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姚晶晶

[摘 要]运算能力，并不仅仅是计算技能的代名词，更是数学能力的核心。 以“隔位退位减”的教学为例，在培养学生的运算能力时，教师要有一双慧眼，这样才能够“看”到数感、符号感、几何直观、推理能力、应用能力、模型思想，甚至是创新能力。

[关键词]运算能力；隔位退位减；数学思维；核心素养

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）32-0004-03

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的10个关于核心素养的关键词当中，运算能力似乎显得稀疏平常，并不华丽，但是它在小学数学中所起到的作用却是不容低估的。常常有教师问：“在小学阶段，学生数学核心能力主要体现在哪里？”从数学能力的研究历史来看，“运算能力”一直被作为数学能力的核心。瑟斯顿通过因素分析，将人的智力分解为7种基本因素，其中第3项是数学能力，而他对数学能力的解释即是“进行数学运算”的能力。王权对小学生的数学能力结构进行了研究，通过因素分析得出小学生数学能力结构的四种因素，其中包括“运算速度”，由此，运算能力作为数学能力的核心有着深厚的研究基础。

从学科关键能力的厘定要求来看，运算能力只有是其他学科没有的，是本学科“独有”的，方能称之为这门学科的关键能力。从学科关键能力的含义来看，运算能力涵盖着抽象、推理、建模等基本的数学思想，具体表现为能根据参与运算的数据特点灵活运算，解决实际问题时能合理选择算法等方面。

培养学生的运算能力，最关键的要素是什么？有人说是单纯的数值计算，也就是我们常说的技能操作，这是对运算能力的一种最朴素，也最表面的理解，其实，运算技能≠运算能力。曹培英先生认为：运算能力是一种综合能力，运算能力是运算技能与逻辑思维能力的一种独特的结合；运算能力不是能够进行简单的加、减、乘、除，而是与观察能力、记忆能力、理解能力、推理能力、表达能力以及想象能力等有关的，由低级到高级的综合能力。

那么，在这个最容易发生机械操作的内容领域里，计算教学怎样才能启迪学生的数学思维进而促进学生核心素养的生成？下面以“隔位退位减”（苏教版教材二年级下册、人教版教材三年级上册）的教学为例。

一、问题引入：处理好“情境式”与“数学式”的关系，让思维有“根”

计算教学的课堂导入，主要有两种方式：情境式和纯数学式。近年来，计算教学的标准流程就是从创设现实情境开始，由实际问题引出计算问题。随着有效教学研究的深入，一线教师逐步发现，如果每一课都采用“教师创设情境——学生提出问题——独立思考算法——反馈交流算法——自主选择算法”的标准流程，久而久之，师生都会觉得上课索然无味。

不妨比较一下两种不同的方式。第一种是用课本中的情境进行导入：“二年级同学画了204幅儿童画，一年级同学比二年级同学少画108幅。一年级同学画了多少幅？”这种导入方式只是借助一个现实情境的外壳来得到算式而已，起到的是“敲门砖”的作用，对启发思维、助推学习并无帮助。第二种，从一个纯数学的题组引入：“这里有两道计算题，请你在计算的过程中体会一下它们有什么不同。”随后出示两道计算题“①214-108；②204-108”让学生试做。“课伊始，疑已生”，学生在已有知识经验与新知的比较当中，直接对准了问题的“靶心”，即认知难点：个位不够减，要向十位退1，而十位又是0，该怎么办？显然，在比较和探索的过程中实现着新知向旧知“同化”的过程，无论学生的探索是否成功，是否正确，他们的大脑已经把前面所学的连续退位减（个位不够减，要向十位退1，而十位够退）的已有知识经验和新知进行关联。此外，学生在尝试过程中所遇到的真实困难和阻碍，也为后面的课堂会诊提供了宝贵的生成性资源，同样是课堂上珍贵的学习材料。

值得注意的是，对于“现实情境”，也需要辩证地看待。比如从一个情境当中能够获取多个有价值的计算问题，且算式之间有所联系，能够有所生长的计算问题，教师不应当排斥。如估算教学，要培养学生的估算意识，很大程度上是离不开实际情境的。又如，教学“0.15×3=？”时，以现实题材为载体，如“买3支单价为0.15元的铅笔”，学生就能容易想到采用不同单位的不同算法；若没有情境，教师直接出示算題，则已有的知识经验会使大多数学生自觉地先算“15×3”，再添上小数点，并提出如何确定积的小数部分位数的猜想。可见，不同的角度，会给学生带来不一样的学习经验的积累和体验。用何种方式来打开计算教学，要视具体情况而定，这样才能在真正意义上实现“殊途同归，各显神通”的教学效果。

