通信延时环境下虚拟发电厂分布式控制收敛速度分析

郭峰，赵逸岚，杨欢

（1．国网陕西省电力公司电力科学研究院，陕西西安 710100；2．杭州市电力设计院有限公司，浙江 杭州 310062；3．浙江大学，浙江杭州 310027）

通信延时环境下虚拟发电厂分布式控制收敛速度分析

郭峰1，赵逸岚2，3，杨欢3

（1．国网陕西省电力公司电力科学研究院，陕西西安 710100；2．杭州市电力设计院有限公司，浙江 杭州 310062；3．浙江大学，浙江杭州 310027）

针对一种考虑通信延时环境下的应用于虚拟发电厂的分布式一致性控制策略进行研究，分析了控制策略收敛速度的影响因素，并据此提出了收敛速度衡量指标。在仿真算例中，分析了线路权重、领导节点位置以及算法收敛系数大小对收敛速度的影响，并对比了有/无延时两种情况下一致性算法的收敛速度差异，为通信网的优化设计提供了参考。

分布式控制；虚拟发电厂；通信延时；收敛速度

随着当今全球能源形势的逐渐紧张以及环境污染问题的日益凸显，可再生清洁能源的大力开发利用已成为电力行业的革新趋势，这也促进了分布式电源的使用和发展。分布式电源是指位于负荷侧，就近接入中低压配电网的小型发电系统[1]，主要包含光伏发电、风力发电、生物质能发电等可再生能源发电单元，以及燃气轮机等清洁能源发电单元[2]。

虚拟发电厂（virtual power plant，VPP）是一种电源管理技术，该技术将多个分散小电源聚合起来，使其整体的出力外特性与传统发电机类似。应用虚拟发电厂技术，能有效地对地理位置分散，单机容量小的分布式电源进行控制管理。在虚拟发电厂的控制模式选取上，传统的集中式控制模式在管理规模较大且地理分布较为广泛的受控电源时，存在通信带宽较窄、控制中心计算负担较重等问题，并且某一信道的通信故障有可能会对整个系统造成严重的影响[3]。相比之下，分布式控制模式则无需通过一个控制中心来对所有电源下发控制指令；各电源在与少数邻居电源通信的基础上即可计算得出各自的控制参数值。因此，分布式控制模式具有经济性好、鲁棒性强以及通信容错程度高等特点，更适用于对虚拟发电厂内部分布式电源的管理。

一致性算法是一种广泛应用于多智能体协同控制的分布式算法。多智体协同控制的本质在于，通过多个价格低廉且结构简单的智能体的联合工作，代替单个复杂且昂贵的个体[4]。目前，一致性算法在控制、计算机领域已有大量的研究成果，可应用于解决智能体编队控制[5]、无线传感网络[6]、多航天器控制[4]等问题。除此之外，一致性算法也被引入到了电力系统领域，用以设计分布式控制策略以对发电设备输出的有功、无功功率进行控制[7-8]。文献[9]提出了一种用于光伏系统有功、无功功率自适应控制的分布式策略，实现了系统有功功率的自平衡，并维持了电压稳定。文献[10]结合多智体一致性协同控制理论，设计了一种分散自治的自动发电控制功率分配框架。文献[11]基于一致性算法，提出了一种适用于直流孤岛微网的控制策略，实现了变虚拟电阻的自适应下垂控制。

分布式控制需要通过多次迭代计算才能实现控制目标，因此收敛速度成为了评判控制效果优劣的一个重要标准。已有研究表明，相较于无通信延时的情况，一致性算法在考虑通信延时下的收敛性较差[12]。在此基础上，文献[12]结合代数图论、矩阵理论、控制理论分析了连续一致性算法的收敛性与延时长短的关系；文献[13]将一致性算法应用于两阶离散系统，考虑不均匀通信延时以及时变通信结构，推导出了系统实现一致性收敛所需满足的充分条件。

本文将一阶离散一致性算法应用于虚拟发电厂内部分布式电源的有功功率控制之中，分析了在考虑均匀通信延时的情况下，控制方法收敛速度的影响因素，并提出了收敛速度衡量指标。在仿真算例中，分析了线路权重、领导节点位置以及算法收敛系数大小对收敛速度的影响，并对比了有/无通信延时两种情况下一致性算法的收敛速度差异，为通信网优化设计提供了参考。

