“快”不如“多”——谈分子斥力和分子引力的变化

陈 野

(江苏省姜堰第二中学,江苏 泰州 225500)

“快”不如“多”
——谈分子斥力和分子引力的变化

陈 野

(江苏省姜堰第二中学,江苏 泰州 225500)

教科版的高中物理教材关于分子之间的引力和斥力大小关系的表述,让人认为“随着分子间距的变化,分子斥力总是比分子引力变化得快”.文中在米势的基础上,通过引入伦纳德—琼斯分子势,推导出分子力、分子引力和分子斥力关于分子间距的函数关系,并精确绘制了它们的函数图像,从而否定了教材中“分子斥力比分子引力变化得快”的“间接”论断,并提出“变化得快不如变化得多”和“增加斥力线与引力线位于同一象限的F-r图像”的教材编写意见.

分子引力;分子斥力;分子力;米势;伦纳德—琼斯势

分子间的相互作用是高中物理选修3-3的内容.通过该节的学习,学生知道了分子之间引力和斥力同时存在,两力随着分子间距的增大而减小,此外,分子力是分子引力和斥力的合力,其大小随分子间距的变化稍微复杂些.

图1 分子间作用力与距离的关系

不同版本的教材在讲解该部分内容时,都利用图1的F-r图像,定性地描述了分子引力和斥力的随距离的变化情况,其中教科版关于分子力的描述如下:[1]当rlt;r0时,引力和斥力虽然都随着距离的减小而增大,但是斥力增加得更快,因而分子间的作用力表现为斥力.当rgt;r0时,引力和斥力虽然都随着距离的增大而减小,但是斥力减小得更快,因而分子间的作用力表现为引力……

图2 A、B两物体的v-t图像

以上表述看似“合理”,仔细推敲之后,确有值得商榷的地方.文中都强调了一个方面,那就是随着r的变化(无论是大于平衡距离r0还是小于r0),斥力总是比引力变化得快.这样表述正确吗?

1 对“变化快”的数学理解

先来看加速度的定义:加速度是描述物体速度变化快慢的物理量.在v-t图像中,我们用图像在某一点切线斜率的大小表示加速度大小,在数学中,又可表示为函数v(t)的一阶导函数在t0时刻的数值大小.如图2,为A、B两物体的v-t图像,将B线平移与A线相切于P点,因此我们可以说t0时刻以前,B物体的速度比A变化快,t0以后,A物体的速度比B变化快.

综上,“变化快”从数学的角度来看,应指的是函数图像的斜率越来越大.结合F-r图像,如果认为“斥力线”比“引力线”变化快,则表明“斥力线”的斜率在任何一个位置都比“引力线”的斜率大(此处只看斜率的大小,不看正负),而这单从图1曲线的走势,似乎难以给出确定的答案,但至少应是“让人怀疑的”.

2 分子力与相对分子力的推导

3 分子斥力与分子引力的变化快慢

对相对分子力中的斥力项和引力项分别求一阶导数,可得分子斥力与分子引力的变化率为F斥(R)′=-13R-14,F引(R)′=-7R-8.若抛开“-”号不看,仅比较斜率大小,可令F斥(R)′=F引(R)′,解得R=1.108,说明当分子间距rlt;1.108r0时,分子斥力变化率比分子引力变化率大,也即分子斥力比分子引力变化得快,则当rgt;1.108r0时,应有分子引力比分子斥力变化得快,故而分子斥力并不是一直比分子引力变化快.因此,教材中关于“随着r的变化,分子斥力总是比分子引力变化得快”的“间接”表述确有不当之处.

利用数学计算软件Mathematica,可以作出相对分子力随分子相对距离变化的函数图像,如图3所示.从图中可看出,斥力线和引力线随着距离的变大,都在减小,且水平轴是它们的渐近线,而有一些教师在作F-r图像时,没能注意到这一点,随意性较强.[3]

此外,若进一步分析图3(a)图中分子力曲线,仔细观察后发现,曲线先是“凹”的,而后是“凸”的,在数学中,我们把图像的“凹凸性”发生转变的位置称之为“拐点”,可令对相对分子力函数的二阶导函数为0,求解出来.在本文中,分子力拐点出现在R=1.217,也即分子间距r=1.217r0时,拐点的位置要比分子斥力和分子引力变化率相等的位置(R=1.108)滞后一些.

图3 相对分子力图像：图(a)为分子力的放大图，图(b)上虚线表示分子斥力，下虚线表示分子引力，实线表示分子力

4 分子力的教材编写建议

通过上文的定量计算和理论分析,对分子力部分内容,可提出以下两点教材编写建议.

建议1:将“斥力增加或减小得更快”改为“斥力增加或减小得更多”,也即“更快”不如“更多”.教材在说明分子斥力和分子引力随分子间距变化的特点时,通过“斥力增加或减小得更快”的措辞,其本意是想说明“分子间距小于平衡距离时,斥力大于引力,分子力表现为斥力;大于平衡距离时,引力大于斥力,分子力表现为引力”.如此措辞,似乎“合情”,学生也容易理解,如若深究,却不“合理”.因此,为避免上文的问题出现,只需将“更快”改为“更多”即可,正是因为“小于平衡距离时,斥力比引力增加得更多,分子力才表现为斥力;大于平衡距离时,斥力比引力减小得更多,分子力才表现为引力”.如此修改,方便学生理解的同时,也不造成表述上的错误.

建议2:增加“斥力线和引力线放在同一象限”的F-r图像.一直以来,多版本教材的F-r图像,基本呈现的是图1的格式——分子斥力和分子引力位居一、四象限.这样画的好处主要有两点:一是明确斥力和引力的作用方向相反,二是方便作出二力的合力——分子力.其不足之处是没能够直观地体现出分子斥力与引力的大小情况.为此,教材中可增加“将引力线翻上去”的F-r图像,如图4所示.

当两曲线位于同一象限时,两线交点表示斥力等于引力,交点左边,斥力线在引力线的上方,表明斥力大于引力,交点右边,斥力线在引力线的下方,表明斥力小于引力.这个图另一个好处就是,容易看出斥力和引力的变化快慢情况,对于“随着分子距离的变化,总有分子斥力比分子引力变化得快”的表述,判断起来就要容易些.

图4 ①线表示分子斥力，②线表示分子引力，③线表示分子力

1 物理教材编写组.普通高中课程标准实验教科书,物理选修3-3[M].北京:教育科学出版社,2006：12-14.

2 黄淑清,聂宜如,申先甲.热学教程[M].北京:高等教育出版社,1994：180-185.

3 蒋杰.关于几组物理图像的比较研究[J].物理教师,2011,32(9)：24-26.

本文系江苏省教研室重点研究项目“江苏省高中物理课程基地内涵建设的实践研究”和江苏省教育科学“十二五”规划重点资助课题“网络环境下物理开放实验的系统建构与实践评价研究”(课题编号： B-a/2015/02/063)的阶段性研究成果.

2017-05-12)