二、计算原理：处理好“理”与“法”的关系，让思维有“据”

曹培英先生指出：在任何计算教学中，算理和算法是运算能力的“一体两翼”（如图1所示），尤其在小学数学中，两者相辅相成，不可偏废。

在本单元的计算教学当中，依然是以计数器为主要教学工具帮助学生理解和掌握算理和算法。“隔位退位减”，不仅涉及两次退位，且中间一位为0，要求学生在这半直观半抽象的计数器上完成这一系列复杂而烦琐的运算过程，显然极具难度和挑战性。

有两位教师是这样处理的：第一位教师在教师用的大教具计数器上亲自操作，对于个位上珠子不够的部分，就让学生在头脑里想象后再独立完成操作。第二位教师则预感到操作活动会陷入僵局，因此直接免去了实践操作环节，让学生观看课件演示过程（如图2）。很显然，这两种方式下，学生只是操作活动的“旁观者”。试想，一个无法亲身参与数学活动的行为如何能让学生积累相关的活动经验？又如何能让学生深刻感知算理与算法的和谐统一？endprint

面对这样一个复杂的教学环节，我巧妙地找到了应对的办法：在黑板上画了一个简易的计数器的模型平面图（如图3），通过用磁性“五角星”放在不同的数位上代表不同的数值，这样就摆脱了计数器的局限性（只能拨10个）——超出10个的部分要么在头脑中想象，要么只能依靠看课件演示来辅动理解。这一创造性的 “换珠”操作，将复杂的心智活动、思维参与活动巧妙地落到实处，让学生真正实现“手中有珠，心中有数”，让学生在亲身操作过程中运用抽象的位值原理深刻地理解“换珠”的缘由，积累丰富的数学活动经验。

在接下来的对比中，教师应该彰显自己的引导作用。

师：通过陈米奇同学的两次操作，你们有没有感觉到“214-108”和“204-108”这两题之间是存在一些联系的？它们的相同点和不同点各是什么？

生1：都是退位减，都有换珠。

生2：“214-108”的个位不够减，就用十位上的一颗珠子换了个位上的10颗珠子。“204-108”的个位也不够减，但是十位上是0，也减不了，所以要先用百位上的一颗珠子换成十位上的10颗珠子。

生3：我有补充。“214-108”只用换一次，“204-108”换了两次。

师：你们刚才都提到了“换珠”，什么情况下才需要换珠？换珠时有条件吗？

生4：只有不够减的时候才要换，而且要大小一样的才能换，比如1个十换成10个一，一个百换成10个十。

师：这个同学很了不起，他所表达的“大小一样的才能换”这个思想，其实就是数学上经常使用的一个重要方法，叫作“等量代换”（板书，如图4）。

以上实践操作中隐含了数学思维，活化了学生对算理的理解，自然而又不露痕迹地将算理与算法完美对接。学生有效地触摸到了思维的精确性和思维的逻辑性，对于“0上有‘点就是9”这一“重要规则”知其然，也知其所以然。与此同时，学生体验了算理理解与算法固化的思维升腾过程，在“一次换珠”与“两次换珠”的比较辨析中掌握了“换珠”操作背后所蕴含的“十进制”计数原理，摆脱了浮于表面的理解，深刻感悟到“等量代换”这一数学思想的重要价值。

三、巩固内化：处理好“质”与“量”的关系，让思维有“力”

《人是如何学习的》一书中指出：“必须用少量主题的深度覆盖去替换学习过程中对所有主题的表面覆盖，这些少量主题使得一些关键概念得到理解。”在计算教学中，做习题并非只为了巩固计算技能，多练多做也并非是决定运算能力提升的关键因素。因此，习题的设计一定要着眼于学生能力的提升，把学生从题海拉出来， “以一当十”，发挥题组教学的优势，真正提高学生的思维能力。

在计算课上，我没有让学生进行大量的习题训练，而是在教学例题后，带领学生研究一個“结构化”程度很高的题组，要求男、女生分别完成一组题目。

女生组的题目：①508-282 ②501-282

男生组的题目：①705-395 ② 700-395

要求学生完成题目后反思：做的两道题有什么不同？又有什么联系？

生1：“508-282”和“501-282”的减数都是282，被减数不同，得数也不一样。

生2：虽然“508-282”和“501-282”的减数都是282，但是被减数508比501多7，所以“508-282”的得数肯定比“501-282”的得数也要多7。