1 虚拟发电厂分布式控制策略

1.1 虚拟发电厂分布式经济调度

虚拟发电厂中分布式电源的调度控制结构为：能量管理系统（energy management system，EMS）向虚拟发电厂下发总功率指令，在满足这一总出力目标的前提下，各分布式电源的功率分配将由分布式控制方法实现，即分布式电源不直接接受上级的调度。如图1所示，根据地理位置的不同将配电网中的部分分布式电源划分为一个虚拟发电厂。虚拟发电厂中设有一个领导节点，用以直接接收上级EMS下发的功率调度指令，并将功率偏差信息通过通信网传递给所在虚拟发电厂中的邻居电源；其余分布式电源作为跟随节点，相互之间可以进行通信，并根据邻域信息决定发电量。需要注意的是，为确保控制的有效性，虚拟发电厂内部的通信网络须保持连通[14]。

图1 虚拟发电厂分布式控制结构Fig.1 Distributed control architecture of VPP

在该结构中，控制目标选取为整体运行经济性最优，据此在分布式电源间进行有功出力的分配：

式中：n为该虚拟发电厂中分布式电源的总数；Pi为第i个分布式电源的有功出力；Ci（Pi）为第i个分布式电源的发电成本函数；Pref为由EMS下发的整个虚拟发电厂有功总出力的参考值。

分布式电源的成本函数可用如下的二次函数近似表示[15]：

式中，αi、βi、γi为发电机i的发电成本系数。

为实现经济性最优目标，各分布式电源需满足等微增率原则[16]，并结合公式可以得到：

式中，xi为DG i的成本微增率。

在虚拟发电厂的经济调度中，分布式控制需要实现以下目标：

1）仅使用自己和相邻单元的信息，无集中控制信号；

2）最终每个分布式电源的成本微增率xi及有功出力Pi需满足式（3）。

1.2 考虑均匀通信延时的分布式控制算法

假设分布式电源之间的通信网络为双向通信，对应的无向图G≜（V，S）。其中，V={1，…，n}为节点（分布式电源）集合，S⊆V×V为边（通信线路）集合。当Vi、Vj间无通信时，边Sij对应的权重eij=0；当Vi、Vj间有通信时，边Sij对应的权重eij＞0。

本文采用离散一致性算法。为便于描述，暂不考虑来自EMS的总功率指令，仅先实现各分布式电源成本微增率xi相等。

设迭代次数为k，信号采样周期为T，信号由Vi传输到Vj的通信延时为τij。在（k+1）T时刻，DGi的微增率xi由下式决定：

当采样周期T大于通信网最大延时τmax时，式（5）等价于由式（6）所表示的无延时情况下的一致性算法：

尽管增长采样周期可以有效抑制通信延时对控制过程带来的不利影响，但同时也会导致算法收敛时间的延长。为选取合适的采样周期，现针对网络通信延时较均匀的情况开展研究，以使φ（τij）=1。

公式（6）可简化为

设矩阵D为通信网的权重矩阵，D的对角元素为零，非对角元素Dij等于边权eij。有eij=eji，故D为对称矩阵。将式（7）表示为如下的矩阵形式（x∈R1×1，A∈Rn×n，D∈Rn×n）：

下一步，在公式（8）的基础上引入总功率约束。即把总功率偏差量信息反馈给领导节点，构成主-从一致性算法，作为整个虚拟发电厂有功控制策略的核心：

式中：ε为收敛系数常数；列向量dn×1的每行对应一个分布式电源，领导节点所在行为1，跟随节点所在行为0；矩阵a、b中的元素可由各台发电机成本函数系数确定。当对于任意两个分布式电源DGi、DGj均满足时，系统微增率状态值完成收敛，从而在完成虚拟电厂内部的有功出力分配的同时实现运行经济性最优的目标。

式（9）所示的一致性算法由两部分组成：

1）均摊部分：算法x（k+1）=Ax（k）+x（k-1）能通过多次迭代，削减向量x每行元素之间的差别，最终使得每个单元的微增率相等。

2 收敛速度分析

2.1 均摊算法

首先暂不计及领导节点接收到的功率偏差反馈信号，仅考虑算法的均摊部分。在通信延时均匀、延时时长为τ时，令采样周期T的取值略大于τ/2，使得对于所有通信线路Sij均存在φ（τij）=1。

