Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法

郝艳花

（山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同037009）

Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法

郝艳花

（山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同037009）

迭代法是解线性方程组的一个很重要的方法，特别是在系数矩阵为稀疏矩阵的大型线性方程组中尤为重要。主要讨论解线性方程组的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法这两种方法,针对这两种迭代法的定义，收敛性，以及收敛速度展开讨论。

线性方程组；雅可比迭代法；高斯-塞德尔迭代法；收敛性

目前在工程技术、物理学、生物学以及自然科学中很多问题的解决经常归结为解线性代数方程组，例如用有限元或者差分法解常微分方程，偏微分方程边值问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合，经济学中的投入-产出分析以及增长模型等问题都导致求解线性代数方程组，而这些方程组中的未知量往往多达几百个，用传统方法求解显然很复杂，只能借助计算机。

目前关于线性方程组的数值解法一般有两类：迭代法和直接法。直接法是经过有限布算术运算，可求得线性方程组精确解的方法，但是在实际问题中存在舍入误差以及它的影响，这种方法只能求得线性方程组的近似解。而相对于直接法，迭代法是用某种极限过程逐步逼近线性方程组精确解的方法，它具有需要程序设计简单，计算机的存储单元较少，原始系数矩阵在计算过程中一直不变等优点，但存在收敛性和收敛速度等问题。[1-2]本文主要讨论解线性方程组的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。[3-4]

1 迭代法的基本概念

1.1 迭代法的定义

定义1对于给定的线性方程组x=Ax+f,设有唯一解x*，则x*=Ax+f，又设x(0)为认取的初始向量，按以下公式构造向量序列x(k+1)=Ax(k)+f,k=0,1,2,…,其中k表示迭代次数。

定义2对于给定的线性方程组x=Ax+f，用逐步代入求近似解的方法称为迭代法。

2 迭代法的收敛性

设有线性方程组,Ax=b，其中A=aij∈Rn×n为非奇异矩阵，下面研究建立解Ax=b的迭代法。

将A分裂为A=E-F，其中E为可选择的非奇异矩阵，且Ex=b容易求解，称E为分裂矩阵。于是，求解Ax=b转化为求解Ex=Fx+b，即求解

即解线性方程组

从而可构造一阶定常迭代法：

其中B=E-1F=E-1(E-A)=I-E-1A,f=E-1b,称B为迭代法的迭代矩阵，选取E矩阵，就得到解Ax=b的各种迭代法。

定理1（迭代法收敛的充分条件）设有线性方程组x=Bx+f及一阶定常x(k+1)=Bx(k)+f,如果有B的某种算子范数‖B‖=q＜1，则

（1）迭代法收敛，即对任意的x(0)有且x*=Bx(k)+f；

定理2（迭代法收敛的充要条件）给定线性方程组（1）以及一阶定常迭代法，对任意选取的初始向量x(0)，迭代法（2）式收敛的充要条件是矩阵B的谱半径ρ(B)＜1。

证明必要性:设对任意选取的x(0)，有其中x(k+1)=Bx(k)+f。

显然，极限x*是线性方程组（1）的解，且误差向量ε(k)=x(k)-x*=Bε(k-1)=…=Bkε(0)→0(k→∞)，

充分性：设ρ(B)＜1,易知Ax=f(A=I-B)唯一解，记为x*，则x*=Bx*+f，误差向量ε(k)=x(k)-x*=Bkε(0),ε(0)=x(0)-x*。设ρ(B)＜1 ，所以有0，于是对任意x(0)，有即

3 迭代法的收敛速度

定义4一阶定常迭代法

解:先求迭代矩阵B0的特征值，由特征方程

解得λ1,λ2,λ3，所以ρ(B0)＜1,所以用该迭代法解此线性方程组是收敛的。

例2考察用迭代法解线性方程组x(k+1)=Bx(k)+f的收敛性，其中

解：特征方程为 det(λI-B)=λ2-5λ+4=0，所以λ1=1,λ2=4，即ρ(B)≥ 1,所以由迭代法收敛的充要条件，得用此迭代法解该线性方程组不收敛。

4 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法及其收敛性

4.1 高斯-塞德尔迭代法

将线性方程组Ax=b中的系数矩阵A=aij∈Rn×n分成三部分,

选取分裂矩阵E=D-L（下三角矩阵），A=E-F，于是由一阶定常迭代法可以得到解Ax=b的高斯-塞德尔迭代法，

其中，称G为Ax=b的高斯-塞德尔迭代法的迭代矩阵。

下面给出高斯-塞德尔迭代法的分量计算公式。

于是解Ax=b的高斯-塞德尔迭代法的计算公式为

4.2 雅可比迭代法

选取分裂矩阵E=D（对角矩阵）A=D-F,同样由一阶定常迭代法得到解Ax=b的雅可比迭代法

其中B=1-D-1A=D-1(L+U)=J,f=D-1b称J为解Ax=b的雅可比迭代法的迭代矩阵。

由雅可比迭代公式有

于是得到解Ax=b的雅可比迭代法的计算公式为

例3设线性方程组

分别写出雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法。

解：雅可比迭代为

高斯-塞德尔迭代法

4.3 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法收敛性

由定理1得，高斯-塞德尔迭代法与雅可比迭代法收敛的充要条件分别是ρ(BG)＜1，其中G=(D-L)-1U，和ρ(BJ)＜1，其中J=D-1(L+U)。

由定理2得，高斯-塞德尔迭代法与雅可比迭代法收敛的充分条件是‖G‖＜1，其中G=(DL)-1U，和‖J‖＜1，其中J=D-1(L+U)。

另外，在实际问题的求解过程中，线性方程组Ax=b，其矩阵A经常具有某些特征。例如A为对称正定矩阵，或为不可约矩阵，或者A具有对角占优性质等。下面讨论当A具有这些性质时解线性方程组Ax=b的收敛性。

[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].5版.北京：清华大学出版社.

[2]张传林.数值方法[M].北京：中国科学文化出版社，2001：80-150.

[3]马云.数值分析中的迭代法解线性方程组[J].考试周刊，2010（50）：71-72.

[4]赵丹.雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法研究[J].兴义民族师范学院学报,2012（2）：108-112.

〔责任编辑 高海〕

Jacobi Iteration Method and Gauss-Seidel Iteration Method

HAO Yan-Hua
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

Iteration method is a very important method for solving linear equations,especially in large linear equations with coeffi⁃cient matrices as sparse matrices.In this paper,we mainly discuss on the Jacobi iteration method and the Gauss-Seidel iteration meth⁃od for solving the linear equations.We mainly study the definition,convergence and convergence speed of these two iteration methods.

linear equations;Jacobi iteration;Gauss-Seidel iteration;astringency

TP273

A

1674-0874(2017)05-0003-03

2017-06-26

郝艳花（1974-），女，山西广灵人，硕士，副教授，研究方向：计算数学。