一类含有“基本单元”的线型无限网络电路习题的解法

后宗新

在物理竞赛和理科实验班的招生中，常会出现一类线型无限网络电路，这类试题的解法有一定的技巧性，关键是找到电路中的“基本单元”，然后根据无限网络“重复性”的特点，寻找等量关系进行求解。下面举例说明：

例1 如图1所示，电路是一个单边线型无限网络，每个电阻的阻值都是R，则A、B间的等效电阻RAB=__________。

解析：如答图1所示，虚线方框内部分是一个个“基本单元”，由于电路是“无限”的，所以去掉一个基本单元或增加一个基本单元并不影响其等效电阻。

设去掉左边第一个基本单元后，剩下电路的电阻为R余，则

RAB=2R+，且RAB=R余

解得：RAB=（+1）R

答案：（+1）R

例2 如图2所示，电路是一个单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是r，则A、B之间的等效电阻RAB=__________。

解析：如答图2所示，虚线方框内部分是一个个“基本单元”（注意与例1的不同），由于电路是“无限”的，所以去掉一个基本单元或增加一个基本单元并不影响其等效电阻。

设去掉左边第一个基本单元后，剩下的电路电阻为R余，则

RAB=，且R余=RAB

解得：RAB=（-1）r

答案：（-1）r

例3 一个两端延伸的无限网络电路如图3所示，其中每个电阻均为r，则a、b两点之间的电阻Rab=______。

解析：此电路属于两端延伸的无限网络，整个电路可以看作是由三个部分组成，如答图3所示。因为左、右虚线方框内是一样的无限网络，所以它们的电阻相等。

设虚线方框内的电阻为Rx，则

RAB=

由例2可知，Rx=（-1）r

解得：Rab=r

答案：r

例4 如图4所示，已知R1=R2=R3=…=Rn=Rn+1=Rm=Rm+1=，A、B间的电压为U，则A、B间的电阻RAB=__________，Rm上消耗的电功率为_________。

解析：如答图4所示，右端虚线方框内部分是电路的“基本单元”，用“逆推法”往左推进，根据串、并联电路中电阻的特点，很容易得到RAB=。

电路中总电流I==，通过R1中的电流为I，通过R2中的电流为R1的一半，即（）2I，通过R3中的电流为R2的一半，即（）3I……所以，通过Rm中的电流为（）mI=（）m-1，即Rm上消耗的电功率Pm= I2mRm=（）2m-1.

答案：；（）2m-1

思考题：

1.如图5所示，已知R1=R2=R3=…=Rn=Rn+1=…=Rm=Rm+1=，电源电压U，则通过Rn的电流大小是________。

2.如图6所示，用相同的电压表测量不同电阻的电压，已知第一个电压表的示数是9V，第一个电流表示数是15mA，第二个电流表示数是12mA，则各电压表示数之和是_______V。

答案与提示：

1.（）n-1 参考例4解析

2.45

Rv===3000Ω

设每个电压表上通过的电流依次为I1、I2、…In，

各电压表示數之和U总=I1RV+I2RV+…+InRV=（I1+I2+…+In）RV=15×10-3A×3000Ω=45V。

（作者单位：安徽省芜湖县实验学校）endprint