现将公式（8）改写成如下形式：

式中：I为n×n的单位矩阵；W为非负矩阵，满足W·1n×1=1n×1，因此W为行随机矩阵，谱半径为1[3]。

定理1[3]：定义矩阵A=[aij]∈Rn×n对应的拓扑图为Γ（A），则当且仅当Γ（A）为强连通时，矩阵A不可约。

定理2[3]：若矩阵A=[Aij]∈Rn×n为非负矩阵且不可约，则其谱半径ρ（A）为其代数重度为1的特征值。

定理3[3]：设矩阵A=[aij]∈Rn×n为行随机矩阵，若A有代数重度为1的特征值λ=1，且其他特征值均满足|λ|＜1，则A为SIA（Indecomposable and Aperiodic），有向量v满足vTA=vT且

由1.2节可知，矩阵A+D对应的拓扑图为G，可以证明，对于连通的无向图G，矩阵W对应的有向图为强连通；由定理1和定理2可知，矩阵W不可约，且有代数重度为1的特征值λ=1，其他特征值均满足|λ|＜1。由定理3可得，W为SIA，故当k→∞时，列向量中的所有元素会收敛至相等，即能够实现使所有分布式电源的成本微增率相同。

因为W仅有一个模值为1的特征值，而其余特征值的模值均小于1，故收敛过程的收敛速度由矩阵W中模值第二大的特征值决定，记该特征值的模值为μ（W）。本文将μ（W）作为均摊部分收敛速度衡量指标，即μ（W）越小，公式式收敛速度越快。

由上述分析知，矩阵A、D为非负且通信拓扑保持连通，是公式成功收敛的充分条件。

2.2 主-从一致性算法

当计及接收功率反馈信息的领导节点后，在通信延时均匀，延时时长为τ的情况下，令采样周期T的取值略大于τ/2，使得对于所有通信线路Sij均存在φ（τij）。主-从一致性算法（9）可进一步改写为式（11）所示的矩阵形式：

定义误差ξ（k+1）为：

将式（12）与式（13）相减，有：

当且仅当M为收敛矩阵，即谱半径ρ（M）＜1时，ξ（k）会在k→∞的过程中逐渐消减为0[17]。ρ（M）能够反映Mk的收敛速度，故可作为整个主-从一致性算法收敛速度的衡量指标，即ρ（M）越小，算法的收敛速度越快。

通过观察矩阵M可以发现，ρ（M）会受到矩阵W、向量dn×1、系数ε以及对角阵a的影响。这些因素各自的含义为：通信网络拓扑结构及通信线路权重、领导节点位置、功率反馈收敛系数ε以及各分布式电源发电成本函数。因此，在设计分布式控制的通信网络时，可以ρ（M）最小化为目标，对上述因素进行优化。

3 仿真算例

虚拟发电厂中的分布式电源群组均采用如下形式的发电成本函数[7]：

设虚拟发电厂中分布式电源数量为n=15，通信线路数目为nl=22。能量管理系统下发的有功出力参考值为Pref=6 MW。

将分布式电源分为5组，每个群组对应的发电成本函数系数如表1所示。

表1 分布式电源发电成本函数系数Tab.1 Cost function coefficients of DGs

各分布式电源之间的通信网拓扑结构如图2所示，记该通信网络对应的拓扑图为图G（图中所示线路权重为代数连通度最大权重D3，详见后文）。

采取如下3种不同的权重选择方式[18]，应用策略式（9）分别进行仿真实验，并记录相应的收敛所需的迭代次数：

1）最大度权重D1

图2 通信网拓扑结构Fig.2 Topology structure of a communication network

其中，di为节点Vi的度，即与节点Vi直接相连的节点的数量。定义此时的通信网为G-D1，在此通信网下，以分布式电源DGk为领导节点时的矩阵M的谱半径为ρ（M1-DGk）。

2）均匀权重D2

算例中，取α=5，定义此时的通信网为G-D2，在此通信网下，以分布式电源DGk为领导节点时的矩阵M的谱半径为ρ（M2-DGk）。

3）代数连通度最大权重D3

对于通信拓扑确定的虚拟发电厂，令l为图G对应的权重矩阵的集合，则有当Sij∉G且i≠j时，当Sij∈G时

需求解如下问题：

依照本算例的优化方法计算出相应的权重结果如图2所示，定义此时的通信网为G-D3，在此通信网下，以分布式电源DG k为领导节点时的矩阵M的谱半径为ρ（M3-DG k）。

