2+1）+（22+2）+（23+3）+···+（210+10）=（2+22+23+···+210）+（1+2+3+···+10）=2（1-210）1-2+（1+10）×102=（211-2）+55=2101.

点评 求数列前n项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题bn=2n+n为“等比+等差”型，故可采取分组求和法求其前10项和.

数列求和的方法灵活多变，还有一些方法在高考中出现的较少，如倒序相加法、数学归纳法等.总之，数列求和是高考重点内容之一，能有效考查考生对数列的整体把握及解题中的转化能力，灵活把握数列的数字特点，活用各种方法是顺利解决问题的关键.

（作者单位：甘肃省镇原县平泉中学 744500）endprint