例谈高三立体几何位置关系证明难点突破

2017-12-08陈树兴

学周刊 2017年36期

关键词：立体几何辅助线平行

陈树兴

摘要：高三立体几何位置关系的证明中平行关系的证明本应该是比较简单的考点，但在实际的教学中我们发现学生对于构造辅助线比较吃力，本文结合2017年的高考试题，谈谈在教学中我们该如何突破构造辅助线这个难点。

关键词：立体几何；位置关系；平行；证明；辅助线

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）36-0042-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.36.022

高中立体几何教学中，位置关系的证明占有很大的比重，在教学中学生熟记、理解判定定理和性质定理后，看似应该会证明一般的位置关系，而真正操作起来，还是有很多的难点，如书写不规范，不会做辅助线等，我主要围绕位置关系证明中的平行关系的证明，试图突破构造辅助线这个难点，为广大师生提供另一种视角。

一、立体几何中常用于证明两直线平行的方法

1.三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

2.平行四边形的判定定理

（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3.平行于同一直线的两直线平行。

4.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

5.如果两个平行平面同時和第三个平面相交，所得交线平行。

6.垂直于同一平面的两直线平行。

二、线面、面面平行的判定定理

1.线面平行的判断：

（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

2.面面平行的判断：

（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。（要证两个平面平行，只需要在其中一个平面内找两条相交直线与另一个平面平行即可）

（2）一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，则这两个平面平行。（要证两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线分别平行即可）

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

3.转化思想：

4.辅助线的构造（难点突破）

第一，翻译定理。把判定定理翻译以后，有助于学生思考，帮助学生确定目标。

线面平行的判定定理：

（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

翻译成：

要证一条直线与一个平面平行，只需要在这个平面内找一条直线与已知直线平行即可。

（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

翻译成：

要证一条直线与一个平面平行，只需找一个经过这条直线的平面与已知平面平行即可（实质还是要证明线面平行，进而再证线线平行）。

面面平行的判断：

（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

翻译成：

要证两个平面平行，只需要在其中一个平面内找两条相交直线与另一个平面平行即可。

（2）一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，则这两个平面平行。

翻译成：

要证两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线分别平行即可。

第二，找直线。把判定定理翻译以后，按照转化的思想，平行位置关系的证明最终都落到了找两条直线互相平行这个点上。

第三，找点。找直线的过程实质上是去找两个点（两点确定一条直线），一般情况下，要找的点都是特殊位置上的点，如：线段的中点或几等分点。也可以借助尺子，将尺子与已知直线重合，初步的平移到目标范围内，找到目标点即可。

第四，构造辅助线。连接两点即可。

注：证明线线平行，通常情况下构造平行四边形或利用三角形的中位线来证明。

三、例题解析

例（2017新课标Ⅱ理）（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=■AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点。

证明：直线CE‖平面PAB；

分析：依据线面平行的判定定理，可以从两个方面思考。

思路一：要证直线CE平行于平面PAB，只需在平面PAB内找一条直线与已知直线CE平行即可，进而问题就转化为在平面PAB内找一条直线与直线CE平行，要确定这条直线，关键是在平面PAB内找两个点，我们可以先借助直尺来找，先将直尺与直线CE重合，然后将直尺平移到平面PAB内，标记刚进入平面PAB时的两个点的位置，发现点B是其中的一个点，设与直线PA的交点记为F，连接BF，观察问题进一步转化为如何证明CE‖BF，点F要满足什么条件？回到题目条件，不难发现，点E为PD的中点，首先考虑点F为PA的中点，连接EF，EF为△PAD的中位线，则EF‖AD，最终，问题转化为证明四边形为EFBC平行四边形即可。

证明：设点F为PA的中点，连接EF，连接BF，而E是PD的中点，则EF为△PAD的中位线，所以EF■■■AD，

∵AB=BC=■AD，∠BAD=∠ABC=90°

∴BC ■■AD

∴BC■EF

所以四边形EFBC为平行四边形。endprint

所以CE‖BF，

∵BF？哿平面PAB，CE？芫平面PAB

∴CE‖平面PAB

小结：要证一条直线与一个平面平行，只需要在这个平面内找一条直线与已知直线平行即可，在思考过程中，关键在已知平面内找两个点，最终通过构造三角形中位线或平行四边形来证明线线平行，最终证明线面平行。

思路二：要证直线CE平行于平面PAB，只需找一个经过直线CE的平面与知平面PAB

平行即可，进而问题就转化为找一个经过直线CE的平面与知平面PAB平行，要确定这个平面，因为已知了两个点C，E，由公理：不共线的三个点确定一个平面，关键是再找与C，E不共线的第三个点M，我们姑且记为点，我们的目的是要构造出一个经过直线CE的平面与知平面PAB平行，即MC，ME要与已知平面PAB分别平行，即MC，ME必须与已知平面PAB内的两条相交直线分别平行，而同时满足这两個条件的点很少，只能是特殊的点，如中点或几等分点，点M的位置基本上就能定下来了。点M即为AD的中点。

面面平行的证明有两种，书写证明过程即有两种。

证明（书写一）：设点M为AD的中点，分别连接ME，MC

因为点M为的中点，E是PD的中点

所以，ME是△PAD的中位线

所以ME‖PA

又∵ME？芫平面PAB，PA？哿平面PAB

∴ME‖平面PAB

∵AB=BC=■AD，∠BAD=∠ABC

又∵点M为AD的中点

∴四边形ABCM为正方形

∴ME‖AB

又∵MC？芫平面PAB，AB？哿平面PAB