浅谈高中数学几何题的解题技巧

巩明珠��

摘要：作为高中数学的基础性知识之一，在几何问题的教学过程中，除了需要让学生掌握基本的知识运用能力外，还应强调解题技巧与解题思路的培养。本文针对高中数学中几何问题，结合实例探讨了这类问题的解题技巧的教学。

关键词：高中数学；几何体；解题技巧

几何问题一直是高中阶段数学教学中的重难点知识，一些学生由于缺乏解题技巧，导致解题速度慢、正确率低，久而久之就会影响学生的学习自信心，进而产生畏难。因而在教学过程中，教师有必要让学生掌握并学会运用解题技巧，以降低题目难度，简化解题过程，从而减轻学习负担。

一、 选择题解题技巧

选择类题型考查的知识点通常较为简单，在选择题的解题技巧讲解中，需要教师引导学生归纳总结出错的原因，然后再针对容易犯错的知识点进行集中强化练习。

【例1】已知平面α∥平面β，直线l平面α，点P∈直线l，平面α、β间的距离为8，则在β内到点P的距离为10，且到l的距离为9的点的轨迹是（）

A. 一个圆B. 四个点C. 两条直线D. 两个点

【错解】A

【错因】学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系掌握不牢。

【正解】B

【例2】a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面（）

A. 有且只有一个B. 一个面或无数个

C. 可能不存在D. 可能有无数个

【错解】A

【错因】过a与b垂直的平面条件不清。

【正解】C

二、 证明题解题技巧

证明题是最为常见的几何类题型，这类题目通常考查的是学生的观察能力、推理能力和逻辑思维能力，在讲解这类题型的解题技巧时，需要教师将证明过程细化，然后分步讲解。

【例3】如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB中点。

（1）求证：BE∥平面PDF；

（2）求证：平面PDF⊥平面PAB。

【证明】（1）取PD中点为M，连接ME，MF，

∵E是PC的中点，

∴ME是△PCD的中位线，

∴ME

瘙 綊 12CD。

∵F是AB中点且由于ABCD是菱形，AB

瘙 綊 CD，

∴ME

瘙 綊 FB，

∴四边形MEBF是平行四边形，

∴BE∥MF。

∵BE平面PDF，MF平面PDF，

∴BE∥平面PDF。

（2）∵PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD，∴DF⊥PA。

∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形。

∵F是AB中点，∴DF⊥AB。

∵PA、AB是平面PAB内的两条相交直线，∴DF⊥平面PAB。

∵DF平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB。

三、 计算题解题技巧

在涉及计算的几何类题型解题技巧教学中，若有不同的解法，教师应在讲解过程中，将两种不同解法列举出来，然后让学生对比学习，以此拓展学生的解题思路。

【例4】正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45°角，求侧棱与底面所成角的正切值。

【解】解法一：如图2，设O1，O为上下底面正三角形的中心，连接O1O，A1O1交B1C1于D1，AO交BC于D。连接D1D，易证A1O1⊥B1C1，AD⊥BC，D1D⊥BC，過A1，D1分别作A1E⊥底面ABC，D1F⊥底面ABC，易证E、F在AD上。

因为正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45°的二面角，所以∠D1DA=45°，因此A1E=O1O=D1F=FD。

设该正三棱台上下底面的边长为a，b，则AD=32b，A1D1=32a。

所以，A1E=O1O=D1F=FD=13×32b-13×32a=36（b-a）。

AE=23×32b-23×32a=33（b-a）。

所以，tan∠A1AE=A1EAE=12。

解法二：如图3，延长AA1，BB1，CC1，则AA1，BB1，CC1相交于一点S。显然点S在OO1的延长线上。由解法一得知，∠SDA为二面角S-BC-A的平面角，故∠SDA=45°。

所以，在Rt△SOD中，SO=OD。

因为，AO=2OD，所以tan∠SAO=SOAO=ODAO=12。

四、 结束语

关于高中数学几何问题的解题技巧教学，教师应根据不同题型，结合学生的学习情况和思维模式，采取不同的教学方法。同时，解题技巧的熟练掌握和运用，还必须通过不断练习，才能够真正实现快速、准确地解决几何类问题，实现教学质量和学习效率的提升。

参考文献：

[1]任维.例析高中立体几何的解题技巧[J].数理化学习（高中版），2016，（04）：6-7.

[2]魏华.高中数学解题策略分析——以高中的立体几何作为具体例子进行分析[J].神州，2012，（28）：165.