分组M—正交随机场的部分和上升的阶

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摘要：本文由分组M-正交随机场的MenshovRademacher强极限定理和Martikainen的Abel引理，给出分组M-正交随机场部分和上升的阶的一个估计。

关键词：随机场；M-正交；部分和上升的阶

一、 引言

Petrov[1]研究了正交随机变量序列部分和上升的阶的问题。后来，O. I. Klesov在文献[2]讨论了随机场的收敛速度，文献[3]研究了正交随机场部分和上升的阶。本文，将要研究分组M-正交随机场部分和上升的阶。

定义1.1随机序列（Xkl），k，l∈N称为M-正交随机变量序列，如果

EXk1l1Xk2l2=0（1.1）

对所有满足max|k1-k2|>M，max|l1-l2|>M的k1，k2，l1，l2都成立，且k1，k2，l1，l2∈N。

下面给出一个相对较弱的M-正交的定义。

定义1.2对于自然数列（βk），（β～k）↑∞，称（Xmn）在分组[βk，βk+1）×[β～l，β～l+1），k，l∈N上是M-正交的，即隨机变量（Xmn）关于指标（m，n）∈[βk，βk+1）×[β～l，β～l+1），k，l∈N是M-正交的。

此定义和一维随机变量的情形是一致的，见参见文献[1]。此定义允许随机变量在不同区间内可以任意相依，当βk=β～k=2k，k∈N时，更为特殊。

而对于场{Xmn}的部分和我们记为Smn=∑mi=1∑nj=1Xij，且令B（m，n）=∑mi=1∑nj=1EX2ij。

首先，我们介绍场的单调性的概念。场{c（m，n）}称为保序的，若对所有的m≤m′，n≤n′有

c（m，n）≤c（m′，n′）

当对所有的m≥1，n≥1，都有Δc（m，n）≥0，那么，称场{c（m，n）}有非负的增量。其中

Δc（1，1）=c（1，1），当m>1时，Δc（m，1）=c（m，1）-c（m-1，1），

当n>1时，Δc（1，n）=c（1，n）-c（1，n-1），

当m，n≥1时，Δc（m，n）=c（m，n）-c（m-1，n）-c（m，n-1）+c（m-1，n-1）

显然，所有非负增量的场都是保序的。反之，不一定成立。

引理1.1设随机场{Xmn}是中心化的，即EXmn=0，且在[2k，2k+1）×[2l，2l+1）上是M-正交的，并设Φ（·），Ψ（·）是定义在[0，∞）上的严格增且正的无界函数，{kn}∞0，{ln}∞0是严格增的整数序列，其中k0=l0=0。当km=lm=2m，m∈N时，满足下面的式子

limm→∞supΦ（2m+1）Φ（2m）<∞和limm→∞supΨ（2m+1）Ψ（2m）<∞；limm→∞infΦ（2m+1）Φ（2m）>1和limm→∞infΨ（2m+1）Ψ（2m）>1

如果，

∑∞i，j=1（Φ（i）Ψ（j））-2（log22i）2（log22j）2E|Xij|2<∞（1.2）

那么

limm，n→∞1Φ（m）Ψ（n）∑m，ni，j=1Xij=0 a.s.（1.3）

可以看出Φ（m）Ψ（n）是一个场，我们记c′（m，n）=Φ（m）Ψ（n），此引理见文献[4]。下面，我们给出场的特征（示性）的概念。

假设{b（m，n）}为一非随机的非负场，它在N2的有限子集上产生了一测度B，即对任何有限集合DN2，有B（D）=∑（i，j）∈Db（i，j）。为了完善起见，令∑（i，j）∈b（i，j）=0。若场的部分和为B（m，n），即B（m，n）=∑mi=1∑nj=1b（i，j）。我们定义其测度为B（∏（m，n）），其中∏（m，n）={（i，j）：1≤i≤m，1≤j≤n}。

对于固定的x，考虑集合D=D（x）={（i，j）：B（i，j）≤x}，且集合D的测度为B（D（x））。特别地，对一些（m，n）∈N2，如果x=B（m，n），那么

B′（m，n）=B（D（B（m，n）））

就称为场{b（m，n）}的特征（示性）。

引理1.2假设{b（m，n）}是一非负场，{B（m，n）}是它的部分和，{B′（m，n）}是它的特征（示性），假设limm，n→∞B（m，n）=∞。那么对所有的ψ∈Ψc有，

