基于波动率的期权定价

吴 昳

(苏州大学东吴商学院 江苏 苏州 215000)

基于波动率的期权定价

吴 昳

(苏州大学东吴商学院 江苏 苏州 215000)

2015 年2月9日，我国的证券市场上出现首个场内期权——上证 50ETF 期权，它具有的避险、做空以及杠杆性等许多特性，一上市便成为众多投资者追逐的对象。在实证研究中，本文使用上证50ETF期权作为研究样本，采用主要使用 GARCH系列模型来估计波动率，并与传统的期权定价模型相结合，同时和传统BS公式方法下的理论价格以及期权的实际价格进行对比，通过平均偏离度的分析，GARCH族模型提高了BS模型准确性和有效性,因此拓展波动率在期权定价中的推广是合理的。

上证50ETF期权；GARCH模型；Black-Scholes模型

一、研究意义

2015年2月9日，中国证券市场首个股票期权产品——上证50ETF期权合约品种，经中国证监会批准，在上海证券交易所揭牌上市，表明了我国境内资本市场进入了全新的期权时代。根据国外关于期权的经验以及期权自身的特点可以看到，上证50ETF期权的推出，不仅提高了标的产品的市场流动性，而且对于投资者来说，改善了ETF投资者结构，丰富了投资者的风险管理工具，也为投资者提供了无风险套利的机会。因此，掌握期权定价的原理并将其运用到实践中去是至关重要的。

从理论角度，一个合理的期权定价方法，是有利于促进期权市场的发展，从而完善金融市场的。传统的BS公式中，波动率是一个常数，进行定价时难免会有偏差。本文通过GARCH族模型进行波动率的预测，得到的波动率是随时间发送变化的，在一定程度上能够丰富期权定价理论。

从实务角度，本文通过动态波动率模型进行相关实证分析，以期制定更为合理的期权定价，为投资者实现套期保值、无风险套利等提供重要的指导意义。

二、期权定价影响因素及原理

1.影响因素

对于股票价格(S)和行权价格(X)，S变大时，看涨期权的价格会上升，而看跌期权的价格会下降；X变大时，看涨期权的价格会下降，而看跌期权的价格会上升。对于期权合约的到期期限(T)，假设其他因素都不变，T的值越大，期权的时间价值越大，该合约被执行的可能性越大，所以期权的价格越大。对于无风险利率(r)，从理论意义上讲，无风险利率r变大，则风险中性条件中的期望回报率会变大；而在T时刻以r贴现的X的现值则会变小，所以在其他条件不变的情况下，当r变大时，看涨期权的价格会上升，而看跌期权的价格会下降。对于标的资产价格的波动率(σ)，波动率越大，无论是看涨还是看跌期权，其价格都会变大。

2.期权的定价原理

根据风险中性定价原理，把期望值进行贴现，其贴现率为无风险率，所得到的贴现值就是期权(欧式看涨期权)的价格c：

(1)

c=SN(d1)-Xe-r(T-t)N(d2)

(2)

(3)

(4)

其中，N(X)表示这个变量小于X的概率，也叫标准正态分布变量的累计概率分布函数①，根据标准正态分布的性质，我们可以得到N(-X)=1-N(X)。

由于欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，我们可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：

p=Xe-r(T-t)N(-d2)-SN(-d1)

(5)

三、模型介绍

1.GARCH(1，1)，模型

大量的实证研究表明，在大多数情况下，ARCH效应可被GARCH(1，1)模型消除，因此本文简化模型形式为：

(6)

2.TGARCH模型

TGARCH模型也叫门限GARCH模型，由Zakoian (1990) 和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)提出。该模型加入了门限值②：

(7)

上述方程当中引入的虚拟变量dt-1，表示作用在均值方程上的扰动。

3.EGARCH模型

EGARCH模型也叫指数(Exponential)GARCH模型，由Nelson，(1991)提出。条件方差方程为

(8)

四、实证分析

1.数据样本的选择及理由

由于本文的目的在于研究上市不久的上证50ETF期权的定价问题，因此本文分别选取了2015年12月、2016年3月以及2016年4月到期的并且交易量最大的期权，分别为50ETF购12月2500(10000285)和50ETF沽12月2500(10000286)，50ETF购3月2050(10000375)和50ETF沽2050(10000379)以及50ETF购4月2150(10000579)和50ETF沽2150(10000584)。本文使用的统计软件为EVIEWS8.0和Matlab2012b。

