马尔可夫链模型在教学定量评价中的应用

冯年发

摘 要： 本文对马尔可夫链模型的基本原理进行了分析，建立了数学模型，提供算法步骤，并通过实例数据分析，阐明了这种模型的应用可以剔除学生生源参差不齐，同一班级内、同一年级不同专业间生源综合基础差别很大等客观因素对教师教学评价的影响，从而客观公正地评价教师的教学质量；同时模型分析过程中得到的数据，可以使教师有的放矢地采取各种措施因材施教。

关键词：马尔可夫链模型；基本原理；算法步骤；教学评价

一、 问题的提出

教师的教学行为既有量的问题，也有质的问题，因此，对教师教学水平的评价必须遵循定量与定性相结合的原则。目前，在教师教学目标定量评价过程中，学校往往通过教师所带班级的学生某次成绩的平均分和及格率来评价教师教学水平。这是一种最常用、最直接的教师评价方式，但是这种评价方式是片面的、不准确的、静态的，缺乏针对性和诊断性，不助于任课教师的自我评估及预测学生变化趋势，从而采取相应措施，因材施教，努力提高课程教学工作的质量和效果。因为教学质量评价是一个复杂的动态系统工程，既要关注学生学习的结果，又要关注他们在学习过程中的发展，同时还要考虑技工院校学生生源参差不齐，同一班级内、同一年级不同专业间生源综合基础差别很大等客观因素的影响。因此，为了能在教师教学目标定量评价过程中客观公正地评价老师的教学效果，本文将马尔可夫链模型引入到教师的教学评价中。

二、 马尔可夫链模型的基本原理及算法步骤

（一） 基本原理

马尔可夫链，因安德烈·马尔可夫得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。于是，在理论研究上我们可运用马尔可夫过程的极限分布作为教学效果的量化指标，从而也解决了因学生基础存在差异而无法以学生的成绩去有效的评估教学质量的难题，并能预测今后整体的学习情况。因此马尔可夫链模型教学评价法是一种以概率论和随机过程理论为基础，建立随机数学模型分析现实活动变化发展过程中数量关系的一种定量分析方法。

在运用这种模型时，马尔可夫过程转移概率矩阵在教学评估中的意义是至关紧要的。我们可以从转移概率矩阵中分析到学生各层次之间的变化状况。学生考试成绩的变化反映了学生内在心理状态、外部社会影响、教师授课方式等综合的变化。因此，转移概率矩阵是教学质量、教学条件、学生内在心理状态、外部社会影响等因素的集中反映。于是，我们把转移概率矩阵转换变为进步矩阵，引入进步度的概念，把进步度作为评价教学效果的一个参数，结合马尔可夫链分析的过程中得到的教学效果的各类数据，教师就能对教学实践作出自我检测，从而有针对性地采取多种措施，探索教学规律，改进教学方法，做到因材施教。

（二） 建立马尔可夫评估模型的算法步骤

基于以上分析，马尔可夫链模型在教学评价中的方法首先按照一定的方法将学生成绩分级，这样就可以确定統一的状态空间，然后由相关等级变化来确定一步转移矩阵，利用马尔可夫链的平稳性和遍历性求出极限向量，同时由一步转移矩阵构造进步度矩阵，计算进步度，最后利用极限向量值和进步度进行比较判断。具体步骤如下：

1. 将某班学生的某次成绩按高低分划分为m个等级，然后计算出各等级的学生人数占总人数之比并作为状态向量，比如用C0表示：C0=n1n，n2n，…，nmn，其中n1、n2…nm为各等级的学生人数，n为学生总人数。

2. 列出前后两次学生成绩的转移情况表，以表示由第一次学生成绩等级向第二次成绩等级的转移。

8. 比较评价。

三、 实例分析

（一） 下面举例说明该方法的使用。选取我校某一门课程的不同教学班级的两位教师，在同等条件下，列出了他们的学生前后两次考试成绩及对应的状态转移情况表和状态转移统计表。其学生成绩为百分制，将成绩分为5个等级，Ⅰ（90分以上）、Ⅱ（80～90分）、Ⅲ（70～79分）、Ⅳ（60～69分）、Ⅴ（59分以下）。在表中的最后一列的有序数对ij表示第一次成绩从第i等级转移到了第二次成绩的第j等级。

上表表示学生从第一次考试到第二次考试成绩状态发生转移的人数。如原来甲班获得Ⅰ等成绩12名学生中继续保持Ⅰ等的有2人，下降为Ⅱ等的有7人，下降为Ⅲ等的3人。

（二） 根据两班学生成绩的转移情况，得到两班评估的转移矩阵：

（七） 比较评价

1. 根据所求得两个班的极限向量，按最大概率原则，可以预测，甲班的教学质量将达到第“3”等级，而乙班的教学质量将达到第“2”等级；通过从转移矩阵得到的进步度来看，一班的整体成绩是退步的，二班则是上升的，但无论上升还是下降不会无限进行下去，最终二班成绩将稳定在81.62左右，一班将在71.67上下变化。

2. 从实例来看，一班考试的平均分为82.29，二班为80.33，似乎一班教师应该受到表扬，但从以上的分析来看，这是不合理的，主要原因是平均分不能排除两班的学生基础不同，所以不能准确反映出两教师的实际教学水平。

参考文献：

[1] 周艳榕.浅析马尔可夫模型在教学评价中的应用[J].东方企业文化，2014（09）.endprint