∑∞m=1∑∞n=1b（m，n）B′（m，n）ψ（B′（m，n））<∞（1.4）

此引理拓展了Able引理在双指标的和的情况，但是，示性B′（m，n）似乎可以替代B（m，n）。按上述方法定义的双指标和示性，产生了引理1.2中序列直接模拟的问题。定义序列{Bk}的示性为B′k，可见，当k≥1时，有B′k≤Bk。从而，引理1.2包括了Able引理，是它的推广。

二、 主要结论

定理2.1设随机场{Xmn}在[2k，2k+1）×[2l，2l+1）上是M-正交的、中心的，部分和为{Smn}。假设B（m，n）=∑mi=1∑nj=1EX2ij，{B′（m，n）}是场{b（m，n）}的特征（示性）。若B′（m，n）与ψ（B′（m，n））可以变量分离出关于m和n的项，且limm，n→∞B（m，n）=∞，那么，对一切ψ∈Ψc有

limm，n→∞Smn（B′（m，n）ψ（B′（m，n）））1/2（log22i）（log22j）=0 a.s.（2.1）

其中Ψc是非负、非降的函数的集合：Ψc=ψ：∑∞n=n01nψ（n）<∞，对一些n0≥1。

例如：设B（m，n）=m+n，显然在这种情况下b（i，j）=0，max（i，j）>11，其他。由于

B（D（x））=∑i≤[x]b（i，1）+∑j≤[x]b（1，j）～x，那么 B′（m，n）～mn。特别的，令ψ（x）=|x|ε。则endprint

c（m，n）=（mn|mn|ε）1/2（log22i）（log22j）。

从而，由引理1.2得

∑∞m=1∑∞n=1EXmn2c2（m，n）（log22i）2（log22j）2

=∑∞m=1∑∞n=1EXmn2B′（m，n）ψ（B′（m，n））

=∑∞m=1∑∞n=1EXmn2x|x|ε

<∞（2.2）

故由引理1.1得

limm，n→∞Smn（mn|mn|ε）1/2（log22i）（log22j）=0（2.3）

推论2.1设{Xmn}和{Smn}满足定理2.1的条件，若对所有的（m，n）∈N2，有EX2mn=1。那么，對一切ψ∈Ψc有

limm，n→∞Smn（mnψ（m，n））1/2（log22i）（log22j）=0 a.s.（2.4）

定理2.1的证明：

证明：首先，定义场

c（m，n）=（B′（m，n）ψ（B′（m，n）））1/2（log22i）（log22j）（2.5）

显然它是保序的，它属于场c′（m，n）=Φ（m）Ψ（n），而B（m，n）=∑mi=1∑nj=1EXij2

故由引理1.2得

∑∞m=1∑∞n=1EXmn2c2（m，n）（log22i）2（log22j）2

=∑∞m=1∑∞n=1EXmn2B′（m，n）ψ（B′（m，n））<∞（2.6）

再由引理1.1可以得到本定理结论。

参考文献：

[1]Petrov V V. On the strong law of large numbers for a sequence oforthogonal random variables[J]. Vestnik Leningrard. Univ.， 1975，（02）：54-57（in Russian）.

[2]Klesov O I. The rate of convergence ofrandom fields[J]. Teor . Veroyatnost. I Matem. Statist， 1984，（30）：81-92（in Russian）.

[3]Klesov O I. On the order of growth of orthogonalrandom fields[J]. Analysis Mathematics， 2003，（29）：15-28.

[4]任园园，汪忠志.分组M-正交随机场的强极限定理[J].安徽工业大学学报，2011，28（01）：82-84.

[5]Martikainen A I. On the order of growth of arandom field[J]. Matem. Zametki， 1986，（39）：431-437（in Russian）.

[6]Alexits G. Convergence Problems of Orthogonal Series. Pergamon，Oxford/ New York.， 1961.

[7]F. Móricz. Strong limit theorems for blockwise mdependent and blockwise quasiorthogonal sequences of random variables[J]. Proc. Am. Math. Soc.1987， 101， 709-715.

[8]F. Móricz， S. M. Thalmaier. Strong laws for blockwise mdependent random fields[J]. Theor. Probab. 2008，21，660-671.

[9]陆传荣，林正炎.混合相依变量的极限理论[M].北京：科学出版社，1997.endprint