数形结合思想在解题中的应用

摘要：在高中数学的学习过程中，数学这一门学科主要是解决数与形的问题。数学是一门逻辑性很强的学科，在解题的过程中需要学生掌握多种解题方法，这样才能将数学知识掌握到位。其中利用数形结合的思想解决高中数学问题是数学学习中经常运用的方法之一。本文就主要研究了数形结合在高中数学中的应用，也希望学生能够掌握这种方法，提高学生的数学成绩。

关键词：数形结合；解题；高中数学

数学不是单纯地学习数这一概念，如果只是学习数字，那么数学的学习就相当枯燥。在数学中，数与形是相结合的，它们是数学中两个最基本、最古老的元素，是学习数学的基础。所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考查来处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。

一、 数形结合思想在函数学习中的应用

函数本身就是带有图像的，因此在学习函数的过程中就是将数与形的完美结合。有些学生对于图形的作用理解得不够深刻，所以在一些函数问题上不能将函数问题向图形转化，对于图形的学习仍有欠缺。在高中数学函数的学习中，对于函数的奇偶性，函数的值域等都利用了图形来解决问题。

例如：已知方程x2-4x+3=m有4个根，求实数m的取值范围。

此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程的根的个数问题可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决。

解：方程x2-4x+3=m根的个数问题就是函数y=x2-4x+3与函数y=m图象的交点的个数。作出抛物线y=x2-4x+3=（x-2）2-1的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻折上去，得到y=x2-4x+3的图象，再作直线y=m，

如图所示：由图象可以看出，当0

二、 数形结合在不等式中的应用

在高中数学不等式中，只是靠单纯的解题很容易将其中的取值范围漏掉，此时利用图像就可以将每种可能取值的范围考虑到，能够保证解题的正确性。不等式可以单独存在又可以将不等式融入到函数以及解析几何中。

例如：设f（x）和g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0且g（-3）=0，求不等式f（x）g（x）<0的解集。

解：根据以上特点，不妨构造F（x）=f（x）g（x），符合题意的函数F（x）=f（x）g（x）的图像（如图所示），由图直接观察出所求解集是（-∞，-3）∪（0，3）。

三、 解三角形中图形结合的应用

高中数学的学习中，三角形的知识属于学习的重点，因此要想提高数学成绩就要将解三角形的能力提高。三角形的相关知识它不是单独存在的，它可以结合圆的知识以及函数的相关知识来出题，所以在学习的过程中要注重对三角形知识图形结合的学习。

例如：（1）设f（x）=sinxcosx-cos2（x+π/4），求f（x）的单调区间；

（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A/2）=0，a=1，求△ABC面积的最大值。

其中将第一问的解题过程省略掉，直接看第二问的解题思路。因为在这一问属于解三角形的题，并且能够利用图形结合的形式来解题，体现图形结合的思想。

由题意，sinA=1/2，a=1，A=π/6，且△ABC的外接圆直径为a/sinA=2。如图，取BC=1，其中A1C，A2B为外接圆直径，据题意顶点A在A1AA2（不包括端点）上运动。要使△ABC的面积最大，即点A在A1A2的中点，从而求出△ABC面积的最大值，这道题的解题思路虽然比较常规，但是利用图形结合的方式就能更加直观形象地将答案一目了然地解出来并且能够做到不遗漏。

四、 求点到线的距离中图形结合的应用

高中数学中，其教学重点除了函数以及三角函数以外，解析几何中求点到线的距离也是教学重点。点到线的距离在一些特殊情况下也分为多种情况，这种题一般都会出在填空中，因为很多学生在做填空题时都会为了节省时间从而忽略了画图像。在这种情况下就很容易丢分。

例如：已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。

解：因为SPACB=2S△PAC=2·12·|PA|·|AC|=|PA|=PC2-1要使面积最小，只需PC最小，如图，即定点C到定直线上动点P距离最小即可，即点C（1，1）到直线3x+4y+8=0的距离，而d=|3·1+4·2+8|32+42=3，所以（SPACB）min=32-1=22。

如果将这道题直接解是不容易解出，但是如果运用图形结合的方式就能够容易很多，并且方法還会变得更加简洁。

五、 结语

在数学的教育思想中要求将数与形都要掌握并且能够灵活运用。高中数学是以板块将高中的知识做以区分，图形结合思想体现在数学学习过程中的每一个板块。所以教师在教学的过程中要将数形结合思想完全地渗透到教学中才能够引起学生的重视，这样学生的数学成绩才能得到有效的提高，为高考奠定坚实的基础。学生在实际的学习中也要注重对图形结合解题方法的应用，这样才能从根本上解决数学难题，增强自身学习数学的自信心，最终实现提高数学成绩的目标。

参考文献：

[1]岳妹霖.数形结合思想方法在高中学习中的应用研究[J].考试周刊，2017，（71）.

[2]张维芳.例谈数形结合在高中数学中的应用[J].数学教学研究，2017，（04）.

作者简介：

柴明明，安徽省六安市，六安市第二中学河西校区。