生3：我还有补充，这两道题都是退位减。

……

在学生充分发言后，我将问题从“发散”到“聚合”，引导学生提炼内容中最为核心的要素：“观察已完成的这6道题，哪些属于今天学习的内容？为什么？”并指名学生到黑板上圈一圈符合条件的内容。

这时，生1圈了女生组题目的“501-282”后又圈了男生组的两道题“705-395”和“700-395”，生2补圈了例题的“204-108”。

师（追问）：对他们圈的算式，你们有何评价？

生4：不应该圈“705-395”。

生5：这不是中间十位上有0吗，为什么不圈呢？

生6：虽然十位上有0，可是个位上“5-5”够减了，不需要再向十位借，而十位上的“0-9”不够，要向百位退1，所以这里只有一次退位，不存在隔位退位。

师：说说看，你们现在知道了什么？

生（达成共识）：知道了十位上有0的不一定就是隔位退位减，还要看个位够不够减，如果够减就不是，如果不够减，才要隔一位向百位退1，才算是隔位退位减。

“十位上有0”这个表象确实容易对学生的认识产生一定的迷惑性。这里的圈题活动，给学生提供了很好的辨析机会，学生通过交流，有效纠正了原有的模糊乃至错误的认识，在自我的反思与他人的修正中再一次深化对“隔位退位减”的理解。

四、能力提升：处理好“点”与“面”的关系，让思维有“品”

学习数学有一个重要功能，就是使不同层次学生的脑力当量得以提升。什么是脑力当量？即，如果某学科的知识总量为T，研究者脑力总付出为R，则两者相比，即为单位知识所含有的脑力付出，通常称为脑力当量（C），用公式表示为C=R/T。课堂学习的目标应该是有弹性的，既不能纯粹从成长视角出发，不顾学情任意拔高学习要求，让大多数学生“望题兴叹”，也不能囿于目标，让学生始终在原地打转，贻误大好的学习时光，而应该从真实学情出发，着力于脑力当量的提升，让不同层次的学生都能得到发展。

在课的最后阶段，我聚焦本质，独具匠心，设计了几个层次的编题练习，将本课教学再次推向高潮。endprint

第一层次：任意编一道“隔位退位减”的计算题，不计算结果；

第二层次：用0、1、2、3、4、5六张数字卡片编一道“隔位退位减”的计算题，不计算结果；

第三层次：用0、1、2、3、4、5六张数字卡片编一道“隔位退位减”的计算题，想一想，怎样编才能使计算结果最大？

在第二层次和第三层次的编题过程中，我根据学生回答中的所思所想进行巧点妙引，让那些“可遇而不可求”的生成信息成为宝贵的教学资源。

比如，对于第二层次编题，一个学生写了“203-45”，全班都赞成，而另一名学生写的算式“403-51”引起了很多同学的反对。

生1：403-51，虽然被减数十位上是0，但是个位上的“3-1”够减，不需要退位，所以这道题不符合隔位退位减的要求。

师：是啊，能否把他写的算式稍微改动一下使其符合要求呢？

生2：把3和1调换一下位置就可以了，变成401-53，这样个位就不够减，且十位上是0，符合隔位退位减的要求。

改动的环节既体现了教师的机智，也反映了学生思维的灵活性。

又如，在第三层次的编题中，一名学生很快就编出“543-102”。

师：你怎么想的？

生1：被减数最大，减数最小，它们相差的就大，得到的結果就是最大的。

师：其他同学的意见呢？

（一部分学生同意，一部分学生不同意）

生2：这样就不是隔位退位减了。

师：是呀，根据隔位退位减的含义，该怎样来编这样的算式呢？

（学生思考后给出了不同的答案）

生3：501-234。

生4：502-314。

生5：503-124。

………

交流、探讨、辩论在继续，学生的理解和思考也在不断深入。每一次的修正和改变，每一次的恍然大悟都预示着他们向最终的真理艰难却勇敢地前进了一步。三个层次的编题活动设计极具思维挑战性，满足了不同发展水平学生的不同需求，学生开始只是凭着感觉编题，在每一次的交流质疑中，逐步寻找到一些有效的策略，最终攻克了最难的那一关。尤其是最后一个层次，在探索尝试的过程中，不仅仅是思维能力的应用，更是思维品质的充分显现。交流、探讨问题的过程也是全方位培养学生思维深刻性、全面性、批判性、灵活性、逻辑性和准确性的过程，称得上是一次高水准的思维体操，能使每一位亲身经历的学生的脑力当量都得到提升。

（责编 金 铃）endprint