探究斐波那契数列提升学生数学素养

■郑州外国语学校 曹中起

在同学们学习和掌握了数列概念、通项公式的推导之后,老师会提出一些有关数列在生活中的应用问题,有意识地考虑如何在重新回味经典的数学问题中培养数学思维,感悟数学之美,提升数学素养。

公元前13世纪,意大利著名数学家斐波那契发现一个有趣的数列,并写入《算盘书》中:兔子在出生两个月后就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。假设所有兔子都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子?把每一月的兔子对数列举出来,你能发现什么规律?

将每月的兔子对数列举出来如下:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233。观察规律是该数列从第3项起的每一项都是前两项的和。

1.12+12=1×2,12+12+22=2×3,12+12+22+32=3×5,…将此数列记作 {Fn},则有F21+F22+…+Fn2=Fn×Fn+1。

2.从几何的角度理解就是一些正方形面积的叠加,如图1所示。

图1

3.用后一项除以前一项发现越来越接近常数1.618,这个数与方程x2-x-1=0的根,于是继续思考此数列与我们学习的通项公式必然有一定的联系。

已知数列an{},a1=1,a2=1,当n≥3时,an=an-1+an-2,求通项an。

分析:对于a1=C,a2=D,an+1=Aan+Ban-1(A,B,C,D为常数)的一般情况,如何思考?

解:令an+1-xan=(A-x)(anxan-1),即an+1=Aan-x(A-x)an-1,与an+1=Aan+Ban-1对比,得x2=Ax+B,把x2=Ax+B叫作特征根方程,设其两个根为

已知数列{an},a1=1,a2=2,an+1=4an-4an-1,求an。

解析:令x2=4x-4,x1=x2=2,设通项

公式为an=(λ1n+λ2)×2n,将a1=1,a2=2

4.斐波那契数列的前n项和。

斐波那契数列应用广泛,股市中的参数,排兵布阵,建筑设计等,小到原子,大到宇宙,涉及我们生活的诸多方面。感悟数学美,享受数学美,生活中处处离不开数学知识、方法与思想。

跟踪练习:

多解多变:特征根方程有两个不同的解,考虑是否可以使用一个解处理呢?例2便是采用的这种方法(略)。

多解多变:可以按照最原始的处理方法,将原式变化,取倒数,化为等差数列,也可以化为等比数列求解。