4 仿真结果分析

4.1. 线路权重及领导节点选取对收敛速度的影响

对于本节的仿真算例，设收敛变量初始值为x（0）=[1 1 … 1]T。当同时满足条件：

1）总功率差额ΔP＜0.001 MW。

2）对于任意一个分布式电源均有|xi（k+1）-xi（k）|＜0.001，迭代过程结束。

在通信网G-D1、G-D2和G-D3中，依次选择1～n号分布式电源作为领导节点，取收敛系数ε=0.1，分别计算矩阵M对应的谱半径ρ（M），结果如图3所示。按照同样的步骤，应用公式（9）所示策略进行仿真，并分别记录收敛所需的迭代次数，如图4所示。需要注意的是，当采用通信网G-D3进行仿真时，无论领导节点如何选择，系统均无法收敛，故未展示于图中。

图3 3种通信网的M矩阵谱半径Fig.3 Spectral radius of matrix M in three kinds of communication networks

由图3可知，对于通信网G-D3，无论领导节点如何选择，均有ρ（M）＞1成立。前文2.2节的分析表明当ρ（M）＞1时，一致性算法无法收敛，仿真结果也印证了这一结论。通信网G-D3的线路权重能够使得图G代数连通度达到最大，即能使通信拓扑确定的无通信延时的一致性算法的收敛达到最快。但需要注意的是，求解过程中所采用的公式（19）所示的半定规划方法的线路权重计算结果，不一定能够满足为非负矩阵的要求，即在含有通信延时的情况下，求解出不考虑通信延时情况下的最优权重，可能导致算法的不收敛。在本仿真算例中，矩阵A=diag（1-中的元素A2，2、A6，6、A7，7、A8，8、A11，11和A13，13均为负，因此矩阵W不是非负的行随机矩阵，且谱半径为1.017 5，则在所示算例条件下无领导一致性算法式（8）不收敛，即在通信网G-D3的权重设置下，控制策略无法完成成本微增率的均摊；当引入能量管理系统的总功率指令后，更无法使系统收敛至稳定点。

图4 通信网G-D1、G-D2对应的收敛所需迭代次数Fig.4 Convergence iterations in communicationnetworks of G-D1and G-D2

此外，对比通信网G-D1及G-D2中矩阵M对应的谱半径曲线可以发现，通信网G-D2的ρ（M）普遍比通信网G-D1的小，仅在选择12号节点为领导节点时，二者相近。同时，图4的仿真结果表明，当采用通信网G-D2时，该情况下控制策略式（9）的收敛速度普遍比采用通信网G-D1时快，且仅在选择12号节点为领导节点时两组通信网迭代次数结果相差不大，这一结论与谱半径计算结果一致。此外，由图3及图4可以发现，一致性算法的迭代次数曲线与相应通信网的M矩阵谱半径曲线走势相吻合，这一现象也进一步说明了采用ρ（M）作为一致性算法收敛速度衡量指标的合理性。

因此，对于拓扑结构相同的通信网，通信线路权重以及领导节点位置的选择均会对算法的收敛速度产生影响。在优化通信网线路权重，选择领导节点位置时，可以以指标ρ（M）最小化为目标进行。

4.2 收敛系数对收敛速度影响

现选取通信网G-D2为研究对象。算例中，收敛系数ε在[0.002，1]之间均匀地取500个值；分别选取通信网G-D2中能够使得指标ρ（M）为最小和最大的分布式电源作为领导节点（分别为DG1和DG14），并记录收敛所需的迭代次数（见图5、图6）。其中，灰色背景区域所对应的部分表示在相应的取值下，算法无法收敛。另外，为凸显曲线变化较大的区域，将图中曲线变化平缓的区域进行折叠（在图5中折叠0.2＜ε＜0.8区域部分，在图6中折叠0.2＜ε＜0.4区域部分）。

图5 领导节点为DG1：迭代次数、与收敛系数的关系曲线Fig.5 Graph of the relationships between iterations/and with leader DG1

图6 领导节点为DG14：迭代次数、与收敛系数的关系曲线Fig.6 Graph of the relationships between iterations/and with leader DG14

由图5及图6可知，在收敛系数ε由0.002逐渐增加到1的过程中，收敛所需迭代次数曲线是一个U型曲线。当ε增大到一定程度后（如图6中ε＞0.504时），M矩阵谱半径可能会大于1，此时算法不再收敛，系统失稳。图6中的两种情况的谱半径曲线同样都是U型曲线，与各自的迭代次数曲线的走势一致，并且在ρ（M）＞1时系统均失稳，这也再次印证本文所提出的将ρ（M）作为收敛速度衡量因子的方法是切实有效的。

在实际确定收敛系数ε的数值时，可以采取在一定区间内多次取值、计算相应的ρ（M）的方法，最终采用U型曲线最低点对应的数值为收敛系数ε的取值。

4.3 有/无通信延时仿真结果对比

分别将考虑通信延时的分布式算法式（9）以及如下不考虑通信延时的分布式算法式（21）应用于通信网G-D1及G-D2中：

并依次选择1～n号分布式电源作为领导节点，取收敛系数ε=0.1，分别记录收敛所需的迭代次数，如图7及图8所示。其中，红色圆形曲线对应有通信延时一致性算法；蓝色正方形曲线对应无通信延时一致性算法；蓝色三角形曲线对应无通信延时一致性算法迭代所需收敛次数乘2。

图7 通信网G-D1：有/无通信延时情况下算法收敛速度Fig.7 Convergence speed of algorithm with/without time-delay in communication network G-D1

图8 通信网G-D2：有/无通信延时情况下算法收敛速度Fig.8 Convergence speed of algorithm with/without time-delay in communication network G-D2

在通信延时均匀、延时时长为τ的条件下，可以通过合理设置采样时间T1的大小以消除延时因素对一致性算法的影响，此时应满足关系T1＞τ；若采用含通信延时的一致性算法，则采样时间T2只需满足关系T2＞τ/2。当在满足上述条件的前提下，采样时间T1及T2取尽可能小的值时，近似地有关系T1=2T2。定义在有/无通信延时情况下的算法迭代所需收敛次数分别为k1和k2，则最终收敛所用时间t1=k1·T1=k1·2T2，因此比较2k1与k2的数值大小即可比较出最终收敛所用时间t1与t2的大小。

由图7及图8可知，对于通信网G-D1及G-D2，无通信延时的一致性算法收敛所需迭代次数均少于有通信延时的情况，这说明通信延时确实会导致算法迭代次数的增加，对于通信网G-D1而言，这样的差异非常明显（如图7所示，有延时情况下的迭代次数基本在200以上，最高达1 159次，而无延时情况下的迭代次数全部在100次以下）。但需要注意的是，当考虑采样时间因素后，无通信延时的一致性算法反而可能比有通信延时的一致性算法收敛所需时间更长。例如，在图8中，当选取1～7号以及11～15号节点为领导节点时，均存在k1＜k2＜2k1，说明在这几种情况下，采用有延时的一致性算法收敛所需时间反而更短。

综上所述，对于以一致性算法为核心的分布式控制策略，对于有/无通信延时算法的选取，应当综合考虑通信延时时间、通信网拓扑、通信线路权重以及领导节点位置等因素。

5 结论

针对虚拟发电厂一致性控制策略中通信延时对收敛速度的影响进行了研究，提出了均匀通信延时环境下的一致性算法收敛速度衡量因子。结果表明：

1）所提出的收敛速度衡量因子能够较为准确地反映通信延时环境下一致性算法的收敛性及收敛速度，并可以被用作领导节点选择的指标。

2）在设计通信网时，将收敛速度衡量因子最小化作为目标对通信网线路结构及权重进行优化，可以有效提升一致性算法的收敛速度。除此之外，本文还对线路权重、领导节点位置以及算法收敛系数大小对收敛速度的影响进行了分析，并对比了有/无通信延时两种情况下的收敛速度，为一致性算法通信网优化设计提供了参考。

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Convergence Speed Analysis for Distributed Control of Virtual Power Plant with Time-Delays

GUO Feng1，ZHAO Yilan2，3，YANG Huan3
（1.State Grid Shaanxi Electric Power Research Institute，Xi’an 710100，Shaanxi，China;2.Hangzhou Electric Power Design Institute，Hangzhou 310062，Zhejiang，China;3.Zhejiang University，Hangzhou 310027，Zhejiang，China）

In this paper，a control strategy with time-delays is applied to the virtual power plant control，and mathematical analysis is presented to reveal the factors affecting convergence speed of the control strategy.Moreover，a convergence speed factor is proposed.To offer advice for communication network design，the influence of communication line weight，leader's position and feedback coefficient on convergence speed is analyzed through simulation，convergence speed comparison with and without time-delays is also presented.

distributed control;virtual power plant;timedelays;convergence speed

1674-3814（2017）07-0077-08

TM721

A

国家高技术研究发展计划（863计划）（2015-AA050202）；浙江省自然科学基金（LY15E070003）。

Project Supported by the National High Technology Research and Development of China （863 Programme）（2015AA050202）；the Zhejiang Provincial Natural Science Foundation of China（LY15E070003）．

2017-04-21。

郭 峰（1964—），男，硕士，高级工程师，研究方向为电网运行与维护管理。

（编辑 徐花荣）