2.平稳性检验

为了研究上证50ETF收益率波动的特征,本文选取从2012年11月2日到2016年4月8日的收益率数据，共834个样本点。本文选取对数收益率来衡量上证50ETF波动风险:

(9)

经实证检验可知，t统计量的值为-25.56240，对应的P值为0。在99%的置信水平下，拒绝原假设，则认为上证50ETF的收益率序列不存在单位根，所以其对应的收益率序列是平稳的，因此，用GARCH模型进行检验是有效的。

3.正态性检验

从实证结果来看，偏度的数值是个负数，表明该序列分布右偏；峰度为8.024320，大于3，表明分布的凸起程度大于正态分布，该收益率具有“尖峰厚尾”的特征；JB统计量的值较大，且其对应的P值为0，也说明该序列显著异于正态分布，因此用GARCH族模型来估计收益率是合理的。

4.波动率的估计

以第一期预测为例，首先采用GARCH(1,1)模型进行估计，选用的历史数据为2012.11.02-2015.11.02，得到方差方程为：

接下来对GARCH(1,1)模型的结果进行ARCH LM检验，此时的P值为0.1950，接受原假设，则可认为该序列不存在ARCH效应，说明利用GARCH(1,1)模型消除了异方差性。

在TGARCH模型下，得到方差方程为：

因此，在TGARCH模型下，杠杆效应项的系数γ=0.006902说明上证50ETF价格的波动具有杠杆效应。

在EGARCH模型下，通过EVIEWS操作的结果图5-7。

得到方差方程为

在EGARCH模型中，项的估计值显著的不为0，所以冲击的影响也存在非对称性。当ut-1>0时，该信息冲击条件方差的对数有一个0.177952倍的冲击；当ut-1<0时，该信息给条件方差的对数带来的冲击倍数为0.19044倍。

5.计算结果分析

为了更直观并且定量地评价不同模型的定价效果，本文引入了一个新的概念——偏离度，以此作为检验模型的有效性的依据。

偏离度ω=(实际市场价格-理论计算价格)/实际市场价格

计算结果如下表：

表5-1 各模型平均偏离度

从上表中，我们可以看出：(1)同实际的期权市场价格相比，传统的BS期权定价模型存在较大偏差。(2)GARCH族模型的定价效果明显比传统的BS 模型好。(3)GARCH(1,1)、TGARCH、EGARCH模型的定价效果差距不大。(4)四个模型中，EGARCH模型的定价效果相对较好，说明非对称GARCH能更准确的估计波动率的大小。

五、结论

从期权定价的效果来看，四种模型模拟的价格趋势与真实价格基本一致；由于收益率序列r存在时变性和非正态性，因此传统的BS期权定价模型与期权的实际的市场价格存在偏差；GARCH族模型的定价效果明显比传统的BS 模型好；GARCH(1,1)、TGARCH、EGARCH模型的定价效果差距不大；四个模型中，EGARCH模型的定价效果相对较好，说明波动的非对称效应是存在的。

虽然本文研究了基于波动率的期权定价，但由于客观条件以及自身研究视野及研究水平有限有限，本文还存在诸多不足之处，标的资产的价格在波动的同时一般都会有扩散和跳跃行为，但本文为了简化起见，并没有使用跳跃模型，有可能会导致期权的理论价格和实际的市场价格差距较大；实际上利率也不是一个固定不变的常数，而应该是一个随机波动的参数，本文为了简化起见，假设利率固定不变，也有可能导致期权的理论价格和实际的市场价格之间存在偏差。

[1]王健,李超杰,何建敏.有交易成本的GARCH-扩散期权定价模型[J].东南大学学报:自然科学版， 2006,174-178。

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[3]谢剑平.期货与期权.北京:中国人民大学出版社,2004,283-305。

[4]秦浩.权证产品理论定价与市场定价偏离度分析[J].金融教学与研究,2006(5)，47-49。

[5]潘涛,邢铁英.关于权证定价修正模型的比较研究:基于交易成本和股息分红因素的分析框架[J].世界经济,2006(6)，75-80。

[6]王晓庆.权证定价模型研究[J].财会月刊(理论),2007(3)，42-44

[7]焦凯.中国内地权证的实证研究[D]: [博士学位论文].复旦大学，2007.

【注解】

①郑振龙.版金融工程.期权定价模型,[M].高等教育出版社.2010

②基于GARCH模型的波动率预测及应用[J]工学院学报.2011(6)

吴昳(1994.05-)，女，汉，江苏苏州人，在职研究生，苏州大学东吴商学院，研究方向